工程力学第九章刚度设计新

工程力学第九章刚度设计新1第1页，共67页，2023年，2月20日，星期一细长杆受拉会变长变细，受压会变短变粗dLPPd-DdL+DL长短的变化，沿轴线方向，称为轴向变形粗细的变化，与轴线垂直，称为横向变形一拉压杆的轴向变形与胡克定律实验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即引入比例系数E，则胡克定律比例系数E称为弹性模量9-1杆件的拉压变形2第2页，共67页，2023年，2月20日，星期一PPPP杆的轴向变形杆的轴向正应变横截面上的正应力为代入胡克定律得在比例极限范围内，拉压杆的轴向变形与轴力P及杆长成正比，与乘积EA成反比。EA称为抗拉刚度轴向变形与轴力具有相同的正负号，即伸长为正，缩短为负3第3页，共67页，2023年，2月20日，星期一二拉压杆的横向变形与泊松比PPPP同理，令为横向线应变实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：4第4页，共67页，2023年，2月20日，星期一称为泊松比，是一个材料常数负号表示纵向与横向变形的方向相反最重要的两个材料弹性常数，可查表5第5页，共67页，2023年，2月20日，星期一9-2圆轴扭转变形与刚度条件一、圆轴扭转变形6第6页，共67页，2023年，2月20日，星期一比较拉压变形：公式适用条件：1）当p（剪切比例极限）公式才成立2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）4）对于小锥度圆杆可作近似计算3）扭矩、面积沿杆轴不变（T、Ip为常量）7第7页，共67页，2023年，2月20日，星期一扭转角与扭矩T，轴长l成正比,与GIP成反比。乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度，或简称为扭转刚度二、圆轴扭转刚度条件8第8页，共67页，2023年，2月20日，星期一扭转刚度条件已知T、D和[φ/]，校核刚度已知T和[φ/]，设计截面已知D和[φ/]，确定许可载荷9第9页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：空心圆轴，外径Ｄ＝１００ｍｍ，内径ｄ＝８０ｍｍ，AB=l＝５００mm，m１＝６ｋＮＭ，m２＝４ｋＮＭ，Ｇ＝８０ＧＰａ，求C截面对A、B截面的相对扭转角。ACB122解：一、绘扭矩图：TX4(kNm)2二、计算IP：10第10页，共67页，2023年，2月20日，星期一三、计算相对扭转角11第11页，共67页，2023年，2月20日，星期一“+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B）截面逆时针转动。12第12页，共67页，2023年，2月20日，星期一1.挠曲线9-3梁的弯曲变形挠曲线直梁弯曲后轴线变为曲线，此即挠曲线；它是一条在弯曲平面内的连续光滑的曲线。挠曲线用挠曲线方程v=f(x)表示。13第13页，共67页，2023年，2月20日，星期一2.横截面的两个位移(1).挠度(线位移)用v表示它是横截面形心在y的方向的位移；挠度是代数值，在y轴上方为正，在y轴下方为负。(2).转角(角位移)用q表示它是横截面相对其变形前位置转动的角度；转角是代数值，从x轴起逆时针为正，顺时针为负。14第14页，共67页，2023年，2月20日，星期一挠曲线方程：转角方程：15第15页，共67页，2023年，2月20日，星期一3、梁的挠曲线近似微分方程式曲线的曲率为16第16页，共67页，2023年，2月20日，星期一梁纯弯曲时中性层的曲率：17第17页，共67页，2023年，2月20日，星期一18第18页，共67页，2023年，2月20日，星期一梁的挠曲线近似微分方程:19第19页，共67页，2023年，2月20日，星期一4、用积分法求梁的变形式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定20第20页，共67页，2023年，2月20日，星期一光滑连续条件：PC21第21页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。22第22页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：由边界条件：得：23第23页，共67页，2023年，2月20日，星期一梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θAθB24第24页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。25第25页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：由边界条件：得：26第26页，共67页，2023年，2月20日，星期一梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB27第27页，共67页，2023年，2月20日，星期一5用叠加法计算梁的变形及刚度条件

