中考数字、数式、图形规律问题(解析版)-中考数学二轮复习课程标准方法突破

考点(特色)30：中考数字、数式、图形规律问题

重要考点知识解读

一、概述

规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是

给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，

进而归纳或猜想出一般性的结论.类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型.

1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通

过适当的计算回答问题.

2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式

即函数关系式为主要内容.

3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应

的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.

4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以

数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决

相关问题.

二、数字推理规律方法

数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。

1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假

设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设

被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。

2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。

3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两

边同时推导。

4.熟记各种数字的运算关系。

如各种数字的平方、立方以及它们的邻居，做到看到某个数字就有感觉。这是迅速准确解好数字推理题

材的前提。常见的需记住的数字关系如下：

(1)平方关系：记忆1、2、3、4……25的平方后数值

(2)立方关系：记忆1、2、3、4...10的立方后数值

比如：2-8,3-27,4-64,5-125,6-216,7-343,8-512,9-729,10-1000

(3)质数关系:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.....

(4)开方关系：记忆4、9、16、25、36、49、64、81、100的开平后数值。

三、图形规律思维方法

图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中

的规律，注意对应思想和数形结合.首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或

式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系.要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，

明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律.解决规律探索型问题的策略是：

通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并

由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.

四、解题步骤方法

规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）中

数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去

检验特殊情况，以肯定结论的正确.

第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；

第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项：

第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分（如分子、分母，整数、分数等）构成何种数

列；

第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和.能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形

或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；

第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.

中考典例解析

【例题1】（2021山东济宁）按规律排列的一组数据：1,3,□,工，A,旦，…，其中口内应填的

25172637

数是（）

A.2B.-LC.区D.A

31192

【答案】D

【解析】分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1,根据规律即可得到答案.

观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1,

.•.第〃个数据为：绯L.

2

n+l

当〃=3时,□的分子为5,分母=3?+1=10,

.•.这个数为_L=上

102

【例题2】（2021云南）按一定规律排列的单项式：a2,4/，9a、16/，25/，…，第，个单项式是（）

A.〃2/+/B.wV1C.nnan+'D.（«+1）V

【答案】A

【解析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式.

♦.•第1个单项式”2=]2.小1,

第2个单项式4/=22.a2+1,

第3个单项式91=32・。3+1,

第4个单项式16“5=42・〃4+1,

...第〃(〃为正整数)个单项式为〃2/+I.

【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是分别从系数、字母指数寻找其与序数间的规律.

【例题3](2022新疆模拟)探索nXn的正方形钉子板上(n是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉

子所得到的不同长度值的线段种数：当n=2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与所以不同长

度值的线段只有二种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；当n=3时，钉子板上所连不同线段的

长度值有1,小,2,乖，2m五种，比n=2时增加了三种，即S=2+3=5.

(1)观察下图，并填写下表：

钉子数(nXn)S值

2X22

3X32+3

4X42+3+()

5X5()

(2)写出(n—1)X(n—1)和nXn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述

均可)

(3)对nXn的钉子板，写出用n表示S的代数式.

【答案】见解析。

【解析】错解：(1)4；24-3+4+5；

(2)设(n—DX(n—1)和nXn两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S-和S„,则S-=2+3+4+…

+(n-1)；Sn=2+3+…+n；

(3)Sn=2+3+4+…+n.

剖析(1)填对了；(2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S值之间关系，而不是每个

钉子板上的S值与每边上的钉子数n的关系，显然，S“比S“T的值大n；

(3)写对了，但应化成不含省略号的代数式.

正解：(1)4；2+3+4+5：

⑵设(n-l)X(n-1)和nXn两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S…和S„,则"=2+3+4+…

+(n-l)；除=2+33+2..5,一5“7=11.即在6—1)*(11-1)和口*11的两个钉子板上，不同长度值的线

段种数前者比后者少n种；

z11x2।__Q

(3)S“=2+3+4+…+n=(l+2+3+4+…+n)—1=~-1=".

【例题4】(2021湖南怀化)观察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,已知按一

定规律排列的一组数：2曲，2⑼，2皿，…，2倒，若2皿=加，用含m的代数式表示这组数的和是.

【答案】m2-m.

【解析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含机的代数式表示出来即可.

由题意得：

2100+2101+2102+...+2199t

=(2+22+234--+2199)-(2+22+23+—+299),

=(2200-2)-(2|00-2),

_QIOO)2_2100

="-m

【例题5](2021内蒙古鄂尔多斯)将一些相同的“O”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”

的“O”的个数，则第30个“龟图”中有个“O”.

