段正敏主编《线性代数》习题解答

线性代数习题解答】

张应应胡佩

2013-3-1

目录

第一章行列式..........................................................1

第二章矩阵..........................................................22

第三章向量组的线性相关性.............................................50

第四章线性方程组....................................................69

第五章矩阵的相似对角化..............................................91

第六章二次型........................................................114

附录：习题参考答案....................................................129

教材：段正敏，颜军，阴文革：《线性代数》，高等教育出版社，2010。

第一章行列式

1.填空题：

(1)3421的逆序数为5:

解：该排列的逆序数为f=0+0+2+3=5.

(2)517924的逆庠数为7:

解：该排列的逆序数为f=0+l+0+0+3+3=7.

(3)设有行列式

25-130

1-1204

D=65-432=△(%•),

10078

-11132

含因子。12。31。45的项为一-1440,0

解：(-1)3154)I%%=(一厅.5・268•3=-1440

(_1),(24153)42424a3汹45%3=(-1/-5•0•6•8•1=0

所以D含因子为2a31a45的项为-1440和0.

(4)若〃阶行列式。“=△(均)=。,则。=△(-%)=(-1)"a

解：；行列式。中每一行可提出一个公因子-1，

.1-。=△(一旬)=(-1)"△(%)=(一1)"a.

1111

12-2x

(5)设〃x)=则/(x)=0的根为1,2,-2

144/

18-8x3

解：f(x)是一个Vandermonde行列式，

.♦./(x)=(x—l)(x—2)(x+2)(—2—1)(—2—2)(2—1)=0的根为1,2,-2.

(6)设入,％2，彳3是方程+px+g=0的三个根,则行列式

/x2x3

x3X]x2=0

£X3为

3i2

解：根据条件有x+px+q=(x-xt)(x-x2)(<x-x3)=x-(xi+x2+x3)x+ax-xtx2x3

比较系数可得：*+尤2+无3=0，X\X2X3=-Q

x；=_pX|_q

再根据条件得:石=-px2-q

xl=-px3-q

X

原行列式=x：+石+石一3X1X2X3=一p(X+x2+3)-3^-3-(-4)=0.

x23

(7)设有行列式—1x0=0,贝ijx=______1,2_______

0x1

x23

解：一1x0=x2-3x+2=(x-l)(x-2)=0

0x1

.x=1,2.

012013X

Xa

a。2224

(8)设〃x)=2},则多项式/(X)中/的系数为0

。31X。33〃34

X〃42〃43〃44

解：按第一列展开/(1)=4]A]+。2岛1+。314|+幼41，

•・•AIIHUAI中最多只含有/项，，含有丁的项只可能是前41

4+1

XA41=x(-l)a22xa24

Xa

33〃34

—(X+q3a22。34+%2a24a33)]

=-Xx(%2a34+43a24+。22。33)

X44I不含Y项，/(x)中d的系数为o.

1234

6543

(9)如果=0,贝■=.2

002x

0033

12j34

651431

22X,

3=(5-12)(6-3x)=0

00：2X65-3

00|33

•.x-2.

000«

h000

(10)-abed

000

00d0

解：将行列式按第一行展开:

000

0

h00

=〃•(—1严0c0=-abed.

0c00八

00

00d0

a31a—3b—3c—3

(11)如果b01=1,则5241

c21111

a31abca—3b一3c—3

小M4-3q

解：801302524=1

r+2r

c2111123111

a\\ai2/32/12a122al2-2&13

(12)如a2\a22a23=2,则2a2i2a222a22-2a23-16

。31。32a332a3]2。322。32一2a33

0002

2〃1]。21।ci9jci।

aaa1

1\\2\3\

3。1°a”a瞋。—~4,=-4

1乙14XXJ4

a\2a22。322

2(，]qQ?33a।③Cl23~~d33

a\3Q23。333

a\\a\2%3a\\a2\a3\

=1，«2%|=|"==1自A闾=2

解：|A|=。21。22〃23“12〃22。32

a31“32。33a\3a23。33

242a122〃]2-2〃]3

二|2eZj2%2%-2a31=23\aa%-aJ

2%2a222a22-2〃23{2

2a3]2a322C，3：

a

=8(|/a2%|+|%i_%|)=8(0-|川)=_16

2ali

〃21一。31

d2~^32=|2尸1A-3A乩—闻=2|四A-3A

2。］2。22—3〃广2A-Al

2。13。23~~3。13%3一〃33

=2(设AA-Al+lA-3与A-Al)

=2悔A片-闯=2(战A闵-设AA|)

=-2|Ar|=-4

0002

1按第一行展开

a\\a2\。312-(-l)'+4|Ar|=-4.