一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。28第28页，共67页，2023年，2月20日，星期一29第29页，共67页，2023年，2月20日，星期一30第30页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：用叠加法求31第31页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加32第32页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。33第33页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：34第34页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：求图示梁C、D两点的挠度vC、vD。35第35页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：36第36页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角θB（ｋ为弹簧系数）。37第37页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：弹簧缩短量38第38页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。39第39页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度 。求C端挠度vC。40第40页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为(2)弹簧不变形，仅梁变形引起的C点挠度为(3)C点总挠度为41第41页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。42第42页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：43第43页，共67页，2023年，2月20日，星期一6、梁的刚度计算刚度条件：[v]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。44第44页，共67页，2023年，2月20日，星期一例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v

]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。45第45页，共67页，2023年，2月20日，星期一解：由刚度条件46第46页，共67页，2023年，2月20日，星期一9-4简单超静定问题一静定与静不定能用静力学平衡方程求解的问题，称为静定问题。未知力多于平衡方程，用静力学平衡方程不能求解的问题,称为静不定问题（或超静定问题）静不定问题未知力的数目，多于有效平衡方程的数目，二者之差称为超静定次数47第47页，共67页，2023年，2月20日，星期一二静不定问题分析为了求解静不定问题，除了利用平衡方程外，还须研究变形，并借助于变形与内力的关系，建立补充方程（即变形协调条件或变形协调方程）；保证结构连续性所应满足的变形几何方程，称为变形协调条件或变形协调方程。求静不定问题应考虑三个方面关系：（1）静力学平衡关系（2）变形几何关系（3）变形与力之间的物理关系48第48页，共67页，2023年，2月20日，星期一yxFPFN1FN3FN2FPE2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCD49第49页，共67页，2023年，2月20日，星期一FPyxFN1FN3FN2平衡方程超静定次数：3-2=150第50页，共67页，2023年，2月20日，星期一FPl1l3l2E2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCDA´变形协调方程：

各杆变形的几何关系平衡方程:51第51页，共67页，2023年，2月20日，星期一变形协调方程：

物性关系结果：由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出52第52页，共67页，2023年，2月20日，星期一例一杆AB,在C处受轴向外力P,已知面积A,

弹性模量E,求A、B两端的支座反力。

9-4.1拉压超静定53第53页，共67页，2023年，2月20日，星期一解:（1）列静力学方程解除约束，设约束反力为RA.RB.列方程：（2）列变形几何条件设杆受力P作用后,C点移至C，在原有约束条件下，杆AB的长度不变，故此时AC段的伸长△lAC与CB段的缩短△lCB应该相等。由此变形几何条件：（b）（3）

列物理条件由虎克定律：（c）（4）建立补充方程，解出约束反力将式（c）代如式（b），得补充方程即联立方程得：C´54第54页，共67页，2023年，2月20日，星期一求静不定问题应考虑：（1）满足静力学平衡关系（2）满足变形协调条件（3）符合变形与力之间的物理关系（如在线弹性范围内，即满足胡克定律）即综合考虑静力学，几何与物理三方面。三静不定问题的特点（即静不定问题区别于静定问题的特征）（1）杆的轴力不仅与外载荷有关，而且与杆的拉压刚度有关（成正向变化）；（2）各杆（或各杆段）的变形须满足变形协调条件。由于温度变化或杆长存在制造误差，在结构未受力时就已存在的应力，分别称为热（温度）应力与预应力。下面看一个由温度变化引起热应力的例子55第55页，共67页，2023年，2月20日，星期一例杆AB长为l,面积为A,材料的弹性模量E和线膨胀系数,求温度升高T后杆温度应力。

（1）列平衡方程

解除约束，设约束反力为RA.RB.列方程：解：（2）列变形几何条件因温度引起的伸长因轴向压力引起的缩短（3）

列物理条件（4）

建立补充方程56第56页，共67页，2023年，2月20日，星期一9-4.2弯曲超静定一、静不定梁的基本概念57第57页，共67页，2023年，2月20日，星期一用多余反力代替多余约束，就得到一个形