OO

OoOOooOOOo

OoOoOOO

OOOO

OOOOOO

OOOOO

OOOO

OO

【解析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4=5：第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；第3

个图形中小圆的个数为1+6+4=11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；…由此得出第n个图形中小圆

的个数为1+(〃+3)+("-1)2.据此可以求得答案.

解：•.•第1个图形中小圆的个数为1+4=5；

第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；

第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；

第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；

，第"个图形中小圆的个数为1+(〃+3)+(n-1)2.

.•.第30个“龟图”中的“O”的个数为1+(30+3)+(30-1)2=1+33+841=875.

【例题6】(2021山东泰安)如图，点用在直线/：y=Z上，点Bi的横坐标为2,过点Bi作B14U,

2

交x轴于点Ai，以A181为边，向右作正方形A1B182C”延长82cl交x轴于点A2；以42历为边，向右作

正方形A2比83C2，延长83c2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A38384c3，延长84c3交x轴于

点A4；…；照这个规律进行下去，则第〃个正方形的边长为(结果用含正整数n的

代数式表示).

【解析】设直线与工轴夹角为a,过Bi作BiHLx轴于由点助的横坐标为2,点以在直线/：y

=Xv_h,可得。"=2,B\H=\,Jo'+B］口2=^^tana=—=-A..RtAi4iBiO+，求得

=O8「tana=YG,即第1个正方形边长是逅，在中，求得第2个正方形边长是在义3,在

2222

RtA4W3。中，求得第3个正方形边长是在X_i=Y5x(2)2,在R1A44B4O中，求得第4个正方形边

_2422_

长是Y5xZL=逅x(旦尸....观察规律即可得：第〃个正方形边长是逅x(旦尸L

282222

解：设直线与x轴夹角为a,过Bi作Bi”_Lx轴于，，如图：

2

：・0H=2,8i"=1,°a=，0于+8出2=近

RtAABi。中，A\B\=OB\•iana='^-,即第1个正方形边长是

22

OB2—OB\+6182=旄+逅=运X3,

22

RIAA2B2O中，4282=082・311£1=运乂3乂工=逅*3,即第2个正方形边长是逅X旦,

_222222

.•.083=082+82仍=返*3+返＞＜旦=逅乂9,

22222_

RlAA3BsO中，4m3=083・母3=返＞＜且又』=逅乂2,即第3个正方形边长是逅X_i=Y£x

22224242

084=0仍+8384=返＞＜9+迤*_1=运义21,

222424__

RtAA4B4O中，A4B4=OB4"ana==Y£x2工乂工=返义2工，即第4个正方形边长是返x2Z_=Y£x

24228282

审

观察规律可知：第〃个正方形边长是逅x（旦）”一1,

_22

故答案为：YEx（旦尸i.

22

【例题7】（2022哈尔滨模拟）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22。17+22018的值，采用以下方

法：

设S=1+2+22+---+22017+22018©

贝I]2s=2+22+…+22018+22019②

②一①得2s-S=S=22°i9_1

­.s=l+2+22+---+22017+22018=22019-1

请仿照小明的方法解决以下问题：

(1)1+2+2?+…+29=.

(2)3+32+-+310=;

(3)求l+a+a?+…+an的和(a>0,n是正整数，请写出计算过程).

【答案】见解析。

【分析】(1)利用题中的方法设S=1+2+22+…+2>两边乘以2得到2s=2+22+…+2%然后把两式相

减计算出S即可；

(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+31°,两边乘以3得到3s=3+32+33+34+35+…+3”,

然后把两式相减计算出S即可；

(3)利用(2)的方法计算.

解：(1)设S=l+2+22+..・+29①

贝I]2s=2+22+…+21°②

②一①得2s_S=S=2i°-1

.-.S=l+2+22+---+29=210-1;

故答案为：210-1

(2)设S=1+3+32+33+34+…+31°①，

则3s=3+32+33+34+35+…+3”②，

②-①得2s=3口-1,

oil,

所以S=3T,

2

oH_l

即1+3+32+33+344--+310=-^_

2

故答案为：£工；

2

(3)S=l+a+a2+a3+a4+..+an(l),

贝1]aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1@,

②-①得：(a-1)S=an+1-1,

所以S=3~-±,

a-l

n+1

即1+a+a2+a3+a4+..+an=-.......—,

a-l

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这

类问题的方法.

