中考数学“圆”要点点拨与考点解析

中考数“”要点拨考点解●命题预测命题趋：圆是各地中考的主打知识之一，且遍布各种题型，既涉及计算、论证、又涉及探索以及操作题等考查的知识点侧重于与圆关的角、与圆有关的计算.此，我们可以预测年的中考将在沿袭传统的题型外还会加大探索新的力度别要注意与圆有关动态的问题、圆与代数的综合题、圆与坐标题的训练和巩.试题特及题型：圆在中考的主要题型和特点有两类是选择题填题型这类题型是考查圆的基础知识，且所占比例也较大；二是综合题型，这类问题主要与全等三角形、相似三角形、锐角三角函数以及一元二次方程等等知识结合在一起，一般要求探究两直线的平行、线段相等、角相等、比例式、等积式等等，着重考查同学们的分析问题和解决问题的能.分值及度：圆的知识是初中几何的重点所是历年各地中考的热点观各省市的中考试卷其所占比重较大一题量有2分占12左右.题的难度较以前所有下降特别是与圆有关的论证问题一般是比较容易的，而其计算的能力则相对而言要求有所提●复习策略理解概，明确考.圆的内容包括圆的基本概念，垂径定理及推论，圆周角、圆心角、直径、弦、弧关系、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系、扇形的弧长与面积、圆锥的侧面积等知识以及运用这些知识解决实际问题，这些都是中考的必考知识点，既可以单独成题，也可以相互结合，同时还可以与其他知识结合形成学科内综合题仅如此还可以设计成开放型探索型等创新试题.掌握法，计算准.与圆有关的概念、性质、定理比较多，复习时一定要正确理解，领会其实质，理顺相关概念之间的关系对于与圆有关计算问题一般难度也不是太大但必须弄清楚公式中每一个字母的意义，做到计算准确，不能麻痹大意造成错解.在具体处理问题，有时要根据题目和图形的特征，注意方法技巧，从而降低问题求解的难.注重观、分析和总.在复习时应抓住基础知识进行复习意圆的有关知识与其他知识的联系忌太难的几何证明题；注意与圆有关的常见辅助线的添加，如，遇弦常作弦心距、遇切线常作切点圆心的连线、遇直径常构造直径所对的圆周角，反之，则遇圆周角是直角常构造出直径、两圆相交常作公共弦或连结两个圆心，等.注重数思想方法的应.求解与圆有关的问题时除了要能灵活运用所学知识外，还应注意思想方法的运用是数学中思想方法集中的知识点，如转化思想、方程思想、分类思想、整体思想，等●考点解析考点圆基本概念例2009年岛市图AB为⊙O的径CDO的＝∠＝＿＿＿°.第页共页

．．．．．．分析要∠的小由于AB是径，若连结BD，则∠ADB＝，此时的∠B＝∠，即可求.解连因为AB是径，所以∠＝90°，又因为＝42°，所以∠＝∠＝，在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，∠BAD＝90°－∠B＝－＝48°.说明直所对的圆周角是直角许多有关圆的计算与证明中有大的用场们在学习时一定要留意，并注意训练.另外，遇到直径，通常利用辅助线构造出直另外，与圆有关的角的问题几乎是每卷必考例（2009年哈尔滨市）如图，O直径CD＝10，弦AB＝，AB⊥，垂足为M则DM的为＿＿分析要DM的，由于直径已知，即半径已知，若能求出OM即，由垂径定理可知点M是足，又是AB的点，于是，连结OA利用勾股定理可解连，因为AB是径，且AB⊥CD，所以＝BM因为直径CD10弦AB＝，所以＝5＝4所以在eq\o\ac(△,Rt)AMO，由勾股定理，得OM

AM

2

＝

2

2

＝3，所以＝ODOM＝5+3＝8.说明垂定理在圆的有关计算证明中有着广泛地运用们定要熟练掌握并能灵活运用另外，垂径定理还经常与股定理结合在一起或直接求解，或构造方程求.考点与有关的位置关系例（年江西省在轴上点A所示的实数为3点B所示的实数为a⊙A的半径为2.列说法中不正的是（）A.当＜，点在内B.1＜时，点在⊙A内C.当＜1时点在A外当a＞5时点在⊙外分析点所表示的实数为，则表示的心在点处即个点，而其半径为，就是说～5的都在圆内，等于1或5的点在圆上，小于，或大于的在圆外，由此可以求.解因点所表示的实数为，所以A的心在个点，又因为的半径为2，所以直径是，即所画的圆与数轴相交于点和，因为点所表示的实数为a，所以当1＜＜5时点在⊙A内当＜1时点B在⊙外当＞5时点在A外而“当＜时，点在内则是错误的故应选A.说明本是考查数轴和点与圆位置关系的知识解时只要能正确理解数轴上有关点的意义和点与圆的位置即另外，本题中，有的同学会错误地认为“当a时，点B在⊙A内实当a，＝0－，„都在其范围例（2009年州图为O的径平分∠BAC交O于点⊥交的长线于点E，FB是的线交AD延长线于点.（1求证DE是O切线；第页共页

