通过勾股定理逆定理的证明谈初中平面几何的结构化教学 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选通过勾股定理逆定理的证明谈初中平面几何的结构化教学 摘 要：本文从分析沪科版初中数学的几何章节结构入手，借助书中未详谈的勾股定理逆定理的多种证明方法，希望能帮助师生对初中几何的知识结构提高认识，同时也希望能帮助师生开阔思维，加深对这一定理的理解，进而培养师生分析问题、解决问题的能力，期待能收到以点带面理解初中平面几何知识结构的效果。 关键词：勾股定理的逆定理，结构化，单元教学，几何直观，推理能力

引 言：今年4月份，我区初中数学青年教师综合素质比赛中，有这样一道题：已知：如图1，在△ABC中，AC2BC2AB2 ．求证：∠ACB＝90°．（请用三种方法证明，其中法一5分，法二5分，法三6分）

从老师们答题情况来看，很多老师答题情况并不理想，多数老师只会

一种方法，更有甚者，有几位老师一种方法都没给出，全区参赛78位老

师中，只有7位老师正确给出了三种不同的方法。 沪科版八下教材中逆定理是通过特例：“用圆规、直尺做△ABC，使AB=5，AC=4，BC=3，量一量∠C，它是90°吗？为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？教材是通过实验探究、直观发现、度量验证后进一步归纳得出了

该定理，其定理的的证明没有给出，与之配套的教参中还明确说：“勾股定理的逆定理的证明不要求学生掌握。”

我对现行各版本教材进行了收集、梳理，发现现行人教版八下、北师大版八下、华东师大八上的教材给出了证明，浙教版八上教材中也没有给出证明，其对于逆定理教材上有一个说明：“本册涉及一些结论的详细说明过程需要用到更多的数学知识，我们将在以后介绍”，随后在八下给出了和人教版、北师大版、华东师大一样的证法。但笔者认为逆定理和勾股定理具有相同的地位，都是反映了三角形三边的“数量”关系与三角形直角间“形”的特征，都是建立了数与形的联系，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，我们再从基本事实出发推导图形的几何定理，这样的过程，有助于学生在空间观念的基础上进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力。对于培养学生几何直观、推理能力等数学学科核心素养有很重要的作用。尤其现在提倡的大单元教学，通过该逆定理的多种证明方式的探究，可以让师生对初中几何的知识结构有所认识，可以帮助师生开阔思维，加深对这一定理的理解，培养师生分析问题、解决问题的能力，同时能达到以点带面理解初中平面几何知识结构的效果。下面我们先就沪科版初中数学12022年安徽省中小学教育教学论文评选中的几何知识结构做一个梳理，从教材结构上了解一下具体内容，然后再按照教材章节结构相应给出适当的证法，锻炼几何推理能力。《义务教育数学课程标准（2022版）》中初中学段数学学科安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。其中沪科版教材“图形与几何”主要是按照：直线与角，相交线与平行线，三角形，全等三角形，轴对称图形，四边形，相似三角形，解直角三角形和圆这个线索安排的，大体上可以用下面的结构图来说明。对于逆定理的证明，笔者现在尝试按照这个结构图提供的框架给出了几种证明，期待能起到抛砖引玉的作用。先让我们回顾一下这个定理：勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。证法一.全等法：先构造出一个满足某些条件的直角三角形，然后证明所构造出的直角三角形与原三角形全等，进而推出原三角形为直角三角形。这种利用三角形全等的证法在人教版、北师大版、华东师大版、浙教版中都被保留了下来，堪称“经典证法”．具体证明如下：已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2b2c2．求证:△ABC是直角三角形．证明：如图2，作Rt△DEF，使∠F =90°，EF=a，DF=b，记DE为c’，由勾股定理得： a2b2c2'，因为 a2b2c2，所以 c2c2' ．22022年安徽省中小学教育教学论文评选 又因为c'＞0，c＞0，所以c'=c．又因为BC=a=EF，AC=b=DF，

所以△ABC≌△DEF(SSS)，所以∠C=∠F=90°，即△ABC是直角三角形． 证法二.相似法：如图3，延长AB到D使BD=a，在AB上截取BE=a，连结CD、CE．利用等边对等角和三角形内角和可易证：∠DCE=90°，而AE=c－a，AD=c+a．所以AEADc2a2，又因为b2c2a2，所以AC2AEAD又因为∠CAE=∠DAC，所以△ACE∽△ADC，所以∠ACE=∠D．又因为BC=BE=a，所以∠BCE=∠BEC．又因为∠D+∠BEC=90°，

所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠D+∠BEC=90°．即△ABC是直角三角形．无论是与几何图形有关的计算还是与几何图形有关的证明，三角形全等和相似都是寻找图形中的线段、角的关系中最重要的两种途径，勾股定理的逆定理的证明当然也不例外。为此，接下来再给出一种综合运用全等和相似的轴对称法。 证法三.轴对称法：如图4，作∠ABC的平分线BD交AC于点D，截取BE=BC=a，

