2021年北京电业中学高三数学理联考试题含解析

2021年北京电业中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若?=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2） B．（1，2）或（1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由?=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由?=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．2.已知集合A={cos0°，sin270°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B为(

) A．{0，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣1} D．{0}参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用特殊角的三角函数值确定出A中的元素，求出B中方程的解得到x的值，确定出B，找出A与B的交集即可．解答： 解：∵A={cos0°，sin270°}={1，﹣1}，B={x|x2+x=0}={x|x（x+1）=0}={﹣1，0}，∴A∩B={﹣1}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.在直三棱柱ABC—ABC中，分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若则线段DE长度的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为 A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【解析】根据数的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，,则剩余5,6,7,8四个数字，而8只能放在在A,B两个位置，若8放在B处，,则C处可以从5,6,7三个数字中选一个放在C处，剩余两个按照大小放在D,A处，此时共有3种，同理，若8放在A处，则可以从5,6,7三个数字中选一个放在D处，剩余两个按照大小放在B,C处，此时也有3种，所以共有6种填法，选A.参考答案：根据数的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，,则剩余5,6,7,8四个数字，而8只能放在在A,B两个位置，若8放在B处，,则C处可以从5,6,7三个数字中选一个放在C处，剩余两个按照大小放在D,A处，此时共有3种，同理，若8放在A处，则可以从5,6,7三个数字中选一个放在D处，剩余两个按照大小放在B,C处，此时也有3种，所以共有6种填法，选A.【答案】A5.为了得到函数的图像，只要把函数的图像A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度参考答案：【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】B

解析：,右移得.故选B.【思路点拨】先把化简，然后利用平移的方法即可.6.已知实数p＞0，直线4x+3y﹣2p=0与抛物线y2=2px和圆（x﹣）2+y2=从上到下的交点依次为A，B，C，D，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．联立直线4x+3y﹣2p=0与抛物线y2=2px且消去x解出y1=，y2=﹣2p，所以x1=，x2=2p，进而得到答案．【解答】解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．联立直线4x+3y﹣2p=0与抛物线y2=2px且消去x得：2y2+3py﹣2p2=0解得：y1=，y2=﹣2p，所以x1=，x2=2p所以==．故选：C．7.．已知数列

的值为

A．11

B．12

C．13

D．14参考答案：C略8.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),那么f()等于()(A)15 (B)1 (C)3 (D)30参考答案：A略9.若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域为R，将条件转化为x2+ax+1≥0恒成立，利用判别式之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=的定义域为实数集R，则x2+ax+1≥0恒成立，即△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即实数a的取值范围是[﹣2，2]，故选：D．10.函数f（x）=|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】通过a的取值，判断对应的函数的图象，即可推出结果．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|+=|x|，函数的图象可以是B．当a=1时，函数f（x）=|x|+=|x|+，函数的图象可以类似A；当a=﹣1时，函数f（x）=|x|+=|x|﹣，x＞0时，|x|﹣=0只有一个实数根x=1，函数的图象可以是D；所以函数的图象不可能是C．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前项的和

.参考答案：12.若曲线在点(1,1)处的切线与圆相切，则r=__________.参考答案：【分析】求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可得到关于的方程，解方程即可得到答案。【详解】由可得，曲线在点处的切线方程的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即，又切线与圆相切，圆心到切线的距离等于圆半径：，即，解得：故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，导数的几何意义：函数在某点的导数为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线与圆相切的几何关系，属于基础题型。13.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围_______参考答案：[-1,1]14.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为．参考答案：100略15.若直线（m﹣l）x﹣y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值等于．参考答案：考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值．解答：解：∵直线（m﹣l）x﹣y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，∴（m﹣1）3+（﹣1）m=0，解得m=，故答案为．点评：本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．16.党的十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，团结带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，则这50位农民的年收入（单位：千元）的中位数为_________．参考答案：【分析】先判断中位数所在区间，再根据概率求中位数.【详解】中位数所在区间在，设为，则故答案为【点睛】本题考查频率分布直方图以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.17.定义在R上的函数满足：，当时，．下列四个不等关系：；；；．其中正确的个数是

．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，求实数M的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0确定a，b的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）min＜M成立，即可求实数M的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex[x2﹣（a+2）x+b]，∴f′（x）=ex[x2﹣ax+b﹣（a+2）]，∴f′（0）=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；（Ⅱ）对于任意负数a，总存在x＞0，使f（x）＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f（x）min＜M成立，由（Ⅰ）可知f′（x）=ex（x﹣2a）（x+a），令f′（x）=0，可得x=2a，或x=﹣a．a＜0，0＜x＜﹣a，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＞0，f（x）min=f（﹣a）=e﹣a（3a+2），令g（a）=e﹣a（3a+2），则g′（a）=e﹣a（1﹣3a）＞0，此时函数单调递增，即g（a）＜g（0）=2，∴M≥2．19.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？参考答案：略20.如图,某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.

(1)求的值和两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段线段最长?参考答案：（Ⅰ）依题意，有（1’），又，。

（2’），当时，

（4’）

又

（5’）（Ⅱ）解法一在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°<<60°由正弦定理得,

（7’）故（10’）0°<<60°

（11’）当=30°时，折线段赛道MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

（12’）解法二：在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=即

（7’）故，从而，即（10’）当且仅当时，折线段道MNP最长

（12’）21.如图1，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=，将图1沿直线BC折起，使得二面角A﹣BC﹣C为60°．如图2．（1）求证：AE⊥平面BDC；（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（1）取BD中点F，连结EF，AF，由余弦定理及勾股定理，可得AE⊥EF，由线面垂直的性质可得BD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BDC；（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，求出直线AC的方向向量与平面ABD的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AC与平面ABD所成角的余弦值．【解答】证明：（1）取BD中点F，连结EF，AF，则，（2分），由余弦定理知：，∵AF2+EF2=AE2，∴AE⊥EF，（4分），又BD⊥平面AEF，AE?平面AEF，∴BD⊥AE，又∵EF∩BD=F，EF，BD?平面BDC∴AE⊥平面BDC；

（6分）解：（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，则，，（8分），设平面ABD的法向量为=（x，y，z），由，得，取，则y=﹣3，∴．∵，∴（11分）故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为．（12分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，解答（1）的关键是