（2若＝，O的径为5求BF的

C

E

DFA

O

GB分1证明是⊙的线于点D在周上以连结OD明DEOD即可（2由条件可D作DG⊥AB于，用股定理求出，由相似三角形求解（）连接OD.为平分∠BAC所以∠OAD＝CAD又因为OA＝OD所以∠OAD∠ADO所以∠＝∠ADO所以OD∥.因为DEAE，所以DE⊥.而在上所以⊙O的线.（2过D作DG⊥AB于G因为DE，∠OAD∠.以DG＝＝，半径OD＝5.在eq\o\ac(△,Rt)ODG中根据勾股定理，得OG

OD

2

2

＝

2

＝4，所以AG＝OG＝因为是⊙O的线，是径，所以FB⊥AB而⊥，所以DG∥，所以△∽△，

DG310＝，以＝，以＝.BFBF10说明要明一直线是圆的切线果已知直线过圆上某一点可作出这一点的半径再明直线垂直于这条半果直线与圆的公共交点没有确定可经过圆心作出直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径即.例5（2009年州市）如图所示，点A、B在直线MN上AB＝11cm，⊙A、⊙B的径均为1cm，A每秒2cm的度自左向右运动，与此同时，B半径也不断增大，其半径r(cm)时间t(秒之间的关系式为r1+(t≥0)，当点出后＿＿＿秒两圆相MA分析依意圆切有四种可能情况是每一种情况下利用两圆的圆心距与两圆的半径关系列式求.当第一次相切时，两圆是外切，即A在的侧，则有t＝11t解得t＝；当第二次相切时是切点的侧1+t－＝－2t得t＝

113

；当第三次相切时，两圆仍是内切，即切点在的侧，则有t－12－11，解得t＝；当第四次相切时，两圆是外切，即A在⊙的侧，则有＝2t，解得t13.综上所述，应填上3秒或

113

秒，或11秒或说明本虽然情况比较复杂只要你抓住两圆的位置关系切问题都能正确求.即设两圆的圆心距O＝，半径Rr＞0则有①两圆外离＞+r；②两圆外切12＝+r；两圆相交－r＜dRr④两圆内切d＝－r⑤两圆内含＜－r由此，本题还有不相切的其它情况，同学们不妨去进一步探考点正边形和圆例6（年州市）如图，有一个圆O和个正六边形，T的6顶点都在圆12周上，的条边都和圆O相（我们T分为圆O的接正六边形和外切正边21第页共页

22形）（1设，的边长分别为，，圆O半径为r，求r∶a及r∶b的；1（2求正六边形T，T的积比∶的1

T

2T

1O分析圆内接正六边形的边长于圆的半径外正六边形的边长的一半与过切点的半径和圆心切点相邻的顶的连线所构成的三角形是直角三角形此利用勾股定理及面积知识即可求.解（）连接圆心和的顶点可得6全等的正三角形，所以r＝1；1连接圆心O和T相邻的两个顶点，得以圆半为高的正三角形，于是，有中心角的2一半为30°，所以r∶b＝∶（2由（T∶T的连长比是1

∶，即a∶＝

∶，所以∶＝(－)∶1说明正n边的半径和相邻的边心距将正n边分成2个等的直角三角.正n边形的n条径将正边形分成个全等的等腰三角形.考点弧与扇形面积例7（年台州市）如图，三角板，ACB，B＝，＝三角板绕直角顶点逆针旋转点A的应点落在边起始位置上时即停止转动点转过的路径长为＿＿＿.

