九年级尖子生题库

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1.

已知:如图,抛物线y=-x?+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点，其

顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；

(3)AAOB与4BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

C,,,2\

(注：抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的顶点坐标为-9)

、2a4a,

2.已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为

0(0,0),A(10,0),B(8,273),C(0,2JJ),点T在线段OA上(不与线段端点重合)，

将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A'),折痕经过点T,折痕TP与射线AB交

于点P,设点T的横坐标为3折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求/OAB的度数，并求当点A'在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围;

（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.

3.（08浙江温州）如图，在中，NA=90°,AB=6,AC=8,D,E分别是

边AB,AC的中点，点尸从点。出发沿方向运动，过点P作PQJ.8C于。，过点Q

作QA〃氏4交AC于

R，当点。与点C重合时，点P停止运动.设BQ=x,QR=y.

（1）求点。到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点尸，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；

若不存在，请说明理由.

A

4.在△ABC中，NA=90。，AB=4,AC=3,M是A5上的动点(不与A,3重合)，过M

点作MN〃BC交AC于点N.以MN为直径作。。，并在。。内作内接矩形AMPM令AM

—x.

(1)用含X的代数式表示△MVP的面积S；

(2)当x为何值时，。。与直线8c相切？

(3)在动点M的运动过程中，记△的P与梯形BCNM重合的面积为)，，试求y关于x

的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

5、如图1,已知双曲线y=&(k>0)与直线y=k'x交于A,B两点，点A在第一象限.试

x

解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4,2).则点B的坐标为；若点A的横坐标

为m,则点B的坐标可表示为；

k

(2)如图2,过原点0作另一条直线1,交双曲线y=-(k>0)于P,Q两点，点P在第一

x

象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m,n,

四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出mn应满足的条件；

若不可能，请说明理由.

6.如图1,在平面直角坐标系中，己知AAOB是等边三角形，点A的坐标是（0,4）,

点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP,并把AA0P绕着点A按逆时针方

向旋转.使边A0与AB重合.得到AABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到

点（石，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使aOPD的面积

V3

等于若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4

7.如图1,四边形A8C。是正方形，G是CO边上的一个动点（点G与C、£＞不重合），以CG

为一边在正方形ABCQ外作正方形CEFG,连结8G,DE.我们探究下列图中线段BG、线

段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段OE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度

得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否

仍然成立,并选取图2证明你的判断.

(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且BC-b,CE=ka,CG=kb(a丰b,

(3)在第(2)题图5中，连结OG、BE,且o=3,b=2,求B仃+OG?的值.

2

8.如图1所示，直角梯形0ABe的顶点A、C分别在y轴正半轴与无轴负半轴上.过点8、C

作直线/.将直线/平移，平移后的直线/与x轴交于点〃与y轴交于点与

(1)将直线/向右平移，设平移距离CC为Z(后0),直角梯形0A8C被直线/扫过的面积

(图中阴影部份)为s,s关于，的函数图象如图2所示，OM为线段，为抛物

线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4.

①求梯形上底AB的长及直角梯形0A8C的面积；

②当2<f<4时，求S关于f的函数解析式；

(2)在第(1)题的条件下，当直线/向左或向右平移时(包括/与直线BC重合)，在

耳缱纱上是否存在点P,使APDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满

足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

9.如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点，且满足

AE+CF=2.

(1)求证：z^BDE丝ABCF；

(2)判断4BEF的形状，并说明理由；

(3)设4BEF的面积为S,求S的取值范围.

B

10.如图，抛物线4:>=一%2一2工+3交工轴于人、B两点，交y轴于M点.抛物线4向右

平移2个单位后得到抛物线右，4交》轴于C、D两点.

(1)求抛物线右对应的函数表达式；

(2)抛物线4或右在工轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形

是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是抛物线L,上的一个动点(P不与点A、B重合)，那么点P关于原点的对称

点Q是否在抛物线右上，请说明理由.

11.2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥一一杭州湾跨海大桥通车了.通车后，苏

南4地到宁波港的路程比原来缩短了120千米.己知运输车速度不变时，行驶时间将从原

来的3时20分缩短到2时.

(1)求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程.

(2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本，己知某车货物从A地到宁波港的运输成本

是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港

的运输费用是多少元？

(3)A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从

宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320

元，其中从4地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同，从宁波港到8

地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，

每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？

12.如图I,把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4,一«一'y

代,准纸：2开：如

开”纸、“8开”纸、“16开”纸….已知桥港纸的短边长为a.k辈：瓢二盛赢

②本题中所求边长或面积

都用含。的代数式表示.

