2014年高考真题-文科数学上海卷

2014年全国普通高等学校招生统一上海数学试卷(文史类)考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数y=1-2cos2(2X)的最小正周期是.n1【答案】【解析】2nn•/y=1-2cos2(2x)=-cos4x「•周期T=——=—4 2(、—2、若复数z=1+2i,其中i是虚数单位，则z+—•z=.I z/2【答案】6【解析】…，1、・「z=1+2i••(z+—)•z=zz+1=(1+4)+1=6z.设常数a£R,函数f(X)=|x-1|+|X2-小若f(2)=1，则f(1)=.3【答案】3【解析】

,/f(x)=1x-11+Ix2-al-.f(2)=1+14-a1=1,解得a=4「.f(1)=0+I1-4I=3.所以，是3x2 y2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆—+y=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为4【答案】x=-2【解析】v?+高=1;右焦点为(2,0)vy2=2px焦点为(2,0)，其准线方程为x=-2所以，是x=-2TOC\o"1-5"\h\z.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 .5【答案】70【解析】按比例进行抽样，设高一高二共抽n个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=70.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.6【答案】 2"2【解析】一2、一： T- 一一vxy=1..x2+2y2=x2+一>2,x2•一=2、'2,所以，是2%'2x2 [ x2.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为(结果用反三角函数值表示)。1arcsin一7【答案】【解析】7【答案】【解析】8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .8【答案】24【解析】两个长方体的体积和V=总长•宽•高二(5-1)•3•2=24所以，是24一x+a,x<0,9.设f(x)=1 1若f(0)是f(x)的最小值，a的取值范围为x+-,x>0,、x9【答案】(-8⑵【解析】,:f(x)=-x+a,x<0,是单调递减的「.f(0)=a是最小值;当x>0时，f(x)=x+12.、：x・1=2是最小值.f(0)=a<2.所以是(-"2]x\x10.设无穷等比数列｛a｝的公比为q，若a=lim(a+a+…+a)，则q=n 1 3 4 n 'n-8<5-110【答案】21-q1-qn-2 aaq2 )= 3-=1-1-q1-q1-q丁qW1,a=lim(a+a+a+•••+a)=lim(a•「.q2+q-1=0,解得夕=1；§>1,或q= 2，'(舍去).TOC\o"1-5"\h\z2 111.若f(X)=X3—X-2，则满足f(X)<0的X取值范围是。11【答案】(0,1)【解析】2 1 7 7 7QX3-X-2<0,X>0「.X6-1<0,X6<160<x<1. (0,1)12.方程sinx+<3cosx=1在区间［。,2兀］上的所有解的和等于7n12【答案】 3【解析】- nsinx+\：3cosx=2sin(x+—)=1,x^[0,2n]^3一. n n n 7n当2sm(x+一)=1,x^[0,2n]时，解得式=一，x=2n x+x=——3 12 2 6 12313.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结构用最简分数表示)。113【答案】 15【解析】81 1概率p=c8_=15.所以，是151014.已知曲线C：X=—《4—产，直线1：x=6。若对于点A(m，0兀存在C上的点P和/上的点Q使得AP+AQ=0，则m的取值范围为。14【答案】——[2,3L一【解析】C图像是半径为2的半个圆，在y轴左侧，x1G[-2,0]・.・AP+AQ=0,・・.A(m,0)为P(x,y),Q(6,t)的中点11•・.2m=6+x,xG[-2,0]「. mG[2,3].所以，是[2,3]11二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15.设a,beR，则“a+b>4”是“a>2,且b>2”的()(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件15【答案】B【解析】显然，a+b>4,无法推出a>2>b>2」.不是充分条件若a>2且b>2,则a+b>4成立「.是必要条件，必要不充分条件所以，选B16已知互异的复数a,b满足abW0,集合{a,b}={a2,b2}，则a+b=。16【答案】D【解析】分类讨论.⑴若a=a2,若b=b2,且a半b,aW0,b为0,则解集为空(2)若a=b2,b=a2,且a#b,a#0,b#0,则a-b=-a2+b2=(b+a)(b-a),解得-1=a+b.所以，选D17.如图，四个边长为1的正方形排成一个正方形，AB是大正方形的母广白Pr一条边，P(i=1,2，…7)是小正方形的其余的顶点，则%，,工4AB•AP(i=1,2…7)的不同值的个数为()i(A)7 (B)5 (C)3 (D)1 1一] [&鸟17【答案】C【解析】AB•AP=1ABI•IAPIcos<AB,AP>=2•0,或2•l,或2・2「.有3个不同的值选C18.已知P(a,b)与P(a,b)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的111 222fax+by=1方程组《1 71 1的解的情况是()Iax+by=122(A)无论k,P,P如何，总是无解 (B)无论k,P,P如何，总有唯一解12 12