连结DE．则△BDC≌△BDE(SAS)，所以DC=DE，∠BED=∠C．由角平分线的性质定理得：CD:AD=BC:BA=a:c，AD+CD=b，进而可求得： bcCDDEab,ADbcADcabcbccABacac，所以AEcac2a2b2bAC，又因为∠DAE=∠BAC，所以△ADE∽△ABC，所以∠AED=∠C．所以2∠C=∠BED+∠AED=180°，即∠C=90°．

所以△ABC是直角三角形．32022年安徽省中小学教育教学论文评选在上述经典证法中所构造的△DEF与原三角形△ABC分别是两个三角形，我们也可以将这两个三角形“合二为一”，即在原三角形△ABC上直接构造一个直角三角形，再利用平行四边形的判定和性质证明出，由此得到了更简单的证法． 证法四.平行四边形法，如图5，过点B作BD⊥BC，并截取BD=AC=b，连结CD．在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=a2b2c，又因为ABca2b2， 所以AB=CD，所以四边形ABDC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，所以AC∥BD，所以∠ACB=∠CBD=90°，即△ABC是直角三角形．圆作为初中几何中内容最多的一章，而且根据我的经验，很多很复杂的问题，如果能够构造出圆，那么问题的解决都能起到事半功倍的效果，下面我们再给出一种证法，供大家学习和参考。 证法五.圆的证法：如图6，以点A为圆心，AB=c为半径作⊙A，与直线AC分别相交于点D、E，BC的延长线与⊙A相交于点F．则CD=c+b，CE=c－b，所以CD·CE=(c+b)(c－b)=c2b2a2．由相交弦定理得CF·CB=CD·CE，进而可得CF=a=CB，即：DE平分弦BF(非直径)，由垂径定理的推论得DE⊥BF，即∠ACB=90°．所以△ABC是直角三角形。直角三角形作为一种特殊的三角形，我们研究直角三角形不可回避的要用到三角函数，下面介绍一种三角函数法，因为该种方法不常见，对学生不做要求，仅供各位老师参考。证法六.三角函数法：如图7，在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ACD中，AD=b·sin∠C，CD=b·cos∠C，则BD=a-b·cos∠C，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AB2AD2BD2,42022年安徽省中小学教育教学论文评选即：c2bsinC2abcosC

2b2sin2Ca22abcosCb2cos2Cb22abcosC，又因为：sin2Ccos2C，所以可得：c2a2由已知可得：c2a2b2，所以2abcosC0，从而cos∠C=0，所以∠C=90°.现行各版本教材中，课程内容除传统的四块外，教材中都会在适当位置加入一些数学园地、数学活动等资源，会利用阅读与思考，数学史话的资源来开阔学生的视野，提升综合素养，下面介绍一种沪科版八下教材中提供的数学文化中经典公式的证明方法。证法七.海伦——秦九韶公式法：∵Sppapbp1abccpc，而2，a2b2，所以Sabcbcabcabc2222bc2a2a2bc

22b22bc2b22bc44444bc224b4b2c2b2ab22ab16442 因为△ABC的面积等于a与b两边乘积的一半，所以a与b两边为互相垂直的位置关系，即：∠C=90°。上面几种方法，无论是运用教材中哪一部分知识进行的证明，其推理过程都属于从已知到结论的顺证法。但在我们的推理中，对于一些问题的证明，我们经常还会用到另一种证明的方法——反证法，沪科版教材中在九年级下册也介绍了这种证法，虽然平常的证明用到的不多，但对于有些命题的证明常常会有奇效，下面我们再用反证法来证明该逆定理。52022年安徽省中小学教育教学论文评选证法八.反证法：假设∠C≠90°，则:如图8所示，假设∠C为锐角，过点A作AP⊥BC，交BC于点P，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2AP2BP2①AC2AP2CP2②在Rt△ACP中，由勾股定理得：由①-②得：AB2AC2BP2CP2BPCPBPCPBCBPCPaBPCP③由已知可得：AB2AC2c2b2a2④明显aBPCP，∴③与④矛盾，即假设∠C为锐角不成立；如图9所示，假设∠C为钝角，过点A作AQ⊥BC，交BC的延长线于点Q，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2AQ2BQ2①②在Rt△ACQ中，由勾股定理得：AC2AQ2CQ2由①-②得：AB2AC2BQ2CQ2BQCQBQCQBQCQBCBQCQa③由已知可得：AB2AC2c2b2a2④明显aBQCQ，∴③与④矛盾，即假设∠C为钝角也不成立；综上所述，∠C=90°，即：△ABC是直角三角形一个定理，八种证法，涵盖教材的八个模块，虽不能做到对这个逆定理证明的尽善尽美，但无疑可以利用这一问题作为广大师生深入理解沪科版结构化的一次契机。有的老师可能会思考这样一个问题，为什么沪科版教材对勾股定理的逆定理介绍时没有给出证明呢？也许就是教材编者想留给大家“再创造”的一个数学活动空间