考点问题综合训练

一、选择题

1.（2021广西玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第〃个图树枝数用力表示，则为-丫4=（）

第1个图71=1第2个图43第3个图巧=7第4个图匕=15

A.I5X24B.31X24C.33X24D.63X24

【答案】B

【解析】根据已知图中规律可得：1+2+22+23+24+25+26+27+---1,相减可得结论.

由题意得：

第I个图：Y]=},

第2个图：力=3=1+2,

第3个图：为=7=1+2+22,

第4个图：汽=15=1+2+22+23,

2345678

第9个图：/9=1+2+2+2+2+2+2+2+2,

/.Y9-n=24+25+26+27+28=24(1+2+22+23+24)=24X(3+4+8+16)=24X31

2.(2021湖北鄂州)已知m为实数，规定运算：42=1“3=144=1。5=1…,

ala2a3a4

即=1-二一.按上述方法计算：当“1=3时，42021的值等于()

an-l

A.-2B.AC.-AD.2

3323

【答案】D

【解析】化简前几个数，得到“”以三个数为一组，不断循环，因为2021+3=673...2,所以。2021=。2,再

代数求值即可.

解：a\=a\,

al

1a1

1-1

a「la「l1一a1

1

(1-)=a\9

以三个数为一组，不断循环,

：2021+3=673…2,

3.（2022湖北荆门模拟）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；

再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的

中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形

图③

C.2012个D.1066个

【答案】民

【解析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律:

第1个图形，有4个直角三角形,

第2个图形，有,4个直角三角形,

第3个图形，有8个直角三角形,

第4个图形，有8个直角三角形,

依次类推，当〃为奇数时.，三角形的个数是2（K1）,当〃为偶数时，三角形的个数是2〃个，

所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2X2012=4024。故选民

4.（2022陕西模拟）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（〃）和

芍药的数量规律，那么当〃=11时，芍药的数量为（）

n=\n=2n=3n=4

单学季第毕毕毕毕毕

华华华华华学奉

华华学学举*•«•***

华雉华*•毕

华•华**••*毕率・・•

手整平*••*军毕*«««**

挈华*单华毕华

*岑宰宰宰宰宰雉•・••冬

毕华华挈华毕华毕学

A.84株B.88株C.92株D.121株

【答案】B

【解析】观察图形，发现芍药围成的图形是正方形，每条边上的芍药数量与牡丹的列数（"）的关系是2〃+1,

芍药的总数量可表示为4（2〃+1）—4=8”，因此，当“=11时，芍药的数量为88.

5.（2020湖北十堰）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396,则〃=（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】B

【解析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396,解得“为正整

数即成立，否则舍去.

根据图形规律可得：

上三角形的数据的规律为：2/7（1+/7）,若2〃（1+〃）=396,解得〃不为正整数，舍去；

下左三角形的数据的规律为：n2-l.若"―1=396,解得〃不为正整数，舍去；

下中三角形的数据的规律为：2〃一1,若2〃—1=396,解得〃不为正整数，舍去；

下右三角形的数据的规律为：〃5+4）,若〃（“+4）=396,解得〃=18,或"=一22,舍去。

6.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的.图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸

片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3x2方格纸片.把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖

住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的6x6

方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有“种不同放置方法,

则〃的值是（）

(1)

(2)⑶⑷

A.160B.128C.80D.48

【答案】A

【解析】先计算出6x6方格纸片中共含有多少个3x2方格纸片，再乘以4即可得.

由图可知，在6x6方格纸片中，3x2方格纸片个数为5x4x2=40（个）

则〃=40x4=160

二、填空题

（1）第4个图案中有白色纸片张；

（2）第"个图案中有白色纸片张.

【答案】（1）13（2）3〃+1

【解析】从图中可以看出每增加1张黑色纸片，对应增加3张白色纸片.

第1个图案有4=1+3张白色纸片，

第2个图案有7=1+2X3张白色纸片，

第3个图案有10=1+3X3张白色纸片，按照这样的规律，

第4个图案有1+4X3=13张白色纸片，第”个图案有1+"X3张白色纸片.

2.（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1=»-下,3=22-12,5=32-22,…按此规律，则第八个等式为2〃

【答案】n2-（»-1）2.

【解析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，等号右边第一个数是和左边是第几个

奇数一样，第二个数比第一个数少1,然后即可写出第〃个等式.

