数列放缩证明不等式必刷100题(解析版)

专题16数列放缩证明不等式必刷100题

任务一:邪恶模式（困难）1-100题

提示:几种常见的数列放缩方法：

1111/C'

(1)~<~(~；一(«-2);

nyn-\)nn-\n

1111

(2)~>~~7—r7=---------7；

nnln+\)nn+l

z144(11

n~4〃~4n~-1(2〃-12n+1

一、)

(4)L1+—1Y<1-+1+---1-+---1----F----1---_:3；

In)1x22x3«-1»

(5)=2(-y/n-I(〃>2)；

12

(6)2卜Vw4-1):

忑y/n+赤

122,2&=何々2〃-l+，2”+l)

(7)\[ny/n+y/nriJ2"-1+J2〃+11九

+j〃+一

V2

(8)(2"-l)2-(2"-l)(2,,-l)<(2"-l)(2"-^一(2"_，(2"i-)Y-l2"-l("22)；

111J.+l——11

讨J”./J(〃-1)〃(〃+1)+J〃+l-y)n-\

]_________1CT^TT=2(7^T击)空^1<2(看-看)〃汨；

j(〃-1)〃1〃e+i)

1_222

(10)3y/n2-n+•/

11122__2_

U)F^T=(i+i)"_]-c：+c：+"="〃+i)一-为;

12-1朝.

(12)-------<---------------------=----------TA.(«

2"-1(2,,-1-1)(2"-1)2"'-1z—1

一、单选题

1.2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引

起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和S=1+*+…

那么下列结论正确的是

4543

A.1<S<—B.—<S<—C.—<S<2D.S>2

3432

【答案】C

【分析】

1111

由〃22时，-<-7-77=-,由裂项相消求和以及不等式的性质可得5<2,排除Q,再由前3项的

n〃(〃一1)n—\n

和排除A,B,从而可得到结论.

【详解】

1111

由〃22时，而可=匚1一/

-I111.11111

可得S-1+齐+”+…+/<1+1-5+5-§+…+k-

n

〃f+8时，S.2,可得S<2,排除Q,

由1+乒+*=1+W>],可排除48,故选C.

2,已知数列｛叫满足%>0,4=2,且(〃+1)*=应+4，„eN\则下列说法中错误的是()

.2n+222)2

A.a2<-----B.参+A介一+夕<2

nn

c.1<a„+]<a„D.24n

【答案】D

【分析】

分析得出凡”<%,可判断出CD选项的正误；分析得出%+，利用累加法可判断出A选项

的正误；当“22时，分析得出£<二-一2,利用放缩法可判断D选项的正误.

【详解】

由已知,数列｛《,｝满足>0,q=2,且(〃+1)匕1=应+°“，”wN*,

即(«+-(〃+1)=na；-n+an-\,

故("+l)(a“M-l)(%+i+l)=(a“T)(9+"+l)，

由。“>0,有(〃+1)(〃用+1)>0,〃勺+〃+1>0,故见+]-1与%-1同号,

因为)q—1=1>0,则iz,—1>0,生—1>O,L,

以此类推可知，对任意的“eN',%>1,

所以，(〃+1”3=〃片+%<+，则见+i<a〃,所以，1<<«1=2,D错;

1<%+]<%，C对;

因为%=(〃+1)。*一〃，则q=2d-a：,2d，L,%+，

匕LI、I2,2〃+4.一1*,口22〃+2,

累加得力+出+…+。”=〃+1)匕i-4<2〃,所以，匕[4——可得a；4-----,A对:

〃+1n

..a：,2〃+22(〃+1)222

当〃22时，-r<——<-

nnn\(n—l)(n+1)n-1)n—\n

姆诏a,-2222222c2,八小

H—T-H-z-+•,•H--<2---1——d——+…-I-----=2—</,B对.

3342n222334n-1nn

故选：D.

