《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教案

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

【教材分析】

三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把

所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数

联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了

解常用的测量相关术语；

2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符

号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.

数学学科素养

1.数学抽象：方位角、方向角等概念；

2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；

3.数学运算：解三角形；

4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角

形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．

【教学重点和难点】

重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的

解；

难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.

【教学过程】

一、情景导入

在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索

到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，

但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是

上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些

问题？又怎么解决？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本48-51页，思考并完成以下问题

1、方向角和方位角各是什么样的角？

2、怎样测量物体的高度？

3、怎样测量物体所在的角度？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、实际测量中的有关名称、术语

名称定义图示

基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与

仰角

水平线的夹角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线

俯角

的夹角

方从指定方向线到目标方向线的水平角

向(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角

角小于90°)

方

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转

位

过的水平角

角

四、典例分析、举一反三

题型一测量高度问题

例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象

征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又

沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出

泉标的高度吗？(精确到1m)

【答案】泉城广场上泉标的高约为38m.

【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．

依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，

AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，

故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.

在△ABD中，根据正弦定理，

BDABAB·sin60°15.2·sin60°

＝.∴BD＝＝≈38.5(m)．

sin60°sin∠ADBsin20°sin20°

在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，

即泉城广场上泉标的高约为38m.

解题技巧（测量高度技巧）

(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线

与水平线的夹角；

(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；

(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想

的运用．

跟踪训练一

1、乙两楼相距200m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？

4003

【答案】甲楼高为2003m，乙楼高为m.

3

【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．

在△ABC中，BC＝200×tan60°＝2003，

AC＝200÷sin30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，

∴△ACD为等腰三角形．

1

由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×－＝3AD2，

2

400240034003

AD2＝，AD＝.故甲楼高为2003m，乙楼高为m.

333

题型二测量角度问题

例2如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)nmile的两个观测点．现

位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B

点南偏西60°且与B点相距203nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30

nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？

【答案】救援船到达D点需要的时间为1h.

【解析】由题意，知AB＝5(3＋3)nmile，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

BDAB

在△DAB中，由正弦定理得＝，

sin∠DABsin∠ADB

ABsin∠DAB5(33)sin455(33)sin45

即BD＝＝＝＝103n

sin∠ADBsin105sin45cos60cos45sin60

mile.

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203nmile，

∴在△DBC中，由余弦定理，得

1

CD＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×＝30nmile，

2

30

则救援船到达D点需要的时间为＝1h.

30

解题技巧：(测量角度技巧)

测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该

三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三

角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．

跟踪训练二

1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，

在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile的速度追

截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私

船沿什么方向能最快追上走私船？

【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

【解析】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝

6，

AC232

∴BC＝6，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，

BC622

∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

BD·sin∠CBD10tsin120°1

sin∠BCD＝＝＝，

CD103t2

∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

题型三测量距离问题

例3如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，

用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA

＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．

【答案】A，B两点间的距离为2007m.

【解析】在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.

∴AB＝2007(m)．

即A，B两点间的距离为2007m.

例4如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要

测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪

器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60

m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

【答案】206.

【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，

ABAC

所以由正弦定理得，＝，

sinCsinB

AC·sinC60×sin45°

∴AB＝＝＝206(m)．

sinBsin60°

即A，B两点间的距离为206m.

解题技巧（测量距离技巧）

当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：

(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测

量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：

AB＝a2＋b2－2abcosγ.

(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC

和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.

(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选

取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC

中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.

跟踪训练三

1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者

可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝

β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC

3

中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠

2

ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

6

【答案】A，B两点间的距离为km.

4

【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

3

∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝.在△BCD中，∠DBC＝45°，

2

3

DC26

由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.

sin∠DBCsin45°4

在△ABC中，由余弦定理，得

333623

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝＋－2×××＝.

482428

66

∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为km.

44

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

6.4.3余弦定理、正弦定理

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

概念例1例2例3例4

七、作业

课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.

【教学反思】

对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余

弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.

学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。

《6.4.3余弦定理、正弦定理》导学案

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

【学习目标】

知识目标

1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了

解常用的测量相关术语；

2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符

号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.

核心素养

1.数学抽象：方位角、方向角等概念；

2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；

3.数学运算：解三角形；

4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角

形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．

【学习重点】：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实

际问题的解；

【学习难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本48-51页，填写。

1、实际测量中的有关名称、术语

名称定义图示

基线在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线

在同一铅垂平面内，视线在水平线方时与水

仰角

平线的夹角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线

俯角

的夹角

方

从指定方向线到的水平角(指定方向线

向

是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)

角

方

从正北的方向线按时针到目标方向线所转过

位

的水平角

角

小试牛刀

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()

(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()

(3)方位角和方向角是一样的()

2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()

A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上

3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为（）

A．α＞βB．α＝β

C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°

4.如图，已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，

C＝30°，则A，C两地的距离为________km.