Vl=l2-O2,3=22-12,5=32-22,…，

第1个等式为2n-1—rr-（n-1）2.

3.（2021四川眉山）观察下列等式：制=口」^=3=1+1^

V]2?221乂2

=里=1+.1

123X4

根据以上规律，计算X\+X2+X3+,•,+X2020-2021=

【答案】

2021

【解析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案.

1

3X4

/.X1+X2+X3+—+X2020-2021=1+—^+1+―L—+1+—^+—+1+--------1-----------2021=2020+1-A+A-

1X22X33X42020X202122

A+A-A+——--L_-2021=--

334202020212021

4.(2021山东菊泽)如图，一次函数y=x与反比例函数y=L(x>0)的图象交于点A,过点A作AB,

x

OA,交x轴于点3；作84〃。4,交反比例函数图象于点Ai；过点Ai作AiBiLA出交x轴于点B；再作

B\Ai//BAx，交反比例函数图象于点A2,依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为.

［答案］V2022+V2021.

【解析】由一次函数），=x与反比例函数丫=工（x>0）的图象交于点A,可得A（L1）；易得△OAB是等

X

腰直角三角形，则。4=2；分别过点4,4,A2，作X轴的垂线，垂足分别为C,。，E,则△A3。是等腰

直角三角形,设BD=m,则4。=如则4（加+2,加），点4在反比例函数y=A上,可得相的值，求出

点4的坐标，同理可得上的坐标，以此类推，可得结论.

如图，分别过点A,4,A2,作x轴的垂线，垂足分别为C,D,E,

»1

・・•一次函数y=x与反比例函数y=2>(x>0)的图象交于点A,

x

y=x

・・・联立11,解得A(1,1),

y=­

X

：.AC=OC=\,NAOC=45°,

9：ABA.0A,

：./\OAB是等腰直角三角形，

:.OB=2OC=2,

9

：A[B//OAf

：.ZA\BD=45°,

设8£>=优，则4。=团，

•\A\(zn+2,m),

•.•点Ai在反比例函数y=」上，

X

・•・"？("7+2)=1,解得m=-1+«,(m=-1-贱,负值舍去)，

・・・4(&+1，&-1)，

VAiBi±AiB,

：.BB\=2BD=2y/2-2f

/.O8i=2«.

,.・3也〃34,

AZA2BI£=45°,

设BiE=t,ROA2E=t,

.'.A2（t+2yf2't）,

•点Ai在反比例函数y=>1•上，

x

f（r+2j^）=1,解得/=-（t=-A/2-VS,负值舍去），

.••A2（V3W2-V3-V2）>

同理可求得A3（2+遮，2-遍），

以此类推，可得点A2021的横坐标为42022+4202L

故答案为：“2022+42021•

5.（2021湖北荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第一行

第一列.

23

456

78910

1112131415

【答案】64,5.

【解析】根据表格中的数据，可以写出前几行的数字个数，然后即可写出前〃行的数字个数，从而可以得

到2021在图中的位置.

由图可知，

第一行I个数字，

第二行2个数字，

第三行3个数字，

则第〃行〃个数字，

前n行一共有n（n+l）个数字,

2

63X

...63X64<2021<64乂65.2021-=2021-2016=5,

222

...2021是表中第64行第5个列.

6.（2021贵州铜仁）观察下列各项：1工，21,3工，4工，…，则第〃项是.

24816

【答案】

【解析】根据题目中数字的特点，可以发现数字的整数部分是连续的整数，从1开始，而分数部分的分母

是2的〃次方，〃从1开始，分子都是1,然后即可写出第〃项对应的数字.

•.•一列数为|工，zl,3.1,4-L,",、

24816

...这列数可以写成：4」」，…，

二第"项是"3.

2n

7.（2021黑龙江鹤岗）如图，菱形ABC。中，ZABC=120°,AB=\,延长C£>至4,使D4i=C£>,以

4c为一边，在BC的延长线上作菱形ACGA,连接,得到△4D4；再延长至42,使£>IA2=C,D,,

以42cl为一边，在CCi的延长线上作菱形A2C1C2D2,连接A1A2,得到△AQN2…按此规律，得到△

A2020O2020A2021,记△AD41的面积为5i,△AQ1A2的面积为S2…,△A2020O2020A2021的面积为S2021,则S2021

【答案】22019、6.

