定积分计算方法

定积分计算方法1第1页，共38页，2023年，2月20日，星期一定积分的换元法定积分换元法：设函数f(x)在区间[a,b]上连续,而x=(t)满足下列条件： ⑴x=(t)在区间[,]上单调且有连续导数； ⑵()=a,()=b，且当t在区间[,]上变化时,x=(t)的值在[a,b]上变化，则有换元公式口诀：“换元”同时要“换限”！(不换元就不要换限)2第2页，共38页，2023年，2月20日，星期一换元法证明证：3第3页，共38页，2023年，2月20日，星期一换元法注意点1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是连续的；2：变换函数在变换后的区间内是单调的；3：变换后，积分上限、下限要发生变化。4第4页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解：5第5页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解6第6页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解*例：计算解原式7第7页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解：令原式注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！8第8页，共38页，2023年，2月20日，星期一由奇偶函数的对称性以及定积分的几何意义也可说明结论正确例题与讲解★例：设f(x)在[-a,a]上连续,则证9第9页，共38页，2023年，2月20日，星期一奇函数在对称区间上的积分若f(x)是对称区间[-a,a]上的奇函数(如右图)由于奇函数关于原点对称,结合

定积分的几何意义，可以得出yxOy=f(x)-aaAA10第10页，共38页，2023年，2月20日，星期一偶函数在对称区间上的积分若f(x)是对称区间[-a,a]上的偶函数(如右图)由于偶函数关于y轴对称,结合

定积分的几何意义，可以得出y=f(x)yxO-aaAA11第11页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：利用对称性，计算解：由于sinx在[-,]上为奇函数,故12第12页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算因为为奇函数，解：为偶函数，因此：13第13页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解：设换元必换限14第14页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解*例：计算解注意：此例用的是第一换元法，原积分变量

并未消失，因此,这种情形的换元，积分上、下限不变。*例：计算解15第15页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：若f(x)在[0,1]上连续,试证明：并由此计算证16第16页，共38页，2023年，2月20日，星期一续上页移项,整理得17第17页，共38页，2023年，2月20日，星期一定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)以下简记为u、v在[a,b]上有连续的导数,则有即把先积出来的那一部分代上、下限求值,余下的部分继续积分,这样做比完全把原函数求出来再代上、下限简便一些。推导18第18页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解令则19第19页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解20第20页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解21第21页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解22第22页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解例：计算解分别用定积分的分部积分法求右端两个积分．于是23第23页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解(换元法结合分部积分法)例：计算解设24第24页，共38页，2023年，2月20日，星期一例题与讲解25第25页，共38页，2023年，2月20日，星期一小结定积分的换元法对称性的应用、几个特殊积分等式定积分的分部积分公式（注意与不定积分公式的区别）26第26页，共38页，2023年，2月20日，星期一练习[解答][解答][解答][解答]27第27页，共38页，2023年，2月20日，星期一练习[解答][解答][解答][解答][解答]28第28页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答[返回习题]29第29页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答[返回习题]30第30页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答x=asinty=acost2t=u31第31页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答x=1-tdx=-dt[返回习题]32第32页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答33第33页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答34第34页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答35第35页，共38页，2023年，2月20日，星期一解答36第36页，共3