2016年高中数学导数高考真题

第第#页（共37页）可得y二flx〕在点（0,f（OB处的切线斜率为匕F10〕=b,切点为（0,cL可得切线的方程为户bx+c；[2]设a=b=4,即有flx〕=x3+4x2+4x+c,由flx〕=0,可得-c=X3+4x2+4x,由glx〕=X3+4x2+4x的导数g'[x]=3x2+8x+4=[x+2]（3x+2L当x>-2或x<-2时，g，lx〕>0,glx〕递增；3当-2<x<-Z时，gf[x]<0,glx〕递减.3即有g〔X〕在x=-2处取得极大值，且为0；g仅〕在x=-2处取得极小值，且为-四.3 27由函数f〔X〕有三个不同零点，可得-丝<-c<0,27解得27则c的取值范围是（0,四〕；2713〕证明：假设f仅〕有三个不同零点，令f仅〕=0,可得f〔X〕的图象与x轴有三个不同的交点.即有f〔X〕有3个单调区间，即为导数f'〔X〕=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△>（）,即4a2-12b>0,即为a2-3b>0；假设a2-3b>0,即有导数F〔X〕=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0,a=b=4时，满足U2-3b>0,即有flx〕=x1x+2〕2,图象与x轴交于（0,0]，1-2,0〕，则flx〕的零点为2个.故a2-3b>0是f〔X〕有三个不同零点的必要而不充分条件.【点评】此题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题.[2016•江苏〕已知函数flx〕=ax+bx（a>0,b>0,a=1,b/1〕.11〕设a=2,b=—.2①求方程f〔X〕=2的根；②假设对于任意x£R,不等式f12x〕Nmf〔X〕-6恒成立，求实数m的最大值；⑵假设b>l,函数glx〕=flx〕-2有且只有1个零点，求ab的值.【分析】〔1〕①利用方程，直接求解即可.②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可.12]求出glxbflx〕-2=ax+bx-2,求出函数的导数，构造函数h[x]=(及尸+上空,aInb求出g〔X〕的最小值为：g(x0K同理①假设glx。〕<0,g仅〕至少有两个零点，与条件矛盾.②假设g〔X。〕>0,利用函数g仅〕二f仅〕-2有且只有1个零点，推出g〔X。〕=0,然后求解ab=l.【解答】解：函数f〔X〕=ax+bx(a>0,b>0,a=1,b/1〕.11〕设a=2,b=—.2①方程f〔X〕=2；即：2z+-^2?可得x=0.②不等式f]2x〕Nmflx〕-6恒成立，即1二J」〕-6恒成立.产 2工令1=2宴+~^,tN2.2s^-<2不等式化为：t2-mt+4三0在tN2时，恒成立.可得：△W()或工l22-2id-4>0即：m2-16W0或mW4,，m£(-°°,4].实数m的最大值为：4.⑵glx〕=f[x]-2=ax+bx-2,g'(x)=axlna+bxlnb=第)町Inb,Inb'J0<a<l,b>l可得白>1，a令hlx〕={_k『+L也，则h〔X〕是递增函数，而，lna<0,lnb>0,'a'Inb因此，Xo=lci%（-景）时，h〔X。〕=0,a因止匕x£[-8,x。〕时，hlx〕＜0,axlnb＞0,则g'lx〕＜0.x£（xQ,+8〕时，hlx〕＞0,axlnb＞0,则g'lx〕＞0,则glx〕在1-8,x。〕递减，1x0,+8〕递增，因此g[x]的最小值为：g〔X。〕.①假设g〔X。〕＜0,X＜loga2时，ax＞J口g/=2,bx＞0,则g〔X〕＞0,因此\Vloga2,且、＜乂0时，g（xj＞0,因此g〔X〕在X，x。〕有零点，则g〔X〕至少有两个零点，与条件矛盾.②假设g〔X。〕＞0,函数g〔X〕二f〔X〕-2有且只有1个零点，g〔X〕的最小值为g仅0〕，可得g[x。〕=0,由g⑹=ao+bo-2=0,因止匕Xo=O,因此1口目卜（一）=0，-BPlna+lnb=0,In（ab）=0,则ab=l.a可得ab=l.【点评】此题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力.12016•浙江〕设函数flx〕=X3+」-，xe[o,1],证明：k+11I〕fix〕三1-X+X2m〕2＜f（X）＜2.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 2【分析】〔I〕根据题意，1-X+X2- 利用放缩法得J_dw」一,\o"CurrentDocument"1-（-x） 1+k 1+s即可证明结论成立；[口〕利用OWxWl时x3Wx,证明flx〕W3，再利用配方法证明flx〕三更,\o"CurrentDocument"2 4结合函数的最小值得出f〔X〕＞呈，即证结论成立.4【解答】解：〔I〕证明：因为f仅〕=X3+J_,xe[o,1],x+14所以」Hk1+s所以1-X+X2-X3<—3^,x+1即f［x］三1-X+X2;〔口〕证明：因为OWxWl,所以X3WX,所以flx］=X3+—^Wx+—j—=x+__W+工(K—1)(2x+l)+Ww3；工+1 s+1 x+1 22 2(x+l) 2 29 _ _由［I］得，f［X］三1-X+X2=我