【解析】由题意得△AD4为等边三角形且边长为1、为等边三角形且边长为2、△40243为等边

三角形且边长为4、AA303At为等边三角形且边长为8,…，△上必。2MA2022为等边三角形且边长为22。21,

所以$=返乂12,52=返*22,53=瓜*23,…，S2O21=返X22O2I,计算出结果即可.

4444

解：•菱形A8c。中，ZABC=120°,4B=1,

AZADC=120°,AD=CD=\,

：.ZADAI=60°,

・；DAi=CD,

：.AD=DAif

•••△AO4为等边三角形且边长为1,

同理：为等边三角形且边长为2,

△464为等边三角形且边长为4,

△454为等边三角形且边长为8,

△42020202^2022为等边三角形且边长为22021,

2

；,s}=^-x\,

4

S=—X22,

24

$3=返入23,

4

S202尸返X22。21

4

=22。唾.

8.（2021黑牡鸡）如图，正方形AoBoCoAl的边长为1,正方形A1BC1A2的边长为2,正方形A282cM3的

边长为4,正方形A383c3A4的边长为8…依次规律继续作正方形A〃&GA〃+i，且点Ao，A\fA2,A3,…，

A〃+i在同一条直线上，连接Ao。交，AIi于点连接4C2,交A2历于点功，连接A2c3,交于点

。3,…记四边形AoBoCoOi的面积为51，四边形A18C1O2的面积为S2，四边形A282c2。3的面积为S3,…，

ADIAA

【解析】由正方形的性质得出A\D\//A2C1,则＞一=-LJ_,得出A,D,=n2，同理可得

A2clA0A2“I3

412n1nU191?

A2D2=ylX-^-=44，S2=4-yX4，S3=4--7X'…'

乙乙S'Noo44°o

Sn=4kl_Lx4n_LZx4士1，即可得出结果.

n33

解：:四边形AoBoCMi与四边形48cM2都是正方形,

：.A\D\//AzC\,

.A|DtAQA2

A2clA0A2

.A1D11

•------=----，

21+2

o

，A]Di节，

同理可得：A2D2管

2x2

S1=1-^XlX-1=4°-^-X4°-S?=4-yX4，Sq=4-v4，…）

1Z0043°o

s=4n-1--J-X4n-1=-^-x4n-1-

n33

•02V.2020

,,S2021=7X4，

故答案为：—x42020■

3

9.（2021齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y=/，点A的坐标为（1,1）,连接。4：过4作44，，

分别交y轴、抛物线于点4、B,：过用作分别交），轴、抛物线于点鸟、4；过人作

45,15,4,分别交y轴、抛物线于点居、B?…:按照如此规律进行下去，则点尸“（〃为正整数）的坐

【答案】（0炉+〃）

【解析】根据待定系数法分别求出直线。4、4片、BR、……的解析式，即可求得打、P2、心

的坐标，得出规律，从而求得点2的坐标.

•.•点A|的坐标为（1,1）,

.♦・直线的解析式为y=x,

4用±0At,

0P1-2,

/.70,2）,

设Af的解析式为y=fcx+4，

k+b,=1[k=-\

二，;，解得/0，

I瓦=2屹=2

所以直线A出的解析式为y=-x+2,

解/2,求得耳（一2,4）,

y=x

VB\PJ/0%,

设百鸟的解析式为y=x+H，

工—2+%=4,

**.b）—6,

・・・£（0,6）,

y=x+6--

解《2求得4⑶9）,

y=x-

设人鸟的解析式为y=-x+4，

，—3+4=9,

/.4=12,

，《(0,12),

2(0,IT+ri),

故答案为：（0,〃2+〃）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像卜.点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根

据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键.

10.（2021黑龙江绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5

个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律,则第〃个图形中三角形个数是.

AAA

△△△A△A

A△△△▲▲▲▲第”个图形

△△AAA▲▲▲▲

△△△

△△△AAAA

①②③④

【答案】H2+n-1

【解析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律,上方的规律为5-1）,下方规律为n2,结合两部分即

可得出答案.

将题意中图形分为上下两部分,

则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1,

下半部规律为：在、22、32、42……n2,

.••上下两部分统•规律为：n2+«-l.

故答案为：n2+n-1-

【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究.

11.（2021湖北恩施州）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点

阵，图形中的点的个数即五边形数；

图形

五边形数1

将五边形数I,5,12,22,35,51,…，排成如下数表;

1第一行

512第二行

223551第三行

观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为.

【答案】1335.

