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文档简介

线性方程组理论是数学中一个重要的基础理论，是线性代数研究的重点。科学技术和经济管理中的许多问题，经常可以归结为求解一个线性方程组。本章主要讨论线性方程组的求解方法、线性方程组有解的充要条件、向量间的线性关系和性质、线性方程组的性质和解的结构。第二章线性方程组第二章线性方程组第一节线性方程组一、线性方程组的概念二、克拉默法则三、高斯消元法四、线性方程组有解的判定定理§1线性方程组一、线性方程组的概念运费的总费用为例二元线性方程组解的讨论.有实数解的充要条件是：两条直线均过平面上的点.解平面上两条直线间有三种情况：相交、平行和重合，因此二元线性方程组的解也有三种形式：唯一解、无解和无穷多解，或者说方程组的解集中分别含有一个、零个和无穷多个元素.例线性方程组的图像与解x1x2x1x2x1x2唯一解无解无穷多解方程组图像解线性方程组的概念一般表达式矩阵表达式非齐次线性方程组齐次线性方程组系数矩阵未知量矩阵常数项矩阵

线性方程组的系数和常数项构成的矩阵称为线性方程组的增广矩阵.二、克拉默(Cramer)法则对于二元线性方程组当系数行列式时，二元线性方程组有唯一解.上式给出了二元线性方程组的求解公式．取1750年，瑞士数学家克拉默在其著作《线性代数分析导引》中，给出了行列式的定义和展开法则，以及著名的克拉默法则。例解线性方程组

解1

用克拉默法则，线性方程组的系数行列式为因此线性方程组有唯一解，又所以线性方程组的解为解2

用矩阵的初等变换求解，由于方程组的解为

如果将克拉默法则运用的n元齐次线性方程组上,则有下面定理.例已知齐次线性方程组有非零解

说明：克拉默法则给出了线性方程组的解与系数的关系，具有一定的理论意义，但它仅适用于行列式不为零的n元线性方程组，且计算量大，对于一般的线性方程组的求解主要采用下述高斯消元法.三、高斯(Gauss)消元法例求解线性方程组

消元过程第二个方程减去第一个方程的2倍第三个方程减去第一个方程第二个方程与第三个方程互换第三个方程减去第二个方程的4倍解①②③线性方程组的解为回代过程将第三个方程两边乘以第一个方程减去第三个方程的3倍第二个方程加上第三个方程第一个方程加上第二个方程第一个方程两边乘以④⑤⑥⑦线性方程组同解变换增广矩阵的初等变换初等变换

对线性方程组所作的同解变换过程，相当于对其增广矩阵作对应的初等行变换过程.由分块矩阵的乘法，得

高斯是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。例解线性方程组例解线性方程组即例解线性方程组行阶梯形矩阵对应的方程组为即对行阶梯形矩阵继续实施初等行变换从而有四、线性方程组有解的判定定理行阶梯形矩阵对应的方程组原方程组同解，即有解，有解时求出其解.解将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，有得原方程组的同解方程组即有非零解

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