2

a\2a22a32

3

ai3a23a33

(13)设〃阶行列式。=。。0,且。中的每列的元素之和为b,则行列式。中的第二行的

代数余子式之和为=-

b

按第二行展开

h(Aj।++••,+)=Qw0

/?w0,_QJ4,2]+A，22+,•,+w0

Ai+%+…+4“

b

实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和A”+a2+…+4“=巴,i=1,2,.

0

a\\。12a\3《4a22。23。24

00

a22a23。24a32。33。34

(14)如果=1>则

00

。32。33〃34。42。43〃44

0

。42。43。44a\\a\2。23。24

〃22〃32。42

“23。33043=；

。24〃34。44------------

a22。23。24

解：令5=a32/3。34，则

。42。43。44

a\2。13a\4

aa

022。23241+1

=a11-(-l)|B|=l=>q尸0,且忸|—^0

0a32a33a34

0a42〃43。44

0a22a23a24

0

〃32〃33〃34=斯•(-!严冏=-即冏=-1

0。42〃43〃44

62〃23%

a22。32

。23。33T咋忸1=1

UI1

a24“34

123

23

(15)设有行列式-1x0，则元素-1的余子式M2尸,元素2的代数余子

x1

0X1

0

式42=(T)"-1

01

1234

2341

(16)设。=△(%),A,)表示元素4的代数余子式，则

3412

4123

Kg+2A24+3A34+4A.0

解：方法一：44+244+344+4AS可看成。中第一列各元素与第四列对应元素代数余

子式乘积之和，故其值为0.

123!1I

234I21推论1

方法二：A]4+2^24+3A34+4A44=0.

341I3I

412I4I

ab

bda

(17)设。==△(%■),A。.表示元素陶的代数余子式，则

bca

ahd

匕+A24+/+人转=0

abc1

hd1推论4

解：从总+44+A34+A44==0.

bc1

ahd1

5432X0

432-x00

32x000

(18)设f(x)则/的系数为6

2一X0000

00000

000006

解：方法一:

5432X0

5432x

432—x00

432-x0

32X0005x4

/(x)632x00=6(-l)v•(-l)2-r,56x5

2-x0000

2-X000

X00000

x0000

000006

方法二：只有一项非0

5432X0

432-x00

32X000/八"543216)

f(x)(一1)45^24^33^42^51。66

2—x0000

X00000

000006

(-1),0-(-1)2-%5

综上所述：/的系数为6.

孙a\2…即〃

a2la22…a2m

0

a\\/2•.a\m

%am2•••anuna2\。22,・a2m

(19)设。,B=a

"12b,•

\ncnC\2…1

“21"2〃

b22..C2\C22C2m♦am2•,。nun

,..•

*

"b"2••%Cn2…％”

424〃

°21822

?=)，则。=(-1)'""而

%或2

812，

a\\a\2*■,即",,•伉“

%，,•b2n

a2\a22•,•a2„,。21

解：方法一：令|A|==a,忸|==b

b

am\am2•'•a,„m源n2.••%

AnnA

则2=(；=kHM=H，2=；：=(—l)""'|A|•忸|=(T)"%。

证明：根据行列式性质2和5,将行列式|川变成下三角行列式，得到:

a%

«ii42,••\m

同_a2\a22,一a2m。21'。2

：：•_=年2…a,“=a

,在。m2…

。,二。,“2’…4

行列式'、2的变换和行列式间的变换完全相同，得到：

分别将A、2第一次按第一行展开（电变成第一行），第二次按第二行展开（生变成第一

行），……，总共进行m次第一行展开，得到:

3=6行一。,』同=闻.网=必；

2=%（-1广+1式-1产…4㈠产伸=（-1门川.忸|=（-1『9

证毕.

(A0\

方法二：设A=qI，B同）I，D

tnxtnnxnCB)

%，i=\\m.j=\\m

其中:(ly=«bp］，i=加+1:优+〃，j=m+1:加+〃，p=i—m,q=j-m(*)

机+用+〃，/=一〃

CP)'i=1:1:〃z,p=i？

那么：回=：；=E(T产“…"飞…%.「UM

CD{巧,…，PM+“}={1,…，M+”}

由(*)(1\，(Pl…Pm("MN("，+/”))-

XIFa3…小叫…勿

{Pl,…,P"J={1,/"}

{A'…}={1「."}

-E[（T）'出…35…啧・㈠严”加…心

一，…，〃}={|，…M

=’Z㈠产"力…」.]£（一1严0..也J

—|A|-|B|=ab

a\\a\2."a\,n

a2\“22,••&2m

•

a,.aam2'••a„

5m

3,,h

b-°\n%。12

^22•b、CCC

。21u2n2\22."2ni

*

h..bCC

%un2nn%n2."),m

2中a,“依次与仇，&，…,b“对换,使得在也,卜面;

依次与仇力2，…，2对换，使得a(时1)在"下面，在%,上面;

a,依次与仇也，…也对换，使得/在以下面,在%上面;

总共进行了加〃次对换。得到：

〉(-1)叫忸山|=(-1)'".

