上海市崇明区市级名校2023年高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足z-（l+2i）=5（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

U-l)3,x<l

2.已知函数，（尤）=〈,若f（a）＞f（b）,则下列不等关系正确的是（

Inx,x>1

11

A.—：————B.y/a>y/b

+1b+\

22

C.a'<abD.ln(a+l)>ln(Z>+l)

3.如图，平面四边形ACBO中，ABISC,ABA.DA,AB=AD=\,BC=6,现将△ABO沿A3翻折，使

点。移动至点P,且R4_LAC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（)

妪兀

A.8%B.6乃C.4乃D.

4.执行下面的程序框图，如果输入〃7=1995,〃=228,则计算机输出的数是（）

//乎人/

|求m除以二%箱瓦一~]

|m=nI

/输啊/

A.58B.57C.56D.55

5.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.则下列结论中表述不1E碘的是（）

20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份

A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…，7）

建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型3=99+175,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为

256.5亿元.

6.已知不重合的平面a,耳,/和直线/,贝!|“a//4”的充分不必要条件是（）

A.a内有无数条直线与月平行B.11a且/

C.且/_LAD.a内的任何直线都与夕平行

22

7.已知双曲线C:，-4=l（a>0/>0）的右焦点为尸，若双曲线。的一条渐近线的倾斜角为g,且点尸到该渐近线

ab3

的距离为G，则双曲线C的实轴的长为

A.1B.2

C.4D.还

5

8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何

体的体积为

A.72B.64C.48D.32

9.函数/(1)sinx（一乃且xwO）的图象是（

A.正三角形B.正方形C,正五边形D.正六边形

11.正项等比数列｛。〃｝中，=16,且％与。9的等差中项为4,则｛〃〃｝的公比是（）

A.B.2c加D.V2

2

12.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x1-2ax+9,x<\,

13.已知函数f（x）=<4，若/（x）的最小值为/（I），则实数。的取值范围是_________

X~\---F<2,X>1,

14.双曲线y一一=1的焦点坐标是,渐近线方程是.

15.已知等差数列｛4｝的各项均为正数，6=1,且。2+4=%，若4=10,贝！1%,-4=.

16.已知函数+2X+4?+8^，-2<A<0,若函数g（x）=a|/（x）|+l有6个零点，则实数。的取值范围

x2+2x-l,x<-2,x>0

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知x>0,y>0,z>0,x2+y2+z2=1,证明：

⑴（x+y）2+（y+z）2+（x+z）2„4；

(2)—I--1—>1+2^xy+2Jxz+2Jyz,

xyz

18.（12分）已知椭圆C：—+/=1,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆C交于M，N两点.

4

（I）若线段MN的中点坐标为求直线/的方程；

（II）若直线/过点（4,0）,点P（Xo，°）满足⑥M+%V=。怎N分别为直线PM,PN的斜率），求玉>的值.

19.（12分）已知椭圆C：4+4-=i（a>。>0）的左、右焦点分别为耳，F2,离心率为L,且过点（I,。］.

a~b~212）

（1）求椭圆C的方程；

TT

（2）过左焦点士的直线，与椭圆C交于不同的4,8两点，若NAF,B=：,求直线/的斜率A.

2

20.（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，

未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开

学季进了160盒该产品，以x（单位：盒，1004200）表示这个开学季内的市场需求量，》（单位：元）表示这

个开学季内经销该产品的利润.

频率

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量X的平均数和众数；

(2)将)'表示为x的函数；

(3)以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.

21.(12分)已知椭圆C：5+'=1的离心率为乎，且椭圆C的一个焦点与抛物线^=4班》的

焦点重合.过点E(L0)的直线/交椭圆。于“(x,，X),N(乙，%)两点，。为坐标原点.

(1)若直线/过椭圆C的上顶点，求AA/ON的面积；

(2)若A,8分别为椭圆C的左、右顶点，直线M4,NB,MB的斜率分别为匕，k2,%，求&信+&)的值.

22.(10分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在

数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为夕=1-sin。(0K6<2肛。>0),

"为该曲线上的任意一点.