【自主探究】

题型一测量高度问题

例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象

征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又

沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出

泉标的高度吗？(精确到1m)

跟踪训练一

1、乙两楼相距200m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？

题型二测量角度问题

例2如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)nmile的两个观测点．现

位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B

点南偏西60°且与B点相距203nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30

nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？

跟踪训练二

1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，

在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile的速度追

截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私

船沿什么方向能最快追上走私船？

题型三测量距离问题

例3如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，

用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，则可求出A，B两点间的距离．若测得CA

＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．

例4如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要

测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪

器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60

m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

跟踪训练三

1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者

可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝

β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC

3

中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠

2

ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

【达标检测】

1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，

则A，C两地的距离为()

A．10kmB.3km

C．105kmD．107km

2．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，

B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为

π

β，已知AB＝a,0<β<α<，则水塔CD的高度为()

2

asinα－βsinβasinαsinβ

A.B.

sinαsinα－β

asinα－βsinαasinα

C.D.

sinβsinα－βsinβ

3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝519m，

起吊的货物与岸的距离AD为()

153

A．30mB.m

2

C．153mD．45m

4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的

仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.

5．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是

45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求

电视塔的高度．

答案

小试牛刀

1.(1)×(2)×(3)×

2．C.

3．B.

4.32.

自主探究

例1【答案】泉城广场上泉标的高约为38m.

【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．

依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，

AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，

故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.

在△ABD中，根据正弦定理，

BDABAB·sin60°15.2·sin60°

＝.∴BD＝＝≈38.5(m)．

sin60°sin∠ADBsin20°sin20°

在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，

即泉城广场上泉标的高约为38m.

跟踪训练一

4003

1、【答案】甲楼高为2003m，乙楼高为m.

3

【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．

在△ABC中，BC＝200×tan60°＝2003，

AC＝200÷sin30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，

∴△ACD为等腰三角形．

1

由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×－＝3AD2，

2

400240034003

AD2＝，AD＝.故甲楼高为2003m，乙楼高为m.

333

例2【答案】救援船到达D点需要的时间为1h.

【解析】由题意，知AB＝5(3＋3)nmile，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

BDAB

在△DAB中，由正弦定理得＝，

sin∠DABsin∠ADB

ABsin∠DAB5(33)sin455(33)sin45

即BD＝＝＝＝103n

sin∠ADBsin105sin45cos60cos45sin60

mile.

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203nmile，

∴在△DBC中，由余弦定理，得

1

CD＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×＝30nmile，

2

30

则救援船到达D点需要的时间为＝1h.

30

跟踪训练二

1、【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

【解析】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝

6，

AC232

∴BC＝6，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，

BC622

∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

BD·sin∠CBD10tsin120°1

sin∠BCD＝＝＝，

CD103t2

∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

例3【答案】A，B两点间的距离为2007m.

【解析】在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.

∴AB＝2007(m)．

即A，B两点间的距离为2007m.

例4【答案】206.

【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，

ABAC

所以由正弦定理得，＝，

sinCsinB

AC·sinC60×sin45°

∴AB＝＝＝206(m)．

sinBsin60°

即A，B两点间的距离为206m.

跟踪训练三

6

1.【答案】A，B两点间的距离为km.

4

【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

3

∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝.在△BCD中，∠DBC＝45°，

2

3

DC26

由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.

sin∠DBCsin45°4

在△ABC中，由余弦定理，得

333623

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝＋－2×××＝.

482428

66

∴AB＝(km)．∴A，B两点间的距离为km.

44

当堂检测

1-3.DAB

4.30°

5．【答案】电视塔的高为40m.

【解析】设电视塔AB的高为x，

则在Rt△ABC中，

由∠ACB＝45°，得BC＝x.

在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.

在△BDC中，由余弦定理，得

BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，

即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，

解得x＝40，

所以电视塔的高为40m.

《6.4.3余弦定理、正弦定理》课后作业

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

基础巩固

1．若点P在点Q的北偏东4455'方向上，则点Q在点P的（）

A．东偏北4510'方向上B．北偏东4550'方向上

C．南偏西4455'方向上D．西偏南4450'方向上

2．若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且ACBC，

则点A在点B的（）

A．北偏东15方向上B．北偏西15方向上

C．北偏东10方向上D．北偏西10方向上

3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高

AB1km，CD3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，

AEC150，则两山顶A，C之间的距离为()

A．27km

B．33km

C．42km

D．35km

4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后

到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察

灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．103海里B．102海里C．203海里D．202海里

5．如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得ACB45，再

沿AC方向前行2031米到达D点，测得ADB30，则塔高为（）

A．403米B．203米C．40米D．20米

6．已知甲船位于小岛A的南偏西30的B处，乙船位于小岛A处，AB20千米，甲船沿

BA的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行

驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．

7．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，

现测得BCD75，BDC45，CD502米，并在点C测得塔顶A的仰角为30，

则塔高AB______米.

8．已知海岛在海岛北偏东，，相距20海里，物体甲从海岛以海里/小时

的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小

时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；

（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

能力提升

9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D

两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平

面内)，则两目标A，B间的距离为()km.

