复变函数课件第三章复变函数的积分

复变函数课件第三章复变函数的积分第1页，共95页，2023年，2月20日，星期一

暨南大学复变函数教学课件DepartmentofMathematics第一节

复积分的概念及其简单性质

1、复变函数积分的的定义2、积分的计算问题3、基本性质第2页，共95页，2023年，2月20日，星期一第三章复变函数的积分

同微积分一样，在复变函数中，积分法也是研究复变函数性质十分重要的方法．在解决实际问题中也是有力的工具．本章先介绍复变函数积分的概念，性质和计算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西－古萨基本定理及其推广，有了这些基础，我们建立柯西积分公式，最后证明解析函数的导数仍是解析函数，从而导出高阶导数公式第3页，共95页，2023年，2月20日，星期一1、复变函数积分的定义

设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么考虑和式第4页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数的积分第5页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数的积分分实部与虚部，有或者在这里分别表示的实部与虚部。第6页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数的积分按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限第7页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数的积分这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为因此，我们有第8页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数的积分如果C是简单光滑曲线：，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成因此，我们有第9页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数的积分我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。第10页，共95页，2023年，2月20日，星期一2复变函数积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）（3）其中曲线C是由光滑的曲线连接而成；（4）积分是在相反的方向上取的。第11页，共95页，2023年，2月20日，星期一复变函数积分的性质：如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，证明：因为两边取极限即可得结论。第12页，共95页，2023年，2月20日，星期一例1例1、设C是连接及Z两点的简单曲线，那么如果是C闭曲线，即，那么积分都是零。第13页，共95页，2023年，2月20日，星期一例2解又解Aoxy第14页，共95页，2023年，2月20日，星期一例3解oxyrC第15页，共95页，2023年，2月20日，星期一îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

第16页，共95页，2023年，2月20日，星期一oxy例4解第17页，共95页，2023年，2月20日，星期一解:例4第18页，共95页，2023年，2月20日，星期一本节结束谢谢！第19页，共95页，2023年，2月20日，星期一第二节柯西积分定理3.2.1Cauchy积分定理3.2.2Cauchy定理的推广3.2.3复周线情形的Cauchy定理3.2.4小结与思考3.2.4不定积分第20页，共95页，2023年，2月20日，星期一引言:目的研究复积分与路径的无关性:由例3.1受到的启发积分与路径无关与函数沿着围线的积分值为零有何关系首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C,ab在其上任取两点按a(起点),b(终点)CC2C1将曲线C分成两部分因为积分与路径无关,所以:第21页，共95页，2023年，2月20日，星期一结论1:若函数f(z)的积分与路径无关,反之:若对任意围线C,f(z)沿着C的积分为零,若复积分与路径无关,则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令:C2C1ab则C是周线，从而：结论2:函数f(z)的积分与路径无关,第22页，共95页，2023年，2月20日，星期一观察上节例3.1观察上节例3.2目的研究复积分与路径的无关性:转换为研究函数沿着周线的积分为零:第23页，共95页，2023年，2月20日，星期一由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.受此启发,Cahchy与1825年给出如下定理1900,法国数学家Goursat给出如下定理:如果f(z)A(D)f'(z)A(D)f'(z)C(D),这样就得到了定理3.3第24页，共95页，2023年，2月20日，星期一3.3.单连通区域的Cauchy积分定理定理3.3柯西－古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理常称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍第25页，共95页，2023年，2月20日，星期一不必是简单闭曲线推论3.4柯西定理推论3.5柯西定理3.2.2Cauchy定理的推广第26页，共95页，2023年，2月20日，星期一与定理3.3等价的形式是:如果周线C的内部

是区域,(I(C)=D)定理3.9如果C是周线,I(C)=D是区域定理3.3第27页，共95页，2023年，2月20日，星期一例1解根据柯西定理,有例2证由柯西－古萨定理,第28页，共95页，2023年，2月20日，星期一由柯西－古萨定理,由上节例4可知,第29页，共95页，2023年，2月20日，星期一例3解根据柯西－古萨定理得第30页，共95页，2023年，2月20日，星期一第31页，共95页，2023年，2月20日，星期一3.3.4复周线情形的Cauchy定理根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.第32页，共95页，2023年，2月20日，星期一1.闭路变形原理︵︵第33页，共95页，2023年，2月20日，星期一︵︵︵︵︵︵︵︵第34页，共95页，2023年，2月20日，星期一得︵︵︵︵第35页，共95页，2023年，2月20日，星期一解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.第36页，共95页，2023年，2月20日，星期一2.复周线情形的Cauchy定理则称C+C1-+C2-+···+Cn-为复围线,D为其内部,记为I(D).第37页，共95页，2023年，2月20日，星期一这个定理是计算周线内部有奇点的积分的有利武器!!!第38页，共95页，2023年，2月20日，星期一解依题意知,例4根据复合闭路定理3.10,打洞!第39页，共95页，2023年，2月20日，星期一Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式第40页，共95页，2023年，2月20日，星期一例5

