2015高考数学一轮平面向量、数系的扩充与复数的引入复习题

实用精品文献资料分享实用精品文献资料分享2015高考数学一轮平面向量、数系的扩充与复数的引入复习题第1课时平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．对应学生用书【梳理自测】一、向量的概念及线性运算1.若向量与不相等，则与一定 A.有不相等的模 B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量2.若m〃n,n〃鼠则向量m与向量卜A共线B.不共线C.共线且同向D.不一定共线3.D是4ABC的边AB上的中点，则向量CD一等于 A.一BC一+12BA-B.一BC一一12BA-C.BC一一12BA-D.BC一+12BA-答案：1.C2.D3.A♦以上题目主要考查了以下内容： 1向量的有关概念①向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.②零向量：长度为零的向量，其方向是任意的.③单位向量：长度等于1个单位的向量.④平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量.⑥相反向量：长度相等且方向相反的向量.(2)向量的加法与减法向量运算定义法则(或几何意义运算律加法求两个向量和的运算 1交换律：+=+.结合律：++=++减法向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即+—=— —=+一二、向量的数乘及共线向量1.设与是两个不共线向量，且向量+人与2—共线，则入= .2.已知向量,,且人8-=+2+BC—=一+,CD—=—2+共线的三点是 .答案：.—122.A、B、D♦以上题目主要考查了以下内容：(1+定义：实数人与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作人,它的长度与方向规定如下：①|入AI八||；②当人〉时，入与的方向相同；当入〈时，入与的方向相反；当人=时，入a=0.(运算律:设入邛是两个实数，则①人(Ma)=(人口)a；②(入+口)a=入a+pa；③入(a+b)=Aa+入b.(共线向量定理向量@6/0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使b=入a.【指点迷津】 i一个顺序一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.2.两个要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.3.三个注意(向量共线的充要条件中要注意“aW0”，否则人可能不存在，也可能有无数个.(2)注意向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(3)注意0与0的区别0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行.0+0是无意义的，0・0=0而不能为0. 对应学生用书考向一平面向量的概念给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a=｝则@=乐③在口ABCD中，一定有AB-=DC-；④若=n=，则=;⑤若@〃上6〃的则a〃c.其中不正确的个数是( )A.2 B.3C.4D.5【审题视点】以概念为依据判定正确性，用反例来否定正确性. 【典例精讲】两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；aib,但a,6方向不确定，所以a,b不一定相等，故②不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当b=0时，a与c不一定平行，故⑤不正确. 【答案】B【类题通法】 (1)平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.(2)几个重要结论①相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；③平行向量与起点无关；④向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小.1.给出下列命题：①若|a|=|b|,则a=b；②若A,B,C,D是不共线的四点，则AB-=DC一是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,6=。，则@=。；④a=b的充要条件是|@|=向且@〃卜其中正确命题的序号是 .解析:①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.,.・AB-=DC-,・・.|AB一|=|DC一|且AB一〃DC一，又TA,B,C,D是不共线的四点，，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB-〃DC-且|AB-|=|DC-|,因此，AB-=DC-.③正确.・・・a=b,・・.a,b的长度相等且方向相同；又6=如・・.b,c的长度相等且方向相同，・・.a,c的长度相等且方向相同，故a=c.④不正确.当@〃6且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到@=，故|@|=向且@〃6不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.答案：②③考向二平面向量的线性运算 （1）（2014•山东高考原创卷）如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB-=a,AC-=b,则AD-=（ ）A.a—12b B.12a—bC.a+12bD.12a+b（2）（2014•烟台模拟）若O是AABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20人一+08-+OC-=0,那么（ ）A.AO-=OD-B.AO一=2OD-C.AO一=3OD-D.2AO-=OD一【审题视点】⑴用平行四边形法则求解.