3.已知数列｛%｝满足％=J,〃向=。“+4

"WN"),则下列选项正确的是()

3n

B.吗…

。2021<。202040432021

c2021

C.0<a.A,,<----D."2021>1

山4043

【答案】B

【分析】

A选项的正误；利用放缩法得出‘一」一二十一11/一

利用数列｛%｝的单调性可判断<-------(77>2,n

%〃川nh77-1

-利用放缩法可判断BCD选项的正误.

%a„+1«-1n

4

eN=

9-

以此类推可知,对任意的〃eN*,a„>0,所以，国9=今>0,即—>4,

n~

所以，数列｛“"｝为单调递增数列，故a丽>在出，A错；

2

在等式an+1=%+&的两边同时除以可得

11《，.&y1111

〃4/〃%“长：”2也，w-1)n-\n,其中〃N2且〃wN*，

〃〃+可

1111111LJ_111

所以，------<1—,

一an4+】I〃

a2%-----223

累加得,1।1

-------<1——所以,-L>2-i+u+a,则%+1<1，故“2021<1

a2n%+14n4n

故D错误;

11111

—=~2--->

3〃+凡〃g+1)n77+1

1111___111

所以，丁L,

Z5'23an4+1nn4-1

,r1I1,1、12"+3〃+1

累力「得3------->1--------,可得---<2+-----=-------则a„i>-------

%+】〃+1/+]〃+1〃+1+2/7+3

山“2021乂2021।

//F以，。2021>彳八/r'"又._<a?Q2l<1'•

40434043

故选：B.

已知数列应｝满足

4.q=g,。〃+1=片+。”+1，若，=—+—+…+一，对任意的〃cN*,s〃<〃恒成立,

%出a”

则M的最小值为().

A82626

B.D.3

・3927

【答案】D

【分析】

先根据已知的递推关系式得到%>0,然后结合基本不等式得到进而得到

a〃+iJ

—<i-(«^2,«e^),最后利用此不等式对，放缩，并利用等比数列的前〃项和公式求解即可.

anJa\

【详解】

由%="：+%+1，得。,+1-%=Y+1>1,

又q=；,所以%>0.

由-=+4,+1，

可得喂=。“+，+1*3,当且仅当d=1时等号成立,

%,an

因为4=g，«„+i-«„>>>

所以所以。(乌

-3

111

所以o<—<于一

。〃+13an

-1111111/C

所以一----<—-----<-<—r.一[n>2,neN*)，

%3峭3an_23%、

所以S,

«1«2«„

又对任意的“eN*,S.<M恒成立,

所以M23,

故M的最小值为3.

故选：D

5.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,满足“”=育£川，则下列说法正确的是（）

A.当P=-1时,则S2019c万B.当。=。时，贝!!$2019>71

C.当P=5时，则$2019>1D.当。=1时，贝1J$2019>1

【答案】B

【分析】

利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果.

【详解】

对于选项A,当p=-l时，丁[=KT=l-ZTN55eN*),

--r1

n

2019i2019

所以539=2。,,23x2019=一万，故选项A错误；

«=i22

对于选项B,当P=0时，勺=工(〃€"*),

2n

又,所以>gln(l+L]=g[ln(〃+1)-lnz?J

所以

20191]

a

^2019=Z»>­[(ln2-lnl)+(ln3-ln2)+...+(ln2019-ln2018>(n2020-In2019)]=与n2020〉万,故选项

n=l22

B正确；

1__I____<_1J1

nGH)

对于选项C,当p=g时,viV([「小+i)n〃+l

n2n24-1nn+n2

所以

故选项C错误;

11117

对于选项D,当p=；时，%F——1——77=----------(neN*),

n~(^+1)〃(/1+1)n〃+1,

所以

11-/<1，故选项D错误;

2020

故选：B.

第II卷（非选择题）

二、解答题

6.已知数列｛%｝满足q=2,。e=2%+2向.