BCA

A

B分析要B点过的路径长，即求扇形的长，于是，依据条件，利用弧长公式即可求得.解因∠ACB，∠＝30°，所以A＝60°而由旋转的特征可知＝CA，所以△ACA是边三角，即ACA＝，所以∠BCB＝ACA＝，又因为BC＝6，所以BB

＝π.说明求本题时一定要注意当点A的应点A落AB边的起始位置上时即停止转动”的理解，即点A落在上例8年襄樊市）如图，在Req\o\ac(△,t)ABC中＝90°AC，＝，别以ACBC为径画半圆，则图中阴影部分的面积为＿＿.结果保留）

BA

C第页共页

2222222222222222分析观图形的结构特点求阴影部分是由直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积的和与eq\o\ac(△,Rt)ABC的积之解阴部分的面积＝半圆的+半圆BC的面积－ABC的积＝

11×+π×－××＝π－4，故填π22说明本意在考查直角三角形扇形面积的知识，求解时一定要注意分清图形的特征，及时地将相应的图形进行必要的转.例（年青海省）如图，一个圆锥的为（1圆锥的母线长与底面半径之比；（2求度数；（3圆锥的侧面积（结果保留π.

，侧面展开图是半求：AlB

O

r

C分析1要求圆锥的母线长与底面半径之比，由于侧面展开图是半圆，即圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，由此可以列式求（）由圆锥的高为33，结合1或许∠是一个特角（）于圆锥的高、底面半径、母线三者刚好构成一个直角三角形，于是，利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的母线长，即扇形的半径，于是可求得圆锥的侧面积解（）设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长＝l因为r＝l，所以

lr

＝即圆锥的母线长与底面半径之比为2（2因为

lr

＝2所以由“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”可知圆锥高与母线的夹角为30°则∠＝60°.（3由图，结合勾股定理，得可知l＝h+r，h3cm，所以(2r＝3)+r，即r＝所以r＝（所以lr＝（所以圆锥的侧面积为

22

＝cm

.说明本是考查同学们对圆锥圆锥的侧面展开图相关知识的理解与运用时要抓住侧面展开图是半圆，以此为切入考点确最小值例10年龙岩市）如图、半径为的的条弦AB8，CD＝，MN是径AB⊥MN于点CDMN于，P为上任意一点，则+PC的小值为＿＿＿.

A

CM

G

E

O

PF

NB

D第页共页

l231l231分析要+的小值，好象难以下笔，但联想以前学过的“已知直线外两点，在直线上求作一点，使这点到已知两点的距离和最小，此时利用垂径定理和圆的对称性，结合勾股定理即可求解解连，，AD过点作⊥于因为是直径AB⊥MNCD⊥，所以AE＝CFDF即点C与D关对称，则此时的点到与C的离和即为最小.又因为半径为，AB，CD＝6所以OA＝5AE＝4＝，所以在eq\o\ac(△,Rt)AEO和eq\o\ac(△,Rt)CFP中分别由勾股定理，得，＝4，即＝7，又易知四边形是形，所以＝，EG＝＝，即AGAE＝4+3＝，在eq\o\ac(△,Rt)AGD中由勾股定理，得＝

AG

2

＝

22

＝7

即PA+的小值为2说明本的求解除了运用了圆有关知识外，还借助于以前学习过的简单几何知识，事实上以学过的求作最短距离的点的问题被广泛学们在遇到有关最短问题时不妨联想这一事.考点综运用例（年山州）如图1在平面直角坐标系中，点的标为(，，以点1O为心，8为半径的圆与轴于，B两，过作线l与1

轴负方向相交成的角，且交y轴C点以点O(13为圆心的圆与x轴切点2（1求直线l的析式；（2将O以秒1个位的速度沿轴向左平移，当O第一次与⊙O外时，21求⊙O平的时间.2yylOO60°AOBD

O

1

OPOD

2

xC

C图

图2分析1由条件，结合图形可求得、C点的坐标，于是利用待定系数法求得直线l的解析式（2要解决这个问题，可简单画出如图2此时，只要求出DD再由路程、速1度、时间三者关系即.解（）由题意，得OA＝

＝，所以A点标为(，因为在eq\o\ac(△,Rt)AOC中∠＝，所以＝30°，即＝，所以由勾股定理，得OC＝12

，即C点坐标为，

).设直线l的析式为y＝kx，因为l过A，两，第页共页

2CCC的度数＝2CCC的度数＝所以解所直线l的析式为＝－

x－

（2如图，设⊙O平2

t

秒后到处⊙O第次外切于点P，⊙O与x轴切31于点连接O，OD.O＝OP+＝＝13.113131因为D⊥轴所以OD＝，31在eq\o\ac(△,Rt)OOD中由勾股定理，得D＝111