（2）利用三角形性质及向量的运算法则求解.【典例精讲】（1）连接OC、OD、CD,由点C、D是半圆弧的三等分点，有NAOC=NCOD=NBOD=6O°,且OA=OC=OD,则iJ^OAC与4OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以ADf=AOf+ACf=12ABf+ACf=12a+b.（2）如图，OB-+OC-=2OD-又T2OA-+OB-+OC-=0.・.OB-+OC-=一2OA-・・・2OD-=—2OA-.,.OD-=AO-.【答案】（1）D（2）A【类题通法】1.平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则.2.两个重要结论（1）向量的中线公式：若P为线段AB中点，则OP-=12（OA-+OB-）.（2）向量加法的多边形法则A1A2一+A2A3-+A3A4-H——Hn—1An=A1An一..（2014•郑州模拟）已知AABC和点M满足MA-+MB-+MC-=0,若存在实数m使得AB-+AC-=mAM-成立，则m=（ ）A.2B.3C.4D. 解析：选B.由MA-+MB-+MC-=0,易得M是AABC的重心，且重心乂分中线AE的比为AM：ME=2：1,.,.AB-+AC-=2AE—=m・AM-=2m3・AE-， .\2m3=2,Am=3.考向三共线向量定理及应用 设12是两个不共线向量，已知AB-=2— ,2CB-=+32CD-=2—2.（1）求证：A,B,D三点共线；（2）若BF-=3—k2且8,D,F三点共线，求k的值.【审题视点】（1）推证"BD-=AAB-”形式.（2）利用BF-=入BD-时，待定k.【典例精讲】 （1）证明：由已知得BD-=CD——CB-=（2—2—（+32）=—42VAB-=2—,2・・・AB-=2BD-,又有公共点B,・・・A,B,D三点共线.（2）由（1）可知BD-=—42且8尸一=3—k2由B,D,F三点共线，所以存在实数入，使得BF-=ABD-,即3—k=入1—4入2得入=3,—k=—4入，解得k=12,.\k=12.【类题通法】1.共线向量定理及其应用（1）可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值.（2）若，不共线，则人+口=0的充要条件是人=口=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.2.证明三点共线的方法若AB-=AAC-，则A、B、C三点共线.3.（2014•山东高考原创卷）已知向量，是两个不共线的向量，若AB-=A1+,AC-=+入2（1,入2ER）,则“A,B,C三点共线”是“入1•入2—1=0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.A,B,C三点共线等价于AC-,AB-共线，根据向量共线的充要条件知，AC-、AB一共线，即存在实数入，使得AC-=AAB-,即+入2=入（入1+）由于向量，不共线，根据平面向量的基本定理得入1•入=1且入2=人,消掉入，得入1•入2—1=0.故“A,B,C三点共线”是“入1•入2—1=0”的充分必要条件.对应学生用书向量共线与其方向关系不清致误(2014•郑州模拟已知向量@，b不共线，且=入a+b,=a+(2入—1b若与同向，则实数人的值为.【正解】由于与同向，所以=A0)于是入a+b=%(2入—1b］整理得入a+b=+(2入— 6由于@,b不共线，所以有人=,2人一=1,整理得2入2—入一1=0,所以入=1或入=—12.又因为〉0,所以入〉0,故人=1.【答案】1【易错点】解答本题时，由于对两个向量共线、同向、反向的概念理解不清,混淆它们之间的关系,导致错解：认为有两解．【警示】两个向量共线,是指两个向量的方向相同或相反,也称它们为平行向量,因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线．在求解相关问题时要注意区分三者．一般地，若a=Ab,那么a与b共线；当人〉0时，a与b同向；当人<0时，a与6反向.1.(2012•高考辽宁卷已知两个非零向量a,b满足+b=—b।则下面结论正确的是( .a〃bba±bC.a=b.a+b=a—b解军析：选.dab=—b表示平行四边形对角线相等，此时平行四边形为矩形，・・.a，b.2.(2013•高考广东卷设a是已知的平面向量且@三0.关于向量@的分解，有如下四个命题：①给定向量上总存在向量，使a=b+c②给定向量6和，总存在实数人和口，使a=Ab+pc③给定单位向量6和正数p，总存在单位向量和实数入，使a=Ab+pc④给定正数人和p，总存在单位向量6和单位向量，使a=Ab+p.上述命题中的向量上和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( .1.2C.3.4解析：选C.利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.对于①，若向量@,b确定，因为a—b是确定的，故总存在向量，满足=a—b,即a=b+,故正确；对于②，因为和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数人，p，满足a=Ab+p,故正确；对于③，如果a=Ab+p,则以a,入b,p为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数p确定，则一定存在单位向量和实数人满足a=Ab+p,故正确；对于④，如果给定的正数人和p不能满足“以a,入b,p为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量和就不存在，故错误.故选C.3.（2013•高考四川卷）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB-+AD-=AAO-，则入= .解析：根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.由向量加法的平行四边形法则，得AB-+AD-=AC-.又O是AC的中点，・・.AC=2AO,・・・AC-=2AO-，・・・AB-+AD-=2AO-.又AB-+AD-