（1）证明：数列［受］为等差数列；

（2）设4勺，证明：/…+^<2.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】

（1）根据爵-枭=L结合等差数列的定义可证结论；

（2）由（1）知，4=l+（“-l）x1=",根据J<—（"W2）放大后裂项求和，可证不等式成立.

bnn-1n

【详解】

（1）因为翁一旬_2a“+2向

2"r=r+1"r=1'

所以数列;亲｝是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)知，bn=l+(w-l)xl=/?,

11111

所以J=当“22时,—=—<---------------------

b：n-b；n2(ii-1)/7n-1n

“—1+1—+1<―1+1---1--F-1----1--f-••4--1-------1-=r2--l---e<2

2

b；b：bn223nnn

7.已知数列M，｝的前〃项和为s“，对任意正整数"，点勺（〃3,）都在函数〃x）=/+2x的图象上，且/（X）

在点P.（〃，S,,）处的切线的斜率为K„.

（1）求数列｛叫的通项公式;

⑵若a=(啦1_2,求证：…+；＜L

'\，ahab„

【答案】(1)a“=2〃+l；(2)证明见解析.

【分析】

(1)把点的坐标代入函数的解析式中，结合句=:'：,"；(""2，"'")进行求解即可；

(2)根据导数的几何意义，运用放缩法，结合等比数列前〃项和公式进行证明即可.

【详解】

(1)解：依题意可知5”=1+2”，当时，

a„=S„-5„_,=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=In+1,

当〃=1时，％=S]=3也符合上式，

J%=2〃+1；

⑵证明：•••/'(x)=2x+2,.♦.K,=2N+2,4=27一2,=

u,z-ZZ+z-ZZ

XT

1111/1112n).\

23

“瓦打bn2222"1-12"

二原不等式成立.

8.已知等差数列｛4｝的前"项和为S.，且S?=9,又q=2.

(1)求数列｛对｝的通项公式：

(2)若数列也｝满足bn=2"，求证：数列出｝的前"项和[＜；.

【答案】(1)an=n+\(2)证明见解析

【分析】

⑴直接利用等差数列前〃项和公式求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式.

(2)利用等比数列的求和公式和放缩法的应用求出数列的和.

【详解】

解：(1)设｛。“｝的公差为止因为&=9,又6=2.

3x7

所以邑=3卬+于3=9,解得d=l.

故%=2+(〃-1)=〃+1.

（2）证明：由于%=，?+1,所以，=（;严，

1

所以北=（；）2+（32+...+（:"@=41:'L

1-----

22

9.已知等差数列｛%｝满足%=7,%+%=26,｛%｝的前〃项和为

（1）求。“及3；

（2）记（,=[+[+…+J,求证：<7；,<7.

ES]S„34

【答案】（工）a„=2n+l,s“=〃2+2〃（〃eN*）

（2）见详解

【分析】

（1）利用等差数列的通项公式和前〃项和公式可求解。

（2）由（1）的结论，利用裂项求和即可得出《，再利用单调性即可证明结论。

【详解】

,.[tz,4-2d=7

（1）设等差数列。”的公差为d,・.・%=7,%+%=26,।*

[q+4。+4+6。=26

q=3r〜1、c1〃(3+2/7+1)八/…、

解得a=3+2(77-1)=2〃+1,s=---------------=n22+2〃(〃eN)

d=2nn

（2）由（1）可知：sn=n（n+2）

T111

所以乙=不+f+…+丁=另一为

1Z1LALA1、

=5+•••+(--------—)+(-—)

n—\〃+lnn+2

=—(1+--------------------)

22n+ln+2

3l11、

=----(z----+----)

42n+ln+2

c1/11、,1/1、5

0<-(-----+-------)<-(-+-)=一

2〃+1〃+222312

131,11、3

.-<----(----+----)<—

342/7+1〃+24

/包二

3"4

10.公差不为。的等差数列｛对｝的前〃项和为S“，若4=1,岳，s2,反成等比.

（1）求数列｛对｝的通项公式;

（2）设2==，证明对任意的〃wN*,4+为+"+…2恒成立.

【答案】（1）an=2n-\；（2）见解析.

