复变函数泰勒级数

复变函数泰勒级数1第1页，共34页，2023年，2月20日，星期一一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.2第2页，共34页，2023年，2月20日，星期一由柯西积分公式,有其中K取正方向.则3第3页，共34页，2023年，2月20日，星期一4第4页，共34页，2023年，2月20日，星期一由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内5第5页，共34页，2023年，2月20日，星期一令则在K上连续,6第6页，共34页，2023年，2月20日，星期一即存在一个正常数M,7第7页，共34页，2023年，2月20日，星期一在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数8第8页，共34页，2023年，2月20日，星期一如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于，但9第9页，共34页，2023年，2月20日，星期一二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍10第10页，共34页，2023年，2月20日，星期一说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)11第11页，共34页，2023年，2月20日，星期一因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？12第12页，共34页，2023年，2月20日，星期一那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.13第13页，共34页，2023年，2月20日，星期一三、将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数14第14页，共34页，2023年，2月20日，星期一例如，故有15第15页，共34页，2023年，2月20日，星期一仿照上例,16第16页，共34页，2023年，2月20日，星期一2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.17第17页，共34页，2023年，2月20日，星期一例如，18第18页，共34页，2023年，2月20日，星期一附:常见函数的泰勒展开式19第19页，共34页，2023年，2月20日，星期一20第20页，共34页，2023年，2月20日，星期一例1解四、典型例题21第21页，共34页，2023年，2月20日，星期一上式两边逐项求导,22第22页，共34页，2023年，2月20日，星期一例2分析如图,23第23页，共34页，2023年，2月20日，星期一即将展开式两端沿C逐项积分,得解24第24页，共34页，2023年，2月20日，星期一例3

解25第25页，共34页，2023年，2月20日，星期一例4解26第26页，共34页，2023年，2月20日，星期一例5解27第27页，共34页，2023年，2月20日，星期一例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:28第28页，共34页，2023年，2月20日，星期一29第29页，共34页，2023年，2月20日，星期一五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.30第30页，共34页，2023年，2月20日，星期一奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题31第31页，共34页，2023年，2月20日，星期一奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.32第32页，共34页，2023年，2月20日，星期一泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London