(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折_

叠：

第一步将矩形的短边A8与长边AO对齐折叠，点8落在AO上的点8'处，铺平后得折

痕AE；

第二步将长边AO与折痕AE对齐折叠，点。正好与点E重合，铺平后得折痕AE.

则的值是,AD,AB的长分别是,.

(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这

个比值；若不相等，请分别计算它们的比值.

(3)如图3,由8个大小相等的小正方形构成"L”型图案，它的四个顶点E,F,G,H

分别在“16开”纸的边AB,BC,CD,D4上，求OG的长.

(4)已知梯形MNPQ中，MN//PQ,NM=90°,MN=MQ=2PQ,且四个顶点

M,N,P,。都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的

面积.

13.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=7,CD=\,A3=8C=5.点M,N分别在边

AD,BC上运动，并保持MN〃AB,MELAB,NF1AB,垂足分别为E,F.

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值.

(3)试判断四边形MEEV能否为正方形，若能，

求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由.

14.如图，点A(〃?，m-\-1),B(m+3,m-1)都在反比例函数y=&的图象上.

(1)求机，k的值;y

(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点,

0x

以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,

试求直线MN的函数表达式.G

山友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分.对

完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做

题.选做题2分，所得分数计入总分.但第（2）、（3）

小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分.

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标

为（5,0）,点Q的坐标为（0,3）,把线段PQ向右平

移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段尸

则点Pt的坐标为,点Qy的坐标为

15.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋

圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12,点A、B、C、。分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点。的坐标为（0,-3）,

AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1,0）,半圆半径为2.

(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围;

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点。的“蛋圆”切线的解析式.

16.将一矩形纸片O48C放在平面直角坐

标系中，。(0,0),A(6,0),C(0,3).动点。从点。出发以每秒1个单位长的速度沿。。向

2

终点C运动，运动一秒时，动点尸从点A出发以相等的速度沿AO向终点。运动.当其中

3

一点到达终点时，另一点也停止运动.设点P的运动时间为/(秒).

(1)用含t的代数式表示OP,OQ；

(2)当f=l时，如图1,将△OPQ沿翻折，点。恰好落在边上的点。处，求点。

的坐标；

(4)连结AC,将△OPQ沿P。翻折，得到△EPQ,如图2.问：PQ与AC能否平

行？PE与AC

能否垂直？若能，求出相应的r值；若不能，说明理由.

图

图12

17.如图16,在平面直角坐标系中，直线y=-J5x-G与无轴交于点A,与y轴交于点C,

抛物线y=012一考2%+«。。0)经过A,B,C三点.

(1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点尸的坐标；

(2)在抛物线上是否存在点P,使aABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；

若不存在，请说明理由；

(3)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得aMBF的周长最小，若存在，求出M点

的坐标；若不存在，请说明理由.

图16

18.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形A80C的边80在x轴的负半轴上，边0C在y

轴的正半轴上，且A3=l,0B=6矩形A30C绕点。按顺时针方向旋转600后得到

矩形所。。.点A的对应点为点E,点8的对应点为点尸，点C的对应点为点。，抛物

线y=ox?+法+0过点A,E,D.

(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；

(2)求抛物线的函数表达式；

(3)在x轴的上方是否存在点P,点。，使以点QB,P,。为顶点的平行四边形的面

积是矩形A80C面积的2倍，且点尸在抛物线上，若存在，请求出点P,点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

19.已知：如图14,抛物线y=—巳/+3与％轴交于点A,点8,与直线y=+b相

44

3

交于点8,点C,直线y=■­—尤+〃与y轴交于点E.

4

(1)写出直线BC的解析式.

(2)求△ABC的面积.

(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向8运动(不与A,B重合)，

同时，点N在射线8c上以每秒2个单位长度的速度从6向C运动.设运动时间为f秒，

请写出的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，的面积

最大，最大面积是多少？

20.如图,在平面直角坐标系xOy中，^OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一

且邳=3逐，sinZOAB=-^-

象限内,

(1)若点C是点B关于x轴的对称点，求经过0、C、A三点的抛物线的函数表达式;

(2)在(1)中，抛物线上是否存在一点P,使以P、0、C、A为顶点的四边形为梯形？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由:

(3)若将点0、点A分别变换为点Q(-2k,0)、点R(5k,0)(k>l的常数)，设过Q、

R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记4

QNM的面积为SAQMN，△QNR的面积SAQNR，求SAQMN.SAQNR的值•

y

B

<>A

21.在平面直角坐标系中AABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若

C的坐标为（0,2）,AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程V一（加+2）x+〃一1=0的