【详解】

试题分析：（1）由已知S；=SQ4,把此等式用公差d表示出来，解得”后可得通项公式；（2）由（1）计算

出为了证明不等式4+4+…+4<2,要想办法求出和4+电+…+6“，但此和不可能求出，为了证

不等式，由4■〈丁二=一三一!（"22）,这样和4+b,+…+4通过放缩后就可求得，从而证得不等式成

nn（n-i）n-\n

立.

试题解析：（1）设数列｛%｝的公差为d

2

由题5J54=(44+6d)=(2々+d)

q=l,dH0,d=2,/.an=2n-1

(2)由(1)得S“=〃2,...”=，•，当〃=1时，4=1<2成立.

,111___1

当心2时，b“=#<

n(n-l)n-\n

・一-一

•.b7+b,,4-----1-b7<1+1---1--1--1-----1--1--1----1--1-…H---1---------1-=02—1<02成.\j.

}n22334n-\nnf

所以对任意的正整数〃，不等式成立.

考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式.

11.已知数列｛“〃｝的前〃项和为=（〃WN*）,且”1=2.数列｛瓦｝满足加=0,历=2,=

〃=2,3,….

（I）求数列｛%｝的通项公式；

（II）求数列｛瓦｝的通项公式；

（HI）证明：对于H€N*,—+++2,,­,-1.

%〃2%

【答案】（1）册=2",（II）b,=2"T（〃-1）,（ID）见解析.

【分析】

（I）利用S尸与L“，可得2S,=（«+1）an,再写一式2s〃+产（"+2）a„+],两式相减可得^^四,

2a„n

利用叠乘法，可求数列｛a,,｝的通项公式；

b2〃

（II）根据4=0,岳=2,资•=一"，利用叠乘法，可求数列｛瓦｝的通项公式；

b„n-\

（III）先证明也=2"T—再利用等比数列的求和公式，即可得到结论.

外

【详解】

（I）解：■:Sn=—--4”，**-2Sn=（〃+1）/①,

**.2Sn+]=（〃+2）②,

二•①-②可得2。〃+|=（〃+2）〃田-（胃+1）%，

.%」+1

・・/一〃

当〃22时，4=/x"x・・・x-^-=2〃

a\%

<％=2

,数列｛%｝的通项公式为勺=2〃；

八bzIn

（II）解：Vfti=0,历=2,~T~~----T，〃N2,

b,"T

时，b„=62x-^-x-..xA-=2"-'（n-l）

b2%

4=04=2满足上式，

，数列｛也｝的通项公式为a=2i（〃-i）；

...”+9+…+泡“+1+2+…+"2=2"'-1=2”一

a\a2卬2-1

.74T/-XT*2bl242bn]

•・对于--+---+…+--->2.-1

a\%an

12.已知函数/。)=加+云(〃*0)的导函数/'(x)=2x-2,数列｛对｝的前〃项和为S“，点匕(〃,S,)均在函

数y=/(x)的图象上.若”=；(““+3)

(1)当〃22时，试比较与2%的大小；

(2)记c“=^(〃eN")试证q+c2+…+C400<39.

【答案】(1)%<2%⑵证明见解析.

【分析】

(1)根据条件得到了(x)解析式，得到工，再求出％的通项，从而得到”的通项，再对2%二项展开，从而

得到"+]与a的大小；(2)对c”进行放缩，然后得到C|+C2+...+.。的值，证明不等式.

【详解】

(1)f(x)=2ax+b=2x—2

a=\,b=-2.

2

/(x)=x-2xf

故Sn="_2〃，

当〃N2时，an=S〃一S“_[=2n-3,

当力=1时，q=工二一1适合上式，

因此4=2〃-3(〃wN*).

从而。=〃也用=〃+1,2%=2〃，

当“22时，2”=(1+1)"=。“°+C/+…>〃+1

故如<2%=2〃

⑵c,=1,

_^=?<2——r=2(4-yjn-1)(71GN\n>2)

y/nyjn+yinS+S-l

C|+<?2+…+C400<1+2-1)+2—A/2j+...+2(-J400—V399

=2^/400-1=39.

