2023北京高三一模数学汇编：向量的数量积与三角恒等变换章节综合

第1页/共1页2023北京高三一模数学汇编向量的数量积与三角恒等变换章节综合1．（2023·北京东城·统考一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·北京西城·统考一模）函数是（

）A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为3．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（

）A．5 B．10 C．13 D．264．（2023·北京丰台·统考一模）在中，若，则该三角形的形状一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2023·北京丰台·统考一模）已知正方形的边长为，则________．6．（2023·北京东城·统考一模）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)若是函数的一个零点，求的最小值.7．（2023·北京朝阳·统考一模）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．8．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．9．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数的一个零点为．(1)求A和函数的最小正周期；(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围．10．（2023·北京西城·统考一模）设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．

参考答案1．D【分析】通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达式，根据函数单调性即可得到其范围.【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；则，，，设，则，，则，即，则，其中，，则，则，故选：D.2．C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，且，而，即函数为偶函数；所以，又，即，可得函数最小值为0，无最大值.故选：C3．C【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】是BC中点，，M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C4．A【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．【详解】解：在中，，，即，，，，即，则为等腰三角形．故选：A．5．【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.【详解】因为正方形的边长为，所以，，，所以.故答案为：6．(1)(2)【分析】（1）三角函数恒等变换的公式，化简函数，进而求得函数的最小正周期；（2）由（1）得到函数，根据题意，得到方程，即可求解.【详解】（1）解：由函数，所以函数的最小正周期为.（2）解：由，因为是函数的一个零点，可得，即，即，可得或，即或，又因为，所以的最小值为.7．(1)选择条件②③，(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.8．(1)(2)最大值为和最小值为0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）由图象可知：，将点代入得，∴（2）由得当时，即；当时，即；9．(1)；(2)【分析】（1）解方程即可求，然后把函数降幂，辅助角公式后再求周期.（2）若恒成立，即求.【详解】（1）的一个零点为，即，所以函数的最小正周期为.（2）当时有最大值，即.若恒成立，即,所以，故的取值范围为.10．

（答案不