3

(1)当=m时，求M点的极坐标;

(2)将射线OM绕原点。逆时针旋转与该曲线相交于点N,求的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据复数运算，求得z,再求其对应点即可判断.

【详解】

z=1k=l-2i,故其对应点的坐标为（1,一2）.

其位于第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.

2.B

【解析】

利用函数的单调性得到。,匕的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

•••/（X）在K上单调递增，且/（。）＞/（上，

力的符号无法判断，故/与/，/与ah的大小不确定，

对A,当a=l,b=-1时，——=」—，故A错误；

tr+1b~+\

对C,当a=l,b=-1时，/=i,出,=故c错误；

对D,当a=l为=-1时,ln（a2+l）=ln（b2+l）,故D错误；

对B,对a＞6,贝!|网＞花故8正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

3.C

【解析】

由题意可得24_L面ABC,可知Q4_LBC,因为则8CL面丛6,于是BC_LPB.由此推出三棱锥

P-ABC外接球球心是PC的中点，进而算出CP=2,外接球半径为1,得出结果.

【详解】

解：由八4_L>W,翻折后得到又Q4_LAC,

则尸4_L面ABC,可知Q4J_BC.

又因为AB_LBC,则BC_L面Q48,于是BCJ.PB,

因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点.

计算可知CP=2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为4%.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识,

属于中档题.

4.B

【解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算他，〃中的最大公约数，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故当输入加=1995,〃=228,则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

5.D

【解析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【详解】

对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于3选项，2000-2004投资总额为

11+19+25+35+37=127亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到

37x4=148,故描述正确.对于O选项，令，=10代入回归直线方程得99+17.5x10=274亿元，故O选项描述不正

确.所以本题选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

6.B

【解析】

根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A.。内有无数条直线与夕平行，则名尸相交或。〃夕，排除；

B.l±a且/J•尸，故。〃夕，当。///，不能得到且/，尸，满足;

C.且7,广，a!Ip,则a,尸相交或二//月，排除

D.1内的任何直线都与夕平行，故二//夕，若二//月，则a内的任何直线都与月平行，充要条件，排除.

故选：B.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.

7.B

【解析】

双曲线C的渐近线方程为^=±2”，由题可知2=tan^=J^.

aa3

lx/3c|

设点尸(c,0),则点F到直线y=的距离为=6解得c=2,

7(73)2+(-1)2

所以。2=42+加=/+3〃=46=4,解得a=l,所以双曲线C的实轴的长为2a=2,故选B.

8.B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为V=唳-腺=4x4x5一;x4x4x3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

9.B

【解析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.

【详解】

由题可知/（X）定义域为卜肛0）D（0,司，

（x）是偶函数，关于y轴对称,

，排除C,D.

6、,n/一36八,（万）（左2、.乃乃2c

力丁石-<0,/匕卜匕一熄—>。，

“X）在（0,乃）必有零点，排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.

10.C

【解析】

试题分析：画出截面图形如图

考点：平面的基本性质及推论.

11.D

【解析】

设等比数列的公比为q,q>0,运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q.

【详解】

由题意，正项等比数列同｝中，aQ5+2a3a7+a5a9=16,

2

可得a；+2a3a7+a；=(a3+a7)=16,即23+a7=4,

与a,)的等差中项为4,即a$+a9=8,

设公比为q,贝！Jq2(a3+a7)=4q2=8,

则q=0(负的舍去)，

故选D.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等

比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.

12.C

【解析】

试题分析：根据题意，当xW2时，令V—1=3,得％=±2；当x〉2时，令log2X=3,得

x=9,故输入的实数二值的个数为1.

考点：程序框图.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.a>2

【解析】

x>l,可得/(x)在x=2时，最小值为4+a,

xWl时，要使得最小值为〃1),则/(x)对称轴x=。在1的右边，

且/(l)W4+a,求解出。即满足/(x)最小值为/(1).

【详解】

4

当X>1,f(x)=x+-+a>4+a,当且仅当x=2时，等号成立.