13.已知数列｛%｝满足%=1,an+l=2a„+l(neTV*).

⑴求％;

⑵求数列｛”,,｝的通项公式；

⑶证明：<—+—+•.•+-<^-(«eN*).

23%a3a”+i2

【答案】解：(1)%=7;⑵。“=2"-1(〃eM)；⑶证明过程见详解.

【分析】

⑴根据q=L-=2a“+l(〃eN*),逐项求解，即可求出结果；

⑵由%M=2«“+l(〃eN'),得到｛见+1｝是等比数列，进而可求出结果.

⑶先由二一不口一"1<丁"L2,…，〃，

*十|-------)

,,a.a?an

得到」■+」+•..+—n<-.

«2«32

再由放缩法，即可得出结果.

【详解】

⑴因为数列｛凡｝满足q=1,I=2“，+l(”eN*)

所以々=2q+1=3,%=2%+1=7,故%=7.

⑵因为a“M=2«“+l(〃eN*)

所以。川+1=24+1)

所以｛。,,+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列.

可得%+1=2".

即a“=2"-15eN*)..

kA

ak_2-\2-11,,_

⑶因为二=西二［=；^一1；(5'j2'…'〃'

a+i——J

所以W...+J.

«2%2

4怎一2—_11_11、111,.

乂因为---=-m—=----------m-----=—,—7-----7-----——.-r-yb1,2,o...,n

%2k+l-122(2A+1-1)23.2k+2k-2232"

,a,a-y〃1/111、〃1八1、〃1

712

a2a3a„+l23222〃232”23

n\a,a^,an,、,・、

故此丁一+—+...+-n--<-(n^N).

23a2%%2

14.数列｛叫满足：4+2牝+34+…+〃％=(〃-1)2"+1；数列也｝满足：％=在="，且4’.

(1)求数列｛叫和也｝的通项公式；

(2)设备=%,，证明：17北<3；

1=1

(3)设。“=。“+也,，证明：/+v+/+…

【答案】

_1.〃+1

(1)。“=2"，b,=-

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】

(1)当〃22时，4+242+34+~+(〃-”,1=(〃-2)27+1,与条件等式两边相减，即得数列｛%｝的通项公

式，再利用累乘法求数列｛"｝的通项公式；

(2)利用错位相减法求得7；=3-耍，再利用单调性证明得解；

11111

(3)只需证明尹+手+下+…+而讦<4,再通过放缩和裂项相消证明不等式.

(1)

当"=1时，a,=1;

当〃22时，q+2a2+3如---1-(»—)<7„_1=(〃—2)2"“+1

与条件等式两边相减，得叫=(〃-1)2"-(〃-2)21=〃21

所以%=2"，

所以4=《=1,

aab.X—然……q

—x—x—x

如468

b\b242n,

故有*=77+1

T

所求通项公式分别为a,,=2"T和"=*

(2)

7234〃+1

瀛由芦冢T+……+亍①

1234〃+1

/二尹+丁梦+……十广②

L

ioii1n+112ln+1

①-②：小齐=>+尹+尹++---~r

2〃2n

，+3

所以T=3-

T

〃+2

所以加尸北=2〃+i>0

所以｛1｝递增

所以看27；=1

又当〃f+oo时，T“T3

所以14北＜3

c”=。”+也,=〃+1

1111

只需证明了+手■+不'+…+<-

77+1)"4

111n1

当〃22时,<——

rr〃x〃2"X(n-1)F?X??4-1)2,

cc,,1111If1111(111111

c：《《c；2(2xl2x3)2(2x33x4)2^»(n-l)+

111

=-----------------<-

42〃(〃+1)4

故原不等式成立

15.在下列条件：①数列｛。”｝的任意相邻两项均不相等，且数歹（I｛展-4.｝为常数列,

②3=；(“,+〃+1乂*£'"),③能=2,5向=5,1+1(〃22,〃€%*)中，任选一个，补充在横线上，并回答

下面问题.