解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,第41页，共95页，2023年，2月20日，星期一例6解第42页，共95页，2023年，2月20日，星期一由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为C不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线C内即可.重要积分公式例3.2第43页，共95页，2023年，2月20日，星期一例7解由上例可知第44页，共95页，2023年，2月20日，星期一3.2.4原函数与不定积分定理3.5由定理3.5可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.带活动上限的积分:第45页，共95页，2023年，2月20日，星期一第46页，共95页，2023年，2月20日，星期一定理3.6证利用导数的定义来证.定理3.6第47页，共95页，2023年，2月20日，星期一(1)由于积分与路线无关,第48页，共95页，2023年，2月20日，星期一第49页，共95页，2023年，2月20日，星期一由积分的估值性质,第50页，共95页，2023年，2月20日，星期一此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]第51页，共95页，2023年，2月20日，星期一(1)积分与路线无关,定理3.6可以改写为:定理3.7(1)f(z)在D内的积分与路线无关,由于在证明过程中只用到了两个结论:第52页，共95页，2023年，2月20日，星期一2.原函数的定义:原函数之间的关系:证第53页，共95页，2023年，2月20日，星期一那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]第54页，共95页，2023年，2月20日，星期一3.不定积分的定义:定理3.8(复积分的Newton-Leibnitz公式)第55页，共95页，2023年，2月20日，星期一证根据柯西基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.第56页，共95页，2023年，2月20日，星期一例8解由牛顿-莱布尼兹公式知,例9解使用“凑微分”第57页，共95页，2023年，2月20日，星期一例10解由牛顿-莱布尼兹公式知,第58页，共95页，2023年，2月20日，星期一例10另解使用:“分部积分法”第59页，共95页，2023年，2月20日，星期一例11解利用分部积分法可得课堂练习答案第60页，共95页，2023年，2月20日，星期一例12解第61页，共95页，2023年，2月20日，星期一例13解所以积分与路线无关,根据N-L公式:第62页，共95页，2023年，2月20日，星期一2.3.5小结与思考1.通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:并注意定理成立的条件.第63页，共95页，2023年，2月20日，星期一2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合,更好的理解本课内容.第64页，共95页，2023年，2月20日，星期一思考题:1.应用柯西–古萨定理应注意什么?答案:(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.第65页，共95页，2023年，2月20日，星期一2.复合闭路定理在积分计算中有什么用?要注意什么问题?答案利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向.第66页，共95页，2023年，2月20日，星期一3.解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.第67页，共95页，2023年，2月20日，星期一Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料第68页，共95页，2023年，2月20日，星期一GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古萨资料第69页，共95页，2023年，2月20日，星期一本节结束谢谢！第70页，共95页，2023年，2月20日，星期一第三节柯西积分公式及其推论1第三节柯西积分公式解析函数的无穷可微性柯西不等式与刘维尔定理摩勒拉定理第71页，共95页，2023年，2月20日，星期一§3.5柯西积分公式若f(z)在D内解析，则分析：.定理(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则---解析函数可用复积分表示。第72页，共95页，2023年，2月20日，星期一[证]由于f(z)在z0连续,任给e>0,存在d(e)>0,当|z-z0|<d时,|f(z)-f(z0)|<e.设以z0为中心,R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R<d.DCKzz0R根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能。第73页，共95页，2023年，2月20日，星期一推论1如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为------一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2设f(z)在二连域D内解析，在边界上连续，则第74页，共95页，2023年，2月20日，星期一例1解：

第75页，共95页，2023年，2月20日，星期一第76页，共95页，2023年，2月20日，星期一§3.6解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.关于解析函数的高阶导数我们有下面定理:第77页，共95页，2023年，2月20日，星期一定理

解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.[证]设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即因此就是要证第78页，共95页，2023年，2月20日，星期一按柯西积分公式有因此第79页，共95页，2023年，2月20日，星期一现要证当Dz0时I0,而f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为z0到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|<d/2,因此这就证得了当Dz0时,I0.Dz0dC第80页，共95页，2023年，2月20日，星期一这就证得了再利用同样的方法去求极限:依此类推,用数学归纳法可以证明:高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.第81页，共95页，2023年，2月20日，星期一例1求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r>1.[解]1)函数在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.第82页，共95页，2023年，2月20日，星期一3柯西不等式与刘维尔定理：定理4.3设函数f(z)在以为边界的闭圆盘上解析，那么其中第83页，共95页，2023年，2月20日，星期一定理4.3的证明：证明：令是圆那么，由导数公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。第84页，共95页，2023年，2月20日，星期一注解：注解1、上面的不等式称为柯西不等式。注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理第85页，共95页，2023年，2月20日，星期一刘维尔定理：定理4.4：有界整函数一定恒等常数证明：f(z)是有界整函数，即存在使得f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可见从而f(z)在C上恒等于常数。

第86页，共95页，2023年，2月20日，星期一4莫勒拉定理：5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，定理5.1如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有那么f(z)在区域D内解析。第87页，共95页，2023年，2月20日，星期一莫勒拉定理