奇函数与偶函数的傅里叶级数_第1页
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奇函数与偶函数的傅里叶级数第1页，共16页，2023年，2月20日，星期一展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦级数.假设以2为周期的周期函数f(x)

在[,]内是奇函数，那么傅里叶级数一定是正弦级数.即此时傅氏系数8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数第2页，共16页，2023年，2月20日，星期一于是在区间()内f(x)cosnx为奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为零，所以又因f(x)sinnx在区间()内是偶函数，第3页，共16页，2023年，2月20日，星期一故有

同理可以推出，当函数

f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，即此时傅里叶系数为第4页，共16页，2023年，2月20日，星期一设周期函数f(x)在其一个周期上的表达式例4试将其展开成傅里叶级数.解函数f(x)的图形如图所示，≤≤f(x)Ox第5页，共16页，2023年，2月20日，星期一因此我们应根据(12.6.6)式计算傅里叶系数.由图形的对称性可知f(x)是偶函数，第6页，共16页，2023年，2月20日，星期一即故所求的傅里叶级数收敛于f(x)，又因为f(x)处处连续，第7页，共16页，2023年，2月20日，星期一

(x)称为f(x)的周期延拓函数.且以2为周期的函数，如果(x)满足收敛定理的条件，我们设想有一个函数(x)，设函数f(x)定义在[0,]上，它是定义在()上而在[0,]上，(x)=f(x).那么(x)在()上就可展开为傅里叶级数，取其[0,]上一段，即为f(x)在[0,]上的傅里叶级数，8.4.3函数

f(x)

在[0,]上展开为正弦级数与余弦级数第8页，共16页，2023年，2月20日，星期一在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是最为常用:将f(x)先延拓到(,0)，使延拓后的函数成为奇函数，然后再延拓为以2为周期的函数.这种延拓称为周期奇延拓;yx322O周期奇延拓第9页，共16页，2023年，2月20日，星期一这种延拓称为周期偶延拓.将f(x)先延拓到(,0)，使延拓后的函数为偶函数，然后再延拓为以2为周期的函数，周期偶延拓yx322O第10页，共16页，2023年，2月20日，星期一显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅里叶系数按公式(12.6.5)计算.即(因在[0,]上，(x)=f(x)).周期偶延拓的结果为余弦级数，

其傅里叶系数公式为第11页，共16页，2023年，2月20日，星期一例5试将解按式(12.6.8)计算傅里叶级数，第12页，共16页，2023年，2月20日，星期一且延拓的函数在x=0，处连续，因此(0≤x≤

).第13页，共16页，2023年，2月20日，星期一展开成正弦级数.例6

试将函数0≤x≤≤

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