已知数列｛%｝的前〃项和为S“,q=2,.

(1)求数列｛叫的通项公式对和前”项和s“；

(2)设4=不一^/€叶)，数列也｝的前"项和记为7；,证明：

与应*"4''

【答案】

⑴s“=宁+；”；

(2)证明见解析.

【分析】

(1)选①：由题意，4；-。“=2,所以%=2或%=-1,又因为数列｛4｝的任意相邻两项均不相等，且《=2,

所以数列｛4｝为2,-1,2,-1,2,-1……，即a,=-a„.1+l(n>2),

构造等比数列卜“一共即可求解；选②：由S“=；(a“+〃+D(〃eN*),%[(1+〃-1+1)(〃22),两式

相减可得+1(〃22),以下过程与①相同；选③：由S,m=S,i+l(〃±2,〃eN.),可得

/+1+%=l(«>2,«eV),

乂%=2,〃=2时，a3+a2=l,所以02=-1，因为q=2,所以%+%=1也满足上式，所以

=l(»>2,«eV),即a.=-a,i+l("N2),以下过程与①相同.

然后由分组求和法可得前n项和S,；

(2)由(1)求出$2.=〃，$2川=左+2,则4利用裂项相消求和法求出前〃项和记为7；即

2\kk+2)

可证明.

(1)

解：选①：因为4=2,数列｛端-%｝为常数列，

所以a；-a“=a；-a,=22-2=2,解得a“=2或a“=-l,

又因为数列｛%｝的任意相邻两项均不相等，且％=2,

所以数列｛氏｝为2,7,2,7,2,7

所以a“+a“_|=1(〃Z2,"€M),即%=-%T+1(HS2),

所以*22),又q_；=9O,

所以｛""一3｝是以g为首项，公比为T的等比数列，

所以一；=|(-l)'i，即%=g+|(一[)"T；

选②：因为S,,=；&+"+S,-=；(*+〃-1+1)(〃22),

所以两式相减可得a,即%=-%+1(〃22),以下过程与①相同;

选③：由S.+i=S,i+l("N2,〃eN.)，可得a.+I+a“=l("22,"eM),

又？=2,〃=2时，a3+a2=1,所以°2=-1,

因为q=2,所以勺+q=1也满足上式，

所以=l(〃Z2,〃eM),即a“=-%T+1(〃22),以下过程与①相同;

13-[IT)”]

3+2〃3/八“一1

所以S“=2W+2-1-(-1)=丁+了(-1);

(2)

..c3+2x2k3/1\2A--I.3+2x(2k+1)3/d1i

解：由(z1x)知S”=―4—+-(-1)=k,S3-----——-+^(-0=k+2,

,11nli

所以4

,,,,if,111111111A

所rr以rl71=4+4+…+4=T1-T+T-T+7+，，，+FT-TT7+T~7771

2V32435k-1k+\kk+2)

16.已知各项均为正数的数列｛q｝的前〃项和满足S〃>1,且65.=仇+1)(见+2),〃€”.

(1)求｛《,｝的通项公式;

⑵设数列也｝满足。(2"-1)=1,并记7；为也｝的前〃项和，求证：7；+l<log2(a„+3),neN\

【答案】

(1)an=3w-1

（2）证明见解析

【分析】

（1）由6s“=（a.+l）m，+2）项和转换可得（《川+勺）（°,加一%-3）=0,结合%>0,可得a向-4=3,分析

即得解：

(2)由%(2，-1)=1可得"=log21J,利用对数运算性质可得Z,=logJH,…•3rl，利用

''3〃一1V253w-1J

卢3/77<学3/14-42放缩即得证

3n-l3/7-1

(1)

由q=S]=—(q+1)(q+2),.•.4；_3q+2=(^-l)(a)-2)=0

6

结合q=£>1,因此q=2,

由%+1=S“+|-S.=!(a”+i+1)1,田+2卜+1地+2)，

得(a,+i+a“)(a,+i-a,-3)=0,又见>0,得％-a“=3,

从而｛为｝是首项为2公差为3的等差数列,

故｛凡｝的通项公式为%=3〃-1.

