复变函数与积分变换课件

复变函数与积分变换课件1第1页，共55页，2023年，2月20日，星期一第一章复数与复变函数复数复数表示及运算平面点集复变函数极限和连续性2第2页，共55页，2023年，2月20日，星期一复数、复数表示及运算复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复数不能比较大小3第3页，共55页，2023年，2月20日，星期一复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角主幅角并规定幅角按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.4第4页，共55页，2023年，2月20日，星期一当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:说明：当z在第二象限时，5第5页，共55页，2023年，2月20日，星期一例3求和解第6页，共55页，2023年，2月20日，星期一复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：指数表示：注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差7第7页，共55页，2023年，2月20日，星期一例4求的三角表示式与指数表示式.解因为所以设则又因为位于第II象限所以于是第8页，共55页，2023年，2月20日，星期一例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=|z|=1,又因此9第9页，共55页，2023年，2月20日，星期一复数的运算设z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1+

z2=(x1+x2)

+i(y1+y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-

z2)-

z210第10页，共55页，2023年，2月20日，星期一乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加11第11页，共55页，2023年，2月20日，星期一除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减12第12页，共55页，2023年，2月20日，星期一复数四则运算规律：（1）加法交换律（2）乘法交换律（3）加法结合律（4）乘法结合律（5）乘法对于加法的分配律13第13页，共55页，2023年，2月20日，星期一共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为共轭复数为是复数z关于实轴的对称点14第14页，共55页，2023年，2月20日，星期一共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）为实数.15第15页，共55页，2023年，2月20日，星期一.

例1化简解16第16页，共55页，2023年，2月20日，星期一例2设，求及解所以第17页，共55页，2023年，2月20日，星期一1.复数的乘幂设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即若，则有当时，得到著名的棣莫弗公式18第18页，共55页，2023年，2月20日，星期一例7求解因为所以例8已知，求解因为第19页，共55页，2023年，2月20日，星期一所以第20页，共55页，2023年，2月20日，星期一复数的方根称满足方程的复数为的次方根，记作或记作令解出由即21第21页，共55页，2023年，2月20日，星期一可求出6个根，它们是例解方程解因为所以第22页，共55页，2023年，2月20日，星期一例2计算解因为所以即第23页，共55页，2023年，2月20日，星期一练习24第24页，共55页，2023年，2月20日，星期一平面点集邻域平面上以为心，为半径的圆：内部所有点的集合称为点的—邻域，记为，即称集合为的去心—邻域，记作z025第25页，共55页，2023年，2月20日，星期一开集如果点集的每一个点都是的内点，则称为开集.闭集如果点集的余集为开集，则称为闭集.连通集设是开集，如果对于内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通集.Dz1z2p第26页，共55页，2023年，2月20日，星期一区域区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为.27第27页，共55页，2023年，2月20日，星期一平面图形的复数表示很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例1：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以Z0为中心、R为半径的圆周方程为连接z1和z2两点的线段的参数方程为过两点z1和z2的直线L的参数方程为28第28页，共55页，2023年，2月20日，星期一例2：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y=－x。（2）设z=x+iy,29第29页，共55页，2023年，2月20日，星期一（3）表示实轴方向与由点i到z的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自i点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括i点）（4）30第30页，共55页，2023年，2月20日，星期一例3：指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有31第31页，共55页，2023年，2月20日，星期一它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合32第32页，共55页，2023年，2月20日，星期一图11.简单曲线、简单闭曲线平面曲线若存在满足且的使重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或则称此曲线C有，约当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如是一条简单闭曲线（如图1）.第33页，共55页，2023年，2月20日，星期一在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但是闭曲线.图1.10图1.11第34页，共55页，2023年，2月20日，星期一2.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线的方程为

若，在上可导且，连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在中，则称区域为单连通区域；否则称为多连通区域或复连通区域.第35页，共55页，2023年，2月20日，星期一在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.图1.12第36页，共55页，2023年，2月20日，星期一练习考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形，并指明它是有界还是无界，是单连通还是多连通。37第37页，共55页，2023年，2月20日，星期一复变函数复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数ω=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为ω=f(z)。说明1如果z的一个值对应着ω的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个ω的值，那么我们称f(z)是多值函数。38第38页，共55页，2023年，2月20日，星期一说明2复变函数ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一个映射。复变函数ω=f(z)可以写成ω=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iyω=f(z)z平面ω平面39第39页，共55页，2023年，2月20日，星期一举例求0<argz<π,0<r<1经ω=iz变换后在ω平面上的图形。z平面ω平面ω=iz=zexp(iπ/2)40第40页，共55页，2023年，2月20日，星期一例1将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实变函数.解设，，代入得比较实部与虚部得，第41页，共55页，2023年，2月20日，星期一例2将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数化为一个复变函数.解设，，则将，以及代入上式，经整理后，得第42页，共55页，2023年，2月20日，星期一复变函数的极限与连续1.函数极限的定义1.4.1:一.函数极限:43第43页，共55页，2023年，2月20日，星期一几何意义:

xyOz0dzOuvAef(z)44第44页，共55页，2023年，2月20日，星期一复变函数的极限四则运算法则：与实变函数的极限性质类似.惟一性复合运算等45第45页，共55页，2023年，2月20日，星期一定理1.4.12.极限计算的性质46第46页，共55页，2023年，2月20日，星期一例3试求下列函数的极限.（1）（2）解（1）法1设，则，且得第47页，共55页，2023年，2月20日，星期一法2解：

设，则，得（2）第48页，共55页，2023年，2月20日，星期一例2证明函数在时极限不存在.证设，而考虑二元实函数当沿着（为任意实数）趋向于，即

显然，极限值随值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在趋向于时的极限不存在，即得结论.第49页，共55页，2023年，2月20日，星期一二、函数的连续性定义1.4.2

设在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续.若在区域内每一个点都连续，则称函数在区域内连续.定理1.4.2

函数，在处连续的充要条件是和都在点