南京工业大学高等数学B 试卷卷(闭)

yozrrrD3222yozrrrD3222南京工业大学

高等数学B

试卷（A）卷（闭）

题号

一

二

三

四

五

总分得分一、填空题（本题共5小题，每题3，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）1、方程

1

的一个特解为2、设平上曲线

y2z1b2c2

绕

z

轴旋转所得到的旋转面方程为

3、设

D0

a

2

2

,0

，由二重积分的几何意义知

a

2

2

y

2

dxdy

r4知量

rrr都垂直向b构成右手系则c=

、曲面

:

z8x0

在

P

的切平面的法向量是二、选择题（本题共5小题，每题3，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）1、下列微分方程中（）以被称为是关于y的贝里微分程（A）

dyxydx

2

（B

dydx

(x

2

2（C）

dydx

xye

x

（D

dyxydxx22有线

L:1

xyz2x3y2z及:12354

则

L,L2

的位置关系为（）（A）异面（B）平行（C）垂直（）相交3、对二元函数

z(x,y)点

P(x,y)00

处的下列叙述中正确的是（）（A若在

P

处的偏导数

f(x)00

，

f(x,y)存在，则y0

(x,y)在

P

处连续（B）若（）若

f(x)，f,y)存在，则df(x,ydxf(x,ydy0000x00(x,y)在不连续，则P处的偏导数必不存在0（Ｄ）若

(x,y)在

P

处的两个偏导数连续，则

(x,y)在

P

处必可微分南京工业大学

第1

共7

、若区域

D

，(成的区域，

D

是

D

在第一象限的部分，则

＝（）D(A2

x

2

ydxdy

(B4

x

2

ydxdy

()

０

()

x

2

ydxdyDD115、下列关于数项级数的叙述中确的(

D1(A若u收敛，则u收敛()若u收，则u收nnnnnnn

()

若

limn

unun

，则

u收D若u收，则nnnnn

n

收敛三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）1分）求微分方程

dy2y(x5dxx1

的通解。2分）设

zxycos(x2y)

求

。3分求过点

M且与直线

xyz324

垂直的平面方程．南京工业大学

第2

共7

nn4分）计算

sinyy

dxdy

，其中D是直线

x与y

x

所围成的闭区域。D5分）求出幂级数

n

(

xn1

的收敛域及其和函数６分）设函数

z(x,y)由程

zz,y)0定，求zyx、分)方程

y

2xy1x

2

的通解南京工业大学

第3

共7

22四、应用题（8分试求表面积为2而积为最大的长方体的体积．五（题7分要求用两种不同的方法计算二重积分

2

，其中

D:xa(a0)

（注意如果用一种方法正确解出可得）南京工业大学

第4

共7

22512223221y11122512223221y111南京工业大学

高等数学

试卷（A）(参考答案)学年第二学期使浦院一、填空题（本题共4小题，每题3，满分12分）1、

y

13

2、

x2y2z1bb2c2

3、

a

4

二、选择题（本题共4小题，每题3，满分12分）1、(A)2、(A)、(D)4、(A、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书）1、(本题7分解解：因

(x)

2x1

积分因子eex

1(x1)方程两边乘

1(x

11得到(2(x2(x(x

，两边积分：

1(x1)

y

1(x2

=

23

3(x2C通解为：

2y(x1)[(xC]3

，-----------------------7分2、解：

ysin(x=()

12cos(x2y)

--------------------7分3、解：平面法向量

n

。由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为(x1)3)02y70

-----------------------------------7分4、解：原式=

0y2

sinyy

dx

=

y=ydy-000

ysinydy=

11

------------------------------------------------------------------7分、：因limn

u(x)bu(x)n

=

limn

1n21n1

xx

nn

x南京工业大学

第5

共7

nnxnnxxy2yx12x1212121212y21222nnxnnxxy2yx12x1212121212y21222所以，当x1，x1

时，幂级数绝对收敛当

x

时级为

n

1n1

此发散当x1时级为

n

(

1n1

，此时收敛，所以收敛域(

--------------------------------------------------------------4分设

(x)n

xnn1

x1

，sn1nn

(

x

n

11x

x1

，所以

0

0

11x

dx

x1(x)ln(1、：设

(x)ln(1x)-------------------5分zzG(x,y,z),y)yx

则G

x

FF(12

zx

，

zGF(Fy12

，

11GFFz12所以zFFGx2=G11zFFyx

FG，=Fdz=

zFFx11FFyx

dx

zFF1211FFyx

dy

--------------------------------9分（若用其他方法解，自己掌握）、：令

y

，则

y

dpdp2xp，方程化为dxdx1x

2分离变量并两边积分得到

pln(1x)C

1

(1x)---------------------------------------------------5分1南京工业大学

第6

共7

3xy22a2a23xy22a2a22y(x1

13

x)C

2

---------------------------------------9分四、应用题8分）：设长方体的长、宽、高分别为

,y,z则表面积为

2xy2xz2yz

，体积为

V设乘数函数：

F(x,y,z)xyz2yza

2

)则由xzFxyz2xz

2z)2z)0202yza

唯一驻点

xyz

a6由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为五题7分

a6

时，可使体积最大解法一：利用极坐标计算：令

r

，则

2

=

rdrd

=

d00=

20

1co