两根:

⑴求m,n的值

⑵若NACB的平分线所在的直线I交x轴于点D,试求直线I对应的一次函数的解析式

11

⑶过点D任作一直线/分别交射线CA,CB（点C除外）于点M,N,则」一+―L的值

CMCN

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

22.已知:如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点,

其顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积;

(3)4AOB与aBDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

(注：抛物线y=ax2+bx+c(a#0)的顶点坐标为-二，)

[2a4a

23.已知抛物线y=30r2+2bx+c,

(I)若a=6=l,c=-l,求该抛物线与x轴公共点的坐标;

(H)若a=b=l,且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围;

(HI)若a+匕+c=0，且X]=0时，对应的乃>0；x2=1时，对应的%，试判断当0<xv1

时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.

24.

如图①，四边形AEFG和ABC。都是正方形，它们的边长分别为a,b(0N2a),且点

产在A。上(以下问题的结果均可用a,匕的代数式表示).

⑴求S^DBF；

(2)把正方形AERJ绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的54。防；

(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S&WF是否存在最大值、最小

值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.

25.已知AB=2,AO=4,ZDAB=90°,AD//BC(如图13).E是射线BC上的动

点(点E与点8不重合)，M是线段OE的中点.

(1)设BE=x,/XABM的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;

(2)如果以线段A8为直径的圆与以线段OE为直径的圆外切，求线段BE的长；

(3)联结B。，交线段AM于点N,如果以4N,。为顶点的三角形与相似，

求线段BE的长.

B

备用图

26.某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水

困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站.由供水站直接铺设管道到另外两处.

如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的A3段和CO段（村子和公路的宽均不计），

点M表示这所中学.点5在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点。

在点M的南偏西60°的km处.

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小

值；

方案二：供水站建在乙村（线段CO某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画

出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处

的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值.

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

27.已知：如图①，在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方

向向点A匀速运动，速度为lcm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；

连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ〃BC?

(2)设4AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt^ACB的周长和面积同时平分？若存在，求

出此时t的值；若不存在，说明理由；

(4)如图②，连接PC,并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时

刻t,使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.

k1

28.已知双曲线y=—与直线y=—光相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点

x.4

k

左侧)是双曲线丁二—上的动点.过点B作BD〃y轴于点D.过N(0,-n)作NC〃x轴交双

x

曲线y="于点E,交BD于点C.

x

(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.

(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.

(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP,MB=qMQ,求p—q的值.

29.一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30km的正方形城区

选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个

城市.问：

（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理

由.（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

尖子生题库答案

c=3

1.解：(1)由已知得：《解得

-l-b+c=0

c=3,b=2

...抛物线的线的解析式为y=—幺+2》+3

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)

所以对称轴为x=l,A,E关于x=l对称，所以E(3,0)

设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=SMB0+S梯形B0FD+5AoFE

=^AOBO+^(BO+DF)OF+^EFDF

=gxlx3+g(3+4)xl+gx2x4

=9

(3)相似

如图，BD=y/BG2+DG2=Vl2+12=V2

BE=y/BO2+OE2=V32+32=372

DE=yjDF2+EF2="742=2#>

所以加始+台炉=20,。炉=2()即：加刀+台炉:力炉所以此力后是直角三角形

所以NA08=N08E=90°,且也=也=也，

BDBE2

所以A4O8口\DBE.

2.(1)VA,B两点的坐标分别是A(10,0)和B(8,273),

tanNOAB=-V3,

10-8

/.ZOAB=60°

当点A'在线段AB上时，：NOAB=60°,TA=TA',

...△A'TA是等边三角形，且TP_LTA',

c11

ATP=(10-1)sin60°=y-(10-1),AZP=AP=-AT=-(10-1),

in

，S=SMTp=5A'PTP=^(10-t)2,

当A'与B重合时，AT=AB=------=4,

sin60°

所以此时6<t<10.

(2)当点A'在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，

纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1),其中E是TA'与CB的交点),

当点P与B重合时，AT=2AB=8,点T的坐标是(2,

又由(1)中求得当A'与B重合时，T的坐标是(6,0)

所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2<t<6.

(3)S存在最大值

①当6Wt<10时，S=—(10-t)2,八

QzkJ

*TA

在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，

...当t=6时，S的值最大是26.