【解析】观察表中图形及数字的变化规律可发现第n个五边形数可表示为：1+2+3+...+(n-1)+M,观察

数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代

数式即可求得答案.

解：观察表中图形及数字的变化规律可得第"个五边形数可表示为：1+2+3+...+(〃-1)+/,

由数表可知前七行数的个数和为：1+2+3+...+7=28,

数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即〃=30,

.•.把〃=30代入得：1+2+3+...+29+3。2,=1335,故答案为：1335.

12.(2021山东东营)如图，正方形A8CB1中，AB=«,AB与直线/所夹锐角为60°,延长CBi交直线

/于点4，作正方形A1B1C1B2，延长C1&交直线/于点42,作正方形A282c2B3，延长C283交直线/于点

A3，作正方形A3B3c3B4…，依此规律，则线段4202(凶2()21=.

3

【解析】根据题意可知图中斜边在直线/上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，根据其性质得出三

边的长度，以此类推可找到规律：A“B”=(返)”1An-iAn=2AnBn=2X(返)”

33

解：根据题意可知48|=48=b，/3IAAI=90°-60°=30°,

•w尸谭哼，

：.A\B\=AB\X返=«乂返=1,

AA]=248i=2,

33

4,82=4历义返=48|X返=返，4A2=2A，82=2X退,

3333

2

A、Ba=A,BaX®=A,B，乂巨=叵乂近=（返）2AM3=24383=2X（返）

333333

A-42021^2021=^202052021XXA=2020,A202M2021=24202162021=2X()2020

333

13.(2022福建模拟)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第

3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由个圆组成.

。强凝戏

【答案】217

【解析】(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数

和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可.

仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：

第1个图有：1+3个；

第2个图有：4+4个；

第3个图有：9+5个；

故第n个图有：W+(n+2)］个.

(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可.

第①个图有2个相同的小正方形：2=1X2；

第②个图有6个相同的小正方形：6=2X3；

第③个图有12个相同的小正方形：12=3X4；

第④个图有20个相同的小正方形：20=4X5；……

按此规律，第@个图有n(n+l)个相同的小正方形.

(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案.

观察分析可得：第1个图有1个圆；

第2个图由7个圆组成，7=1+6；

第3个图由19个圆组成，19=1+6+2X6；……

故第9个图由1+6+2*6+3乂6+・“+8*6=1+（1+2+3+“-+8）义6=217（个）圆组成.

14.（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点Ai的坐标为（1,0）,以为直角边作RtZ\O4A2,

并使NAIOA2=60。，再以。①为直角边作并使/42。43=60。，再以。43为直角边作Rt^OA3A4,

并使/43。44=60。……按此规律进行下去，则点A20I9的坐标为.

【答案】（-22叫22370）

【解析】由题意得，4的坐标为（1,0）,A2的坐标为（1,G）,小的坐标为（-2,26），

4的坐标为（-8,0）,4的坐标为（-8,-86）,A6的坐标为（16,766）,A?的坐标为（64,0）,…

由上可知，4点的方位是每6个循环,

与第一点方位相同的点在x正半轴上,其横坐标为2nl,其纵坐标为0,

与第二点方位相同的点在第一象限内,其横坐标为2"2,纵坐标为2"2G,

其横坐标为〃纵坐标为一百

与第三点方位相同的点在第二象限内,-22,2"2;

与第四点方位相同的点在x负半轴匕其横坐标为-2"」，纵坐标为0,

与第五点方位相同的点在第三象限内,其横坐标为-2"2,纵坐标为-2"2

与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2"2,纵坐标为-2"26

：2019+6=336........3,

••.点4019的方位与点43的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2〃2=-22。巴纵坐标为2237百，

故答案为：（"Ou,22017>/3）.

15.（2022江苏连云港模拟）如图，点功在直线/：y=L上，点Bl的横坐标为2,过Bi作交

2

x轴于点Ai,以481为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长82cl交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方

形A28283c2,延长83c2交X轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A38384c3延长84c3交X轴于点4;…;

按照这个规律进行下去，点Cn的横坐标为（结果用含正整数"的代数式表示）

【解析】过点以、。、C2、C3、C4分别作轴,Ci£)i_Lx轴，C2£)2_Lx轴，C3D3A.XCADILX

轴，……垂足分别为。、Di，。2、。3、。4……

•.•点Bi在直线/：y=L上，点fii的横坐标为2,

2

点Bi的纵坐