O211

＝

1322

＝12.因为D＝OOD＝＝，所以DDD－OD＝17－12＝，111115所以t＝＝（秒以平的时间为5秒.1说明本以圆与圆的位置关系背景设计的综合题解时要充分运用圆的知识合一次函数、平移的知识，发挥数形结合的优.考点归与探索例12年衢州市）如图是⊙的直.（1如①垂于AD的条弦C把周分则∠B的数是＿＿＿，121∠的度数是＿＿.2（2如图②直三条弦CCBC把圆周6等分别求∠，11312∠的度.3（3如图③，垂直于AD的n条B，„C把圆周2n等，请你112233n用含n的数式表示∠的度数只需直接写出答).n分析一圆周360°于是，由等分的概念，结合垂径定理以及与圆有关的角即可处理本题中的第（1）和（）两个问题，至于，第（）小问，我们可以借助于1和（2）的方法进行归纳与探索，进而解决问解（）因为圆周被4等分，所以

C1

的度数＝

CC1

的度数＝

3604

＝90°又因为是径，且AD⊥，以点是11

C

的中点，即

AC1

的度数＝

2

＝45°，所以∠＝，∠B＝22.5°+45°＝1（2圆周被等

C1

的度数＝

12

的度数＝

3606

＝60°因为直径⊥BC，以1

AC1

的度数＝

12

C1

的度数＝30°，第页共页

3nB．．3nB．．所以∠＝15°，∠＝1

1(30°+60°)45°∠B＝(30°+60°+60°)75°.2（3由（）和（2）可知B＝n36045(或90)8n

1360[×+(－×]＝22n

说明本是一道探究型的试题看上去好难，其实通过对第）2两个小问的求解，就觉得并不复杂，只要灵活运用所学知识即可简捷求另，第（）小问的结论也36045可以写成∠B＝90°－＝90°－.8考点阅理解例（2009年北省）如图1至5O均无滑动滚动，OO⊙O、O1234均表示O线段AB或相于端点时刻的位置，的长为c.O

O

OOOOO图1O

O

DDOOB°图2阅读理解：

D

图

O

图

图5（1如图1，OO的位置出发，AB滚到的置，当B=时，O恰12自转1周（2如图，∠相邻的补角是n，⊙O在∠外沿A→→C滚，在点B处，必须由O的置旋转到⊙O的位置，O点B旋的角BO＝°，O点1212n处自转周.360实践应用：（1在阅读理解的）中，若2，则O自＿＿＿周；若AB＝l，则⊙自＿＿＿周在阅读理解＝O在处自转＿＿＿周ABC＝60°，则在处自＿＿＿（2如图3，＝90°，＝＝

12

c.O从的置出发，在ABC外沿A1→B→C动到O的置，⊙O自＿＿＿周4拓展联想：（1如图，△ABC的长为l，⊙O从相切于点的置出发，在△部顺时针方向沿三角形滚动回到与AB相于D的置自了多少周？请说明理由.（2如图多边形的周长为l⊙O与某边相切于点D位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的置，直写出O自的周数第页共页

．．．．．．分析通阅读我们可以知道点B处转求解后面的问

n360

周，抓住这一点，我们就能顺利地解实应用）过阅读楞求得，当＝2c时则O自2周当＝l时l则⊙O自周；同理，当＝120°时即角是，则O在处转c

60＝36061201周；当ABC＝60°，即补角是120°，则在B处转＝周360（2考虑O从→滚了半圈⊙O绕B旋的角＝即动2315周；⊙O从B→又动了半，O共转周44l拓展联想）因为△的长为l，所以⊙O在边上自转了周c

90360

＝又因为三角形的外角和是360°，以在三个顶点处，⊙自了

360360

＝（周）所以⊙O共转(

lc

周（2因为任意多边形的外角和等于是360°，以在多边形的所顶点处，O自转了360l＝1周）.以⊙O共转(+1).360说明本既是一道阅读理解题又是一道圆的实践探索题求解时关是要能读懂题目，弄清楚问题的前因后果，并注意圆在滚动的过程中，若遇到拐弯时，其初始位置圆的半径与角的一边垂直，且滚动时，圆必须先绕顶点转动一个角，过这角的顶点后，其径又与角的另一边垂直，显然β与半径转过的角度互补，这样问题又化归到阅读材料所提n供的结论上去即将在角的顶处自转360的角度互补

（n表圆的半径转过的角度形来考点9操探究例（2009年西）问题探究：（1请在图①的