②当2Wt<6时，由图①，重叠部分的面积5=$从口一$丛包

VAA'EB的高是A'Bsin600,

.•.S=》iO-t)2-1(10-t-4)2x^

=y^(-t2+4t+28)=—^(t—2>+4百

当t=2时，S的值最大是4JJ；

③当0<t<2,即当点A'和点P都在线段AB的延长线是(如图②，其中E是TA'与

CB的交点，F是TP与CB的交点)，

；NEFT=NFTP=NETF,四边形ETAB是等腰形，；.EF=ET=AB=4,

,,.S=-EFOC=-x4x2V3=473

22

综上所述，S的最大值是4此时t的值是0<tW2.

3.解：(1)•.•NA=RtN,AB=6,AC=8,/.BC=\O.

♦.•点。为AB中点，.♦.8O=LAB=3.

2

;NDHB=NA=90",NB=NB.

:.△BHDsMAC,

也=吗.•■=吗4C=』X8=在

ACBCBC105

(2)-：QR//AB,:.ZQRC=ZA=90°.

•：ZC=ZC,:./\RQCs△ABC,

RQ_QCy_10-x

"AB~BC'"6"10'

3

即y关于x的函数关系式为：y=--x+6.

(3)存在，分三种情况：

①当PQ=PR时,过点P作尸MJ_QR于M,则QM=RM.

Zl+Z2=90°,

.•.N1=NC.

B/r]---------—

HQ

84QM4

/.cosZl=cosC—-，・・一，

105QP5

A

If3力%,,・，寸•/Ax

.2(5人

"12

J

D八C

312H0

②当PQ=RQ时,——x+6=—，

55

A

x-6.

③当PR=Q/?时,则式为PQ中垂线上的点，/二"

----------------

于是点H为EC的中点，H。

:.CR=-CE^-AC^2.

24

「QRBA

tanC==——，

CRCA

3,

—5x+6_6么_15<

•.——f,,x——.

282

1Q1

综上所述，当x为匕或6或」，时，△PQR为等腰三角形.

5

4.解：⑴,:MN//BC,.・NAMN=NB,ZANM=ZC.

：.XAMNsAABC.

此雪即」N

ABAC4：,BC

图1

3

・・・AN=-x.2分

4

133

,,=~^^AMN'（0<X<4）.........3分

24o

（2）如图2,设直线BC与。0相切于点

在RtZ\ABC中，BC=ylAB2+AC2=5.

由（1）知△AMNs△ABC.

...AMMN即％;MN

45

MN=-x,

4

OD——x.............5分

8

过M点作MQ1BC于。，则MQ=0。=.

8

在RtZXBMQ与RtZXBCA中，N8是公共角,

/./\BMQs/\BCA.

•・•BM=QM.

BCAC

u5

5X—x2525

二BM=―^-=—x,AB=BM+MA=—x+x^4.

32424

96

x=一

49

.・・当工=生时，。。与直线BC相切................................7分

49

(3)随点M的运动，当尸点落在直线BC上时，连结AP,则0,点为AP的中点.

■:MN〃BC,:・NAMN=/B,ZAOM=ZAPC.

：./\AM0s丛ABP.

国J丝」.AM=MB=2.

ABAP2

故以下分两种情况讨论:

3

①当0<xW2时，y=S=-x2.

APMN8

33

当X=2时，y最大=§X22=5............................8分

②当2Vx<4时，设PN分别交BC于E,F.

A

V四边形AMPN是矩形，

M£NN

，PN//AM,PN=AM=x.

、B

P

・・・四边形M8/W是平行四边形.

图4

・・・FN=BM=4—x.

PF=x-(4-x)=2x-4.

又XPEFs/\ACB.

・..(尸―丫，S"EF.

vA8)SMBC

SAPEF=m(X-2)一..................

...........................9分

%2-_2=-2

y=S\MNP-S"EF=7T(X)-7x+6x-6..................10分

oZo

咛）+2.

当2V冗<4时，v=—x2,+6x-6=—|}

88(

Q

：.当x=§时，满足2VxV4,y最大=2...............11分

Q

综上所述，当工=:时，y值最大，最大值是2...................12分

k

5.解：(1)(-4,-2)；(-m,--)

m

(2)①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ

一定是平行四边形

②可能是矩形，mn=k即可

不可能是正方形，因为Op不能与0A垂直.