U/i

\—aa00C

-1l-aa0C

2345

(20)D=0-1l-aaC=+。-a+〃一a.

5J

00-1l-aa

000-11-

\-aa0001ao00

-1\-aa000l-aa00

C1+C2+C3+C4+C5

解：2=0-1l-aa00-1\-aa0

00-1l-aa00-1l-aa

000-1l-a—a00-1l-a

按第•列展开「,,

5+14

£>4-a-(-l)-a=D4—a'

同理可得：£>4=4+1，。3=02-/，2=2+/

则+a?-/+a，—a，=1-a+a~一优+a"—a

2.选择题

X234

Xxx3

(1)设多项式/(x)=则多项式的次数为(B)

102x

X13x

(4)2(8)3(04(£))5

解：方法一:

x2341|02X102x

।rxr

xx3("今x•xx32-\0x-x3-x2

〃x)=

02xXI234r3-xr\023-2x4-x2

x13xX；13x013—2xx—

x-x3-x21i3-2x13-2xx-x1

按第一列展开2I3-2x

23-2x4-x2—02x—3-2,x+4

T一町0

3-2xx-xx!-x-x(4-2x)——2x?+3

按第一列展开2x—3x~—2x+4

=X3-10X2+22X-9

-x(4-2x)x3—2x~+3

・•・多项式次数为3；

方法二：

x2344-x2

x23-2x2

223-2x4-x

xXX3C2C3-X\按第三行展开

3~\xx-xb(-l)3+1

/(%)=I°—x—x3—x2

02Rq-xc|100

T13—2xx—

X3xx13-2xx-x

23-2x4-x223—2x-+2x—4

(.-3+(.r-4)Q

X一X3—xX-x-4x+3

-10x-4-100

按第三行展开3—2x—x~+2x—4

(-l)-(-l)=—10厂+22x—9

~x-4x+3

・•・多项式次数为3；

注意：实际上方法一与方法二思想类似：利用行列式展开定理对行列式降阶，最后求出行列

式的值(多项式).

x234

xx3按第二行展开

方法三：/(%)=

XA21+XA,9++3^24

02大

x13x

这四项的最高次项分别为：x2,x3,x3,x

234

Aj=(-1)02x=O(x)

13x

34

2x=2x2+3x2+12-(8x+3x+3%2)=2x2+O(x)

3x

x24

-[0+2X2+4-(0+2X+X2)]=-f+O(x)

7^3=-10X

X1X

33

/(x)=XA22+xA2i+O(x,=2%-%+0(/)=/+O(%2)

多项式次数为3.

xyo

(2)设x,y为实数且一yxo=0,则(。)

0x1

(A)x=0,y=1(B)x=-1,y=1(C)x=l,y=-l(£>)x=(),y=0

xy0

解：-yx0=x2+y2=0=>x=y=0.

0x1

6!!1+xal2+x%3+xal4+x

a+xa+xa+xa+x

(3)设多项式/(x)2l222324则多项式的次数最多为(A)

a+Xa+X

a3i+xaJ2+x3334

a4i+xa42+xa43+xa^+x

(A)1(8)2(C)3(0)4

aaa

解：设[=:=(,y)4x4={\2«3«4)>则

/(%)=!«,+xi

a2+%+x\

性质4I

-1^1

%+H%+xla4+xl|+|xl%+xfa3+xl

=/i")+/2(x)

fx(x)=\axa2+xl%+xfa4+xT|

性质41一一|।一—।

==0a2a3+xla4+xl+kz)xla3+xl4+11

=力(%)+力(工)

性质3卜-一力性质5

==x|Taa%[=0(x)

f2(x)x1a2+xlg+xl%+xl23

=

力(%)=,a2%+xla4+xl|a2%%+同+卜|a2xl%+xlj

二八⑺+八⑺

性质一一性质

3।।5।aTaaJ=O(x)

f4(x)xof,1a3+x\a4+xlx\x3

性质

人(x)=W%«3-I4.।I-I

a44-xl\a}a2%%|+%a2a3xl

性质

3aa%T|=6>(x)

\axa2%+2

性质3।一一।性质5।।

z=:

f6[x)^x\a]a21a4+xlx\a]a21aA=0[x)

/(x)=力(x)+f2(x)=(力(x)+y4(x))+f2(x)=[(/5(x)+f6(x))+/4(x)]+f2(x)

=O(x)

；.f(x)的次数最多为1.