当时，/(x)=V—25+9为二次函数，要想在x=l处取最小，则对称轴要满足

x=a>\

并且/(l)44+a,即l—2a+9〈a+4,解得a22.

【点睛】

本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比

较，得到结果，题目较综合，属于中档题.

14.(0,±V2)y=±x

【解析】

b

通过双曲线的标准方程，求解C,一,即可得到所求的结果.

a

【详解】

由双曲线；/一x2=],可得〃=1,b=l,则C=8，

所以双曲线的焦点坐标是(0，土血),

渐近线方程为：y=±x.

故答案为：(o,±V2)；y=±x.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题.

15.10

【解析】

设等差数列｛q｝的公差为d>0,根据生=1,且“2+4=6,可得2+6d=l+7d,解得d,进而得出结论.

【详解】

设公差为"，

因为g+4=/，

所以q+d+4+51=4+7d,

所以d=4=1,

所以4一4=(〃-q)d=10xl=10

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.

【解析】

由题意首先研究函数y=|/(x)|的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于“的不等式，求解不等式即可确定实

数a的取值范围.

【详解】

当-l<x<0时，函数《》)=寸+2》在区间(—1,0)上单调递增，

很明显，(x)«—L()),且存在唯一的实数为满足(%)=-；，

当—14<()时，由对勾函数的性质可知函数y=f+j在区间(-1,一；)上单调递减，在区间上单调递增，

X2+2X+^—

结合复合函数的单调性可知函数y=在区间上单调递减，在区间(3,0)上单调递增，且当

4X2+8X

1

X=X|时，y=x~+2x+=1,

4/+8x

考查函数y=,+2x—1］在区间(0,+8)上的性质，

由二次函数的性质可知函数y=|f+2x—I］在区间(0,0-1)上单调递减，在区间(a-1,+8)上单调递增,

函数g(x)=a|/(x)|+1有6个零点，即方程a|/(x)|+1=0有6个根，

也就是|f(x)|=—,有6个根，即y=|f(x)|与y=-工有6个不同交点，

注意到函数y=x2+2x关于直线x=-1对称，则函数y="(x)I关于直线x=—1对称,

绘制函数y=1/(%)I的图像如图所示,

综上可得，实数。的取值范围是

故答案为

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得移+yz+»,1,而(x+y)2+(y+zy+(x+z)2=2+2(肛+yz+有),,4,即得证；

(2)首先推导出x+y+z>l,再利用_1+,+!=(_1+_1+,>》2+'2+22),展开即可得证.

xyzyxy7

【详解】

证明：(1)x2+y2+z2=l,

2xy+2yz+2xz,,+y24-y2+z2+z2+x2=2(x2+y24-z2=2,

xy+yz+次，1,

/.(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=2(x2+y2+z2)4-2(xy+yz+zx)=2+2(xy+yz+zx)„4(当且仅当％=y=z时

取等号）.

⑵(),y>0,z>0,x2+y2+z2=\,

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

x+y+z>1,

111iii

••・一+—+-二一+—+-M+y2+z2

xyzXyz

y2z2x2z2x2y2

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

(22\,2,2,2

Z'Xz

=(/x+y+z、)+—y+—%+—-+—-।+—+>1+2y/xy+2\[xz+2yfyz,

lxy)Bz\yzj

/.—I----1—>1+2-^/xy+2,xz+2ylyz.

xyz

【点睛】

本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.

18.（I）x+2y-2=0（H）/=1

【解析】

（I）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；

（II）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据Z*+&PN=。，即可求得参数的值.

【详解】

（1）设M（3,yj,%（%2，%），则（、

互+£=1.

42

两式相减，可得（内―々!内+/）+（y_%）（乂+%）=0.（*）

因为线段MN的中点坐标为l,g,所以玉+々=2,X+%=L

代入（*）式，得区铲工+（乂一%）=0・

所以直线/的斜率后=岂二也=一＜.

所以直线/的方程为y_；=_g（x-l）,即x+2y—2=0.

x=my+4,

（II）设直线/：%=my+4联立

I,.2_1

整理得(加2+4)/+8m>1+12=0.