85415215

A．B．C．D．25

333

10．如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观

察到点A、B；找到一个点D，从点可以观察到点A、C；找到一个点E，从点可以观察

到点B、C；并测量得到一些数据：CD2，CE23，D45，ACD105，

ACB48.19，BCE75，E60，则A、B两点之间的距离为__________．（其

2

中cos48.19取近似值）

3

11．如图，已知在东西走向上有AM,BN两座发射塔，且AM100m，BN200m，

一辆测量车在塔底M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏

西60°方向行驶了1003m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B的仰角为，且

BQA，经计算，tan2，求两发射塔顶A,B之间的距离.

素养达成

12．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于d海里时，就会被警

告.如图，设A，B是海岸线上距离s海里的两个观察站，满足s3d，一艘外轮在P点

满足BAP，ABP.

（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？

2

（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？

3

《6.4.3余弦定理、正弦定理》课后作业答案解析

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

基础巩固

1．若点P在点Q的北偏东4455'方向上，则点Q在点P的（）

A．东偏北4510'方向上B．北偏东4550'方向上

C．南偏西4455'方向上D．西偏南4450'方向上

【答案】C

【解析】如图所示,点Q在点P的南偏西4455'方向上.

故选：C

2．若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且ACBC，

则点A在点B的（）

A．北偏东15方向上B．北偏西15方向上

C．北偏东10方向上D．北偏西10方向上

【答案】B

【解析】如图所示,ACB90.又∵ACBC,∴CBA45.

∵30,∴90453015.∴点A在点B的北偏西15方向上.

故选：B

3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高

AB1km，CD3km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，

AEC150，则两山顶A，C之间的距离为()

A．27km

B．33km

C．42km

D．35km

【答案】A

【解析】AB1，CD3，

AEB30，CED60，AEC150，

CD3

CE23

AE2AB2，sin603；

2

△ACE中，由余弦定理得

3

AC2AE2CE22AECEcosAEC412222328

，

2

AC27；

即两山顶A，C之间的距离为27km．

故选A．

4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后

到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察

灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()

A．103海里B．102海里C．203海里D．202海里

【答案】B

【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，

1

20

BC202

由正弦定理，有，所以BC＝102.

sin30sin452

2

故选B.

5．如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得ACB45，再

沿AC方向前行2031米到达D点，测得ADB30，则塔高为（）

A．403米B．203米C．40米D．20米

【答案】D

【解析】Rt△ABC中,设ABx,则由ACB45可知ACx,在Rt△ABD中,

xx2031

ADx2031,ADB30,所以tan30,3,

x2031x

解得x20.则塔高为20米.

故选：D.

6．已知甲船位于小岛A的南偏西30的B处，乙船位于小岛A处，AB20千米，甲船沿

BA的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行

驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．

10

【答案】

13

【解析】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为t(t0)小时，

此时甲船位于C处，乙船位于D处，则AC206t，AD8t，

由余弦定理可得：CD2(206t)2(8t)22(206t)8tcos120052t280t400=

1048001010

52(t)2，故当t时CD取最小值，故答案为．

13131313

7．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，

现测得BCD75，BDC45，CD502米，并在点C测得塔顶A的仰角为30，

则塔高AB______米.

100

【答案】

3

【解析】因为BCD75，BDC45，

所以CBD60，

CDBC

在△BCD中，根据正弦定理可知，

sinCBDsinBDC

502BC100

即，解得BC，

sin60sin453

AB

在直角△ABC中，tan30，

BC

1003100

AB，

333

100100

所以塔高AB(米)．故答案为.

33

8．已知海岛在海岛北偏东，，相距20海里，物体甲从海岛以海里/小时

的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小

时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；

（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

2021

【答案】（1）20103小时；（2）海里．

7

【解析】

（1）设经过t(0t5)小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛A的

距离为AE102t海里，物体乙与海岛A距离为AF4t海里，

EAF60,AFE75,AEF45，

AEAF202t4t

AEF中，由正弦定理得：，即，

sinAFEsinAEFsin75sin45

则t20103．

（2）由（1）题设，AE202t，AF4t，

由余弦定理得：

EF2AE2AF22AEAFcosEAF

1

(202t)2(4t)22(202t)4t

2

28t2160t400,∵0t5，

202021

∴当t时，EF海里．

7min7

能力提升

9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D

两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平

面内)，则两目标A，B间的距离为()km.

85415215

A．B．C．D．25

333

【答案】B

【解析】由已知，ACD中，CAD30，ACD120，

CDAD

由正弦定理，，

sinCADsinACD

CD·sinACD4?sin120

所以AD43，

sinCADsin30

在BCD中，CBD60，

CDBD

由正弦定理，，

sinCBDsinBCD

CD·sinBCD4sin454

所以BD6，

sinCBDsin603

80

在ABD中，由余弦定理，AB2AD2BD22AD?BD·ADB，解得：

3

415

AB．

3

415

所以A与B的距离AB.

3

故选B

10．如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观

察到点A、B；找到一个点D，从点可以观察到点A、C；找到一个点E，从点可以观察

到点B、C；并测量得到一些数据：CD2，CE23，D45，ACD105，

ACB48.19，BCE75，E60，则A、B两点之间的距离为__________．（其

2

中cos48.19取近似值）

3

【答案】AB10

【解析】由题意知,在△ACD中,A30.

CDsin45

由正弦定理得AC