(C)存在k,P,P,使之恰有两解 (D)存在k,P,P,使之有无穷多解TOC\o"1-5"\h\z12 1218【答案】B【解析】,/b=ka+1,b=ka+1「.b-b=k(a-a),a丰a1 1 2 2 12 12 1 2,/ax+by=1,ax+by=1(a-a)x+(b-b)y=01 1 2 2 12 12即(a-a)x+k(a-a)y=0,即x+ky=012 12代入:-aky+by=1,化简：(〃-ak)y=1,即y=1,x=-k1 11所以，x,y有唯一解选B三．解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）三．解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P-ABC,其表面展开图是的体积V.三角形P]P2P3，如图，求1P2P3的各边长及此三棱锥19【答案】 4,4,4；2<2丁【解析】•••是正三棱锥【解析】•••是正三棱锥P-ABCAAPAB,APBC,APAC为全等等腰三角形123・・•AABC是边长为2的正三角形，AAPAB,APBC,APAC均是边长为2的正三角形123所以，APPAP是边长为4的正三角形12 3 _ _设正三棱锥P-ABC高为h,则h2=22-（233）2,解得h=236"正三棱锥P-"。的体积"3"aabJh=33•W==所以，正三棱锥P-所以，正三棱锥P-ABC的体积为2<220.(本题满分14分)本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分。2兀+a设常数a20，函数f(x)=- x-a(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.20【答案】(1)f-1(1)f-1(x)=2+log2x+1刀,xe(-121+8)(2)当a=0时，f(x)是偶函数；当a=1时，f(x)是奇函数;当a>0,且aW1时，f(x)是非奇非偶函数；【解析】2x+a2x+4当a=4时,/y=f(x)= = e(-8-1)(1,+8)/.(2x-4)y=2x+4,2x-a 2x-4解得2x=叶,即x=log(今)=2+log二.y-1 2y-1 2y-1x+1所以/-1(x)=2+log ,xe(-8-1)U(1,+8)2x-1y=f(x)=^x+a的奇偶性讨论如下2x-a若定义域对称的则a=0,或a=1⑴若a=0时，f(x)=1,「.f(x)是偶函数2x+1 2-x+11+2x(2)若a=1时，f(x)=---丁f(-x)=---= =-f(x)2x-1 2-x-11-2x「.f(x)是奇函数所以,当a=0时，f(x)是偶函数；当a=1时，f(x)是奇函数;当a>0,且aW1时，f(x)是非奇非偶函数；21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC

长35米，CB长80米，设4B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为a和P.(1)设计中CD是铅垂方向，若要求a>2p，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后.CD与铅垂方向有偏差，现在实测得a=38.12。，p=18.45。，求CD的长(结果精确到0.01米)？CD的长(结果精确到0.01米)？21【答案】(1) 28.28米(2)26.93米【解析】(1)令DC=h,则tana==,tanp==—DC35CB80n>a>2p>0「.tana>tan2P="a*>02 1-tan2P2•—>802•80h1,h 802-h21-(—)2>0,解得0<h<2022-28.28所以，80AC的最大长度是28.28米(2)设DC=h,BD=m,在AABD中,由正弦定理得,m

sin38.12°35+80

sin(38.12°+18.45°)解得解得m=35+80

sin(38.12°+18.45°)•sin38.12°~85.064在^BCD中，由余弦定理得，h2=802+m2-2•80•m•cos18.45°,解得h~26.93米所以，AC的长度是26.93米22(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy中，对于直线I:ax+by+c=0和点P1(x1，y1)，P((x2，y2)，记n=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若n<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分隔，则称直线I为曲线C的一条分隔线。(1)求证：点A(1,2)，B(-1,0)被直线x+y1=0分隔；

(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线。11(y-一]U[—,+8)22【答案】(1)省略⑵ 2 2 (3)只有直线4=0【解析】证明点4(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0平分，过程如下把点A,B分别代入直线方程左式中，得n=(1+2-1)(-1+0-1)=-4<0所以，点4(1,2),B(-1,0)被直线x+y-1=0平分若直线y=女X是曲线%2-4y2=1的分割线，则3P(x,y),3P(x,y)在曲线上，且(y-kx)(y-kx)<011 22 1 1 2 2•.・曲线x2-4y2=1是双曲线，渐近线方程为y=±-x.•.当kQ(-"」“1,+吗时，直线y=卜乂与双曲线2 22且直线y=kx上下方存在点均在双曲线上。所以，当kQ(-所以，当kQ(-"一2]"2,+直线y=kx是曲线%2-4y2=1的分割线设动点M(x,y),Q(0,2),据题有MQ^Ixl=1，即MQ2•Ix12=12,即x2+(y-2)2=—x2变形为：x2-—+(y-2)2=0,x#0.x2.••曲线x2+(y-2)2=-1的图像关员=0,y=2对称，也关于(0,2)中心对称，且yeRx2当x>0,y22时，曲线的图像单调递减利用数形结合法画出图像可知,只有直缀=0与图像不相交,且图像在直线左右两侧.所以，只有直绳=0是E的分割线23.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列｛a｝满足1aVa43a,nwN*,a=1.n 3n n+1 n 1(1)若a=2,a=x,a=9，求x的取值范围；234

1⑵若｛叶是等比数列,且V1000，求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应｛a｝的公比；n（3）若a,a,,a成等差数列，求数列a,a,,a的公差的取值范围.1 2 100 1 2 1003 [ ,