解：(1)作BEJ_OA,

AAOB是等边三角形

.\BE=OB-sin60"=2jL

；.B(2百，2)

•；A(0,4),设AB的解析式为>=自+4,所以26%+4=2,解得上=—程，的以直线AB的

解析式为

y=—旦+4

-3

(2)由旋转知,AP=AD,ZPAD=60",

：.△APD是等边三角形，PD=PA=‘AO?+是尸2=719

6.解:(1)作BE_LOA,二△AOB是等边三角形二BE=OB-sin60°=20,：,

B(2V3,2)

•.»(0,4),设A13的解析式为丁=依+4,所以26攵+4=2,解得女=一4,

以直线AB的解析式为y=-弓光+4

(2)由旋转知，AP=AD,ZPAD=60°,

△APD是等边三角形，PD=PA=ylAO2+OP2=M

如图，作BE_LAO,DH_LOA,GB_LDH,显然AGBD中NGBD=30°

?.GD=-BD=―,DH=GH+GD=—+273=-

2222

百3-37

GB=—BD=-,OH=OE+HE=OE+BG=2+-=-

2222

⑶设OP=x,

会-2向土而由zc,-2造土而°、

解得：x=------------------所以P(-------------------,0)

33

7.解：

(1)①BG=DE,BGLDE

2分

②BG=DE,BG1DE仍然成

在图(2)中证明如下

•.•四边形A8C。、四边形A3CO都是正方形

BC=CD,CG=CE,NBCD=NECG=90°

NBCG=ZDCE

ABCG=\DCE(SAS)........................................................................

/.BG=DEZCBG=NCDE

又；NBHC=NDHOZCBG+ZBHC=90°

，NCDE+ZDHO=90°4DOH=90°

BGIDE

(2)BG1DE成立,BG=DE不成立

简要说明如下

•.•四边形ABC。、四边形CEFG都是矩形，

且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a丰b,&>0)

餐噜=9NBCD=NECG=90。

NBCG=NDCE

△BCG□\DCE1分

NCBG=NCDE

又NBHC=ZDHOZCBG+NBHC=90°

NCDE+ZDHO=90°，4DOH=90°

BGIDE.....................................................................................................1分

(3),/BG1DE：.BE2+DG2=OB2+OE1+OG2+OD2=BD2+GE2

又■：a=3,b—2,k——

2

65

BD2+GE2=22+32+l2+1分

BE2+DG2^—1分

4

8.解:

⑴①AB=2

2分

Q

OA=—=4,OC=4,S相彩OABL12................................................................

2

2分

②当2</<4时，

直角梯形OABC被直线/扫过的面积=直角梯形048c面积一直角三角开

OOE面积

1,

S=12--(4-r)x2(4-/)=-r2+8r-4............................4分

(2)存

在..................................................................1分

O

[(一12,4),£(-4,4),鸟(—§,4),舄(4,4),4(8,4)…(每个点对各得1分)

5分

对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二:

①以点D为直角顶点，作尸片_1_*轴

在R/AOOH11,0E=20。，.•.设。。=b,0E=2b.RtAODE=RtARPD,(图示

阴影）

.•.。=4,2。=8,在上面二图中分别可得到P点的生标为尸（一12,4）、P（-4,4）

Q

同理在②二图中分别可得P点的生标为尸（一一，4）、尸（8,4）七点在0点下方不可能.

3

同理在③二图中分别可得P点的生标为尸(一4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4),

E点在A点下方不可能.

Q

综上可得产点的生标共5个解，分别为尸(-12,4)、P(-4,4)、P(--14)、

3

P(8,4)、P(4,4).

下面提供参考解法二：

以直角进行分类进行讨论(分三类)：

第一类如上解法⑴中所示图

NP为直角：设直线DE：y=2x+2。,此时£K-b,。)，E(0,2b)

的中点坐标为(-2b),直线DE的中垂线方程：y-b^--(x+-),令y=4得

222

P(y-8,4).由已知可得=即行—8)2+(4—26)2=病工^'化简

QQk

得3/一328+64=0解得4=8,仇=2将之代入尸(二-8,4)/.P=(4,4)、

12321

6(-4,4)；

第二类如上解法②中所示图

NE为直角：设直线OE：y=2x+24此时ZX-b,o),E(0,2b)

,直线PE的方程：y=~x+2b,令y=4得P(4Z?—8,4).由已知可得PE=0E即

J(4b-8)2+(4-26)2=加+破化筒得b1=(2b-8)2解之得，

48

4=4,2■将之代入R4b-8,4)，4=(8,4)、4(-；,4)

第三类如上解法③中所示图

ND为直角:设直线OE：y=2x+2b,此时ZX-b,o),E(0,2b)

,直线P。的方程：y=-^(x+h),令y=4得P(—。—8,4).由已知可得PO=OE即

&2+4?="2+4活解得瓦=4,a=一4将之代入