(2)

由%(21)=1,故*-1=丁二

3n-l

即28=2-

3〃一1

可得〃=log?产；•，从而

3/2-1

_,,,.3.6.377,363〃)

北=4+仿+…+〃=log—+log—+...+log-----=log3w-lJ

222523n-l22'5

〃〃

..---3----<-3----+--2-

3〃-13n—1

〃

...*3—•63/7583+23/14-2

25…3/7-125…3〃一12

363〃]

于是T=log23M.…与一J

583〃+2)3〃+2人i

<log--—rTog?――=log(3«+2)-l,

22,53n-\J22

7；+1<k>g2(3〃+2)=log?(a“+3).

17.已知数列｛%｝中，q=l，“2=2,3%+]=4%-a,I

(1)求｛。“｝的通项公式；

b=________!_______s卜

⑵设g=l,〃>2,"求证:g”.

'51I「

【答案】(1)勺=223"-2'-；(2)证明见解析.

l,n=1

【分析】

(I)根据4=1，。2=2,3%”=4/一41当〃22时，变形为“向一“"得到数列｛。”*「。」等比数列，再利

用累加法求解；

1

______________________<L_L_=二L

(2)由(1)得到“23时，nn2(1+l.XYi+L._L)M〃Q—1)«-1n，再利用裂项相消法求

"V23n_1JL2'y-2)

解.

【详解】

⑴因为a,=l,a2=2,3a„+l=4an-a„_t

当"22时，变形为J‘

一%3

所以数列｛%,-%｝是以1为首项，以g为公比的等比数歹

所以a“+i-a”=奈，

所以%=(%一a,i)+(%T-4-2)+…+(%-%)+(%-%)+%，

i__L

31511

=-----+1t=----•—

,1223“一2

1------

3

511c

--------r,//>2

所以223〃-2

1,/?=1

(2)由(1)知：当〃23时,

<1+—+----+----+...+-------=2——<2.

22334n—\nn

18.数列｛%｝满足S“=]a"（NeN*）,S“是｛/｝的前〃项的和，的=L

（1）求s.；

3（1丫

（2）证明：-<1+—<2.

2【2。〃+]）

【答案】（1）s,,=%D：（2）证明见解析.

【分析】

（!）通过累乘法求通项。“，再求前”项和S,即可.

（2）通过二项展开式直接放缩即可求解.

【详解】

s.=M①

解：（1）当〃22时，由1/,

S〃+]=-y-4+i②

②•①得5—1）%=叫，BP—=-^T.

ann-l

aa,a-,n-\n-22.1

a=n-----—=.............—-1=/7-1,

nan-ia„-2a2〃-2n-31

又得q=0,故s"=声=^11.

（2）证明：（1+—^—]=fl+—=1+C；,-—+C；-f—1+--+C^-f—"I+---+C；；/—1

I2a“JI2n）2n\2n）\ln）｛2n）

因此,

2/7+12n-k

另一方面,易证WT<（左=0,1,、〃一1）

2〃一（％+1）

局W誓「悬貂…『2.

因此，有[<h+4]<2,当”=1时，与++上，左边等号成立.

212an+J22x1

19.已知各项均为正数的数列｛对｝的前"项和为S„,且a；+%=2S”,

22

(1)求证：S,<册；

(2)求证：-^=<+■■•+y/s^<

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）运用基本不等式放缩;

（2）放缩后构造成等差数列求和.

【详解】

(1)在条件中，令〃=1,得=2S1=2%,v«|>0,

又由条件展+a“=2S“，有a3+4M=2S“M，上述两式相减,

注意到=S“M-S”得(%+%)(--%-1)=o.

a„>0,故4+1-。“=1,

n(n+1)

=l+(n-l)xl=n,S

n2

耳2+(〃+1)2

,s—<:—,即证•

4

n<〃+1

(2),/n