0-1

-1

(4)Dn=，当”=(C)时，O“<0.

-10

(A)3(8)4(C)5(0)7

-1

_1n(w-l)”(〃+】)

解：0,=.=(-1)^--(-l)n=(-l)~

)|3457

〃(〃+1)

-i——6101528

2

当〃=5时，。"=一1<0,选C.

(5)%为四阶行列式。的第/列，(j=l，2,3,4,),且£>=-5,则下列行列式中，等

于一10的是(D).

(A)\2a],2a2，2a3，2a/

(B)\ax+a2,a2+a3,a3+a4,%+aJ

a+a+a

(C)\a},a]+a2,%+%+%，\+«23^

(。)同+&2，a2+a3,a3+a4,%-aJ

解：D=\a]a2a3a4|=-5

44

(A)D1=|2«!2a22a32«4|=2|a,a2a3a4|=2D：-80

(B)方法一：D2=\a}+a2a2+a3a3+a4%+%|

a2+a3。3+%+aJ=0

方法二：D2=|(Z]+a2a2+a3a3+aAa4+a||

性质4

%+%%+。

^=\a}%+%%+%%+%|+|。24+%1|

笛+耳

c4f

44%|=o

片不7匕%阂=(-1)”|«a2a3a^\=~D

C4-C3

D)=E{+F[=D—D=0

(C)D3=\alax+a2al+a2+a3%

==%|

==1^ax+%%+a2+a、oc^®/+%

a24a4\=D=-5

(D)D=|dZj+a

42a2+%%+%a4-ax

性质4

—

1^1%+%%+%

=4+6]

。4+。

A=^=|«I«2«3aj=o

。2-

。2f3+1

51==^==|«2«3«4一%|=(一1]他%«3。/=。

C4Y3

.•.。4=4+4=。+。=2。=一10

3.计算下列行列式

11114124

12341202

(1)(2)

1361010520

1410200-1-1-7

26113

311

10204

131

(3)(4)21350

1131

13410

113

30369

000023

0000561+Qbcd

100800a1+/?cd

(5)(6)

230000ab1+cd

045000abc1+d

006700

1111

abacae

abcd

(7)hd-cdde(8)

a，yc1d-

bfcf~ef

a4bc4d4

1J111111111111111

1!234o1!230123口一3T0123

解：⑴D=11________=1

r3-rl

1；361002：59C-2r,00130013

1r2-r\1

1：4102003；919003|100001

4!12402-4

-72-4

12021202|按第•列展开

(2)D(-l)2+，-152-20

10i5200-152-20

-1-1-7

0!-1-1-70-1-7

推论4

311

00

(3)=6x23=48

120

02

2611306-31-500-7-13

02042r21020410204

0「6弓

(4)D21350ri-2r20E5015-8

r4-r24-34

13410<5-3»20321005-1420

3036900I-36-300-36-3

-7-13-7-1510

按第一列展开C2,2Q按第三行展开/、/、3+|,

5-1420—5-415(-3)-(-l)-(-15x15+4x10)

再按第，列展开-36-3C3f-300

555

000023

0000561008

100800OA>x：232300

(5)D:2(-1)”

^4x4Cfx：

230000:2560450

0450000067

006700

230100

B按第四列展开

(2x6-3x5)x8-(-l)'+4.045+_7,(/—八1)4+4.230

006045

=-3x(-8x2x4x6+7xlx3x5)=837

1+Qbcd1+Qbd

a1+bcdr4-r3-1100

（6）方法一•：D

ab1+cdr3~r20-110

r2-r\

abc1+J001

100bed

按第一列展开/

-------(1+a)-110+（一1）.（一1广-110

0-110-11

=l+4+/?+C+〃

1+abedl+a+O+c+dbcd

al+hcdCi+q,i=2,3,4l+a+b+c+d1+bcd

方法二：ab1+cdl+a+/?+c+db1+cd

abc1+Jl+a+O+c+dbc1+J

l+a+h+c+dhcd\

%下：=2.3.401001上三知行列式

1+a+b+c+d

001°

0001

abacb

每一行提一个公因子

(7)bd-cdadfb

性质3

bfcf~efb

11111

每一列提一个公因子

adfbee1-1^=abcdef0-20

性侦3

1100-2

4abedef

1111

1111

abdx

abcd

（8）方法一：考虑新的行列式a1b2d-X2，则A45=(-1)4+5

a2b2c2d-

a3h3/X3

a4b4c4d4

a4b4J4x4

即为/的系数，因为将。按最后一