所以△=64，/—4X12X(〃Z2+4)>0,解得//>12.

Sm12

所以y+%=-

M+4

所以%+2q+4J(…)+)«F

王一玉)天2—玉)(玉—％O)(%2—%O)

工2乂+内）'2—（乂+32）*0_（冲2+4）%+（加%+4）%—（弘+%）/

（X—尤0）（马一/）（内一无0）（看一尤0）

2，〃X%+(4—x°)(x+%)

=0,

(%一%0)(为2—%)

所以2吵%+（4-%0）（必+%）=。・

所以2町月+（47。）（“+%）=2”号+（x°-4）.舄二笔?=。.

因为相。（），所以%=1.

【点睛】

本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.

19.（1）土+匕=1（2）直线/的斜率为％=孑包或—土互

4377

【解析】

（1）根据已知列出方程组即可解得椭圆方程；

⑵设直线方程＞=%（x+1）,与椭圆方程联立，ZAF2B='转化为耳463=0,借助向量的数量积的坐标表示，及韦

达定理即可求得结果.

【详解】

c1

~a~2,

(1)由题意得/=〃+。2,

19

L狂

a=2,

解得＜b=G,

C=l,

22

故椭圆。的方程为2+匕=1.

43

(2)直线/的方程为丁=k(％+1)，

设A("3B(x2,y2),

(22

土+匕=1

则由方程组，43消去y得,

、y=Z(x+l)

(3+4公卜2+8炉工+必2-12=0,

所以*2=。，玉

3+4d123+4公

TT-

由乙468=5,得它工3=0,

所以F2A-F2B=(X]-l)(^-l)+^y2=0,

又以必=公(*1+1)(工2+1)=攵2[中2+(5+々)+1]

所以(1+k2)内玉+(%2-1)(3+X2)+*2+1=0，

即(1+用竺W+伊+公+1=0

\"3+4公V々3+4公1

,9

所以公

7

因此，直线/的斜率为左=82或％=—上互.

77

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系，考查学生的计算求解能力，难度一般.

_f80x-4800(100<x<160)

20.(1)x=153,众数为150；(2)y=；⑶0.90

oOUO(160<x<200)

【解析】

（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；（2）由已知条

件推导出当10噫/160时，y=50x-(160-^)230=80x-4800,当160<%，200时，y=160x50=8000,由此

能将y表示为X的函数；（3）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率.

【详解】

（1）由直方图可估计需求量工的众数为150,

由直方图可知［100,120）的频率为：20x0.0050=0.10

由直方图可知［120,140）的频率为：20x0.010=0.20

由直方图可知［140,160）的频率为：20x0.0150=0.30

由直方图可知［160,180）的频率为：20x0.0125=0.25

由直方图可知［180,200］的频率为：20x0.0075=0.15

估计需求量x的平均数为：

x=0.10x110+0.20x130+0.30x150+0.25x170+0.15x190=153

(2)当100Wx<160时，y=50%-30(160-x)=80x-4800

当160VXW200时，y=50x160=800()

80x—4800(1004x<160)

...y=<

■8000(160<x<200)

(3)由(2)知当160WxK200时，y=50xl60=8000>4800

当100«尤<160时，y=8()x—4800248()0得1204》<160

/.开学季利润不少于4800元的需求量为120<x<200

由频率分布直方图可所求概率尸=0.20+0.30+0.25+0.15=0.90

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方

图的合理运用.

21.(1)1(2)&(左1+&)=­1

【解析】

(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得C,结合椭圆离心率求得4,进而求得)，从而求得椭圆C的标准

方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线/的方程.联立直线/的方程和椭圆方程，求得M,N两点的纵坐标，由此

求得AMON的面积.

(2)求得A,8两点的坐标，设出直线MN的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得自•汽

的值，根据“在椭圆上求得勺•%的值，由此求得占(匕+&)的值.

【详解】

(1)因为抛物线y2=4jix的焦点坐标为(百,0),所以椭圆C的右焦点

的坐标为(0,