高中数学必修4-第2章平面向量-示范教案(2.2.1 向量加法运算及其几何意义)

2.2平面量线运2.2.1向量法算其何义整设教分向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运是量的第二节内容其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则并对向量加法的交换律、结合律进行证同时运用他们进行相关计,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础起到承上启下的重要作用学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概何表示,理解了什么是相等向量和共线向量在学习物理的过程中已经知道位移和这些物理量都是可以合成而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法这为本课题的引入提供了较好的条培养数学的应用意识是当今数学教育的主本课的内容与际问题联系紧,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况此有利于渗透分类讨论的数学思想而猜测向量加法的运算律时过引导学生利用实数加法的运算律进行类则能培养学生类比移等能在实际教学中,类比数的运算向量也能够进行运算运引入后向量的工具作用才能得到充分挥实际上引入一个新的量后察它的运算及运算律是学研究中的基本问题教师应引导学生体会考察一个量的运算问,最主要的是认清运算的定义及其运算律这样才能正确、方便地实施运算向量的加法运算是通过类比数的加法以移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的这做使加法运算的学习建立在学已有的认知基础上,同还可以提醒学生注意由于向量有方向此在进行向量运算时不但要考虑大小问题且要考虑方向问题从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区.这样做有利于学生更好地把握向量加法的特三目通过经向量加法的探掌握向量加法概,结合物理学实际理解向量加法意能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法并能作出已知两向量的和在应用动中,解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.握有特殊位置关系的两个向量的,如共线向量、共起点向量、共终点向量.通过本内容的学,让学生认识事物之间的相互转培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.养学生类比、迁移、分类、归纳等能重难教学重点向量加法的运算及其几何意.教学难点对向量加法法则定义的理课安时教过导新思1.复习导入上一节我一起学习了向量的有关概,明了向量的表示方,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概并触了这些概念的辨析判.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运,这一节我们先学习向量的加.思2问导)年陆和台湾没有直因此春节探要先从台北到香,再从香港到上海两次位移之和是什么怎列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动向北走,再向西走15米再东走5米,后向南走10米怎样计算他所在的位?由导入新课

推新新探提问①数能进行运算向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法应怎样定义向量的加法？②猜想向量加法的法则是什?与的运算法则有什么不?图活:向量是既有大小有向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概,位移可以合成如图某象从A点点点两位移

AB

、

BC

的结果与A直接到的位移

AC结果相力也可以合成,师引导让生共同探究如下的问题图表示橡皮条在两个力的作用下沿着的向伸长了EO；图2(2)表示撤去F

1和用一个力F作在橡皮条上,使皮条沿着相同的方向伸长相同长.2图改变力与F的大小和方重复以上的实验,你能发现F与F、之间的关系?1212力对皮条产生的效果与力与F共同作用产生的效果相物学中把力F叫与11F的合力2合力F力F、有样的关呢图2(3)发现,力F在F、F为邻边的平行四边112形的对角线并且大小等于平行四边形角线的数的加法启发我从运算的角度看F可认是F与F的和即移、力的合成看作向量1的加法讨论结:①向量加法的义如图3,已知非零量、b,在面任取一点A,作,则向量叫a与的记作a,即+=AB+=

图求两个向量和的运算,叫做向量的加法.②向量加法的法:向量加法的角形法则在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则运这一法则时要特别注意“首尾相接”即二个向量要以第一个向量的终点为起则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向0位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模向量加法的行四边形法则图如图4,以同一点O为点的两个已知向量、b为边作平行四边,则以O为起点的对角线OC就a与b和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法的物理模.提问①对于零向量与任一向量的加结果又是怎样的呢？②两共线向量求和时,用角形法则较为合适.在数轴上表示两个向量时,它的加法与数的加法有什么关系？③思考a|,|b存着怎样的关系？④数的运算和运算律紧密联系运律可以有效地简化运算.类似地,向的加法是否也有运算律呢活观察实际例子教师启发学生思考,适时点拨诱探究向量的加法在特殊情况下的运算,共向量加法与数的加法之间的关系数加法满足交换律与结合律,即任意∈R有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).意向量a,b的法是否也满足交换律和结合导学生画图进行探索.讨结:①对于零向量与任一向我们规定+0=+a=②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点在轴上的两个向量加们的和仍是一个向对应于数轴上的一条有向③当a,b不线,+b|+|b|(三角形两边之和大于第三边);当a,b线且方向相同+ba|+|b当a,b共且方向相反时a|=||-|b|(或ba其当量的度大于向量的度时+b|=|b当向量a的度小于向量的度时,a|=|ba|.一般地我们有+ba|+|b④如图作

=a,

=b以AB、为边作

则

BC

=,

DC

.

因为

AC

=

+

AD

=+,

=

AD

+

DC

=+所abb+如图因为

=

AC

+

CD

=(

+

)+

CD

=(+b)+==+=+(BCCD)=a+(+c所(+b)+=+(+).综上所述向量的加法满足交换律和合.图5

图应示思1例1如7,知向量、b求向量+活:师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行边形法则作两个向量的和向量.向量加法的作图,学生体会作法中在平面内任取一点O依据它现了向量起点的任意性在量作图时,一都需要进行向量的平移,用行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,用三角形法则作图则要求首尾相图

图

图解:作法一:在平面内任取一点O(图作=AB,则=+b.作法二在面内任取一点O(如9),

OA

=a,

OB

=.、为边作

连接则

=+.变训化简BC+;(2)DB+CD+BCABDF+CD+BC+FA活:据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接再运用向量加法的结合律调整运算顺序然后相解(1)

+

=

+

=

DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CDDB=BD+DB0.+DF+CD+BC+FA=+BCCD+DF+=

+

CD

+

DF

+

=

AD

+

DF

+

=

+

=0.

点:要善于运用向量的加法的运算法则及运律来求和向例2长两岸之间没大桥的地常常通过轮渡进行运.图示一艘船从长江南岸A点,以的度向垂直于对岸的方向行同时江水的速度为向东km/h.试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速保留两个有效数);求船实际航行的速度的大小与方向用与江水速度间的夹角表精确到度图

图11活:例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某方向所成角的大小).引点拨学正确理解题意,实际问题反映在向量作图上,而与初中学过的解直角三角形建立联解:如图11所示

表示船速,

表示水速以AD为边作

则

AC

表示船实际航行的速.在eq\o\ac(△,Rt)中

|=2,|BC|=5,所以

AB

|

29

≈5.4.因为∠

292

由计算器得答船实际航行速度的大小约为方向与水的流速间的夹角为点用向法解决物理问题的步骤为先向量表示物理量进行向量运算,最回物理问题解决问题.变训用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边.图12活:本是一道平面几何,如果用纯几何的方法去思考题不难解决,如用向量法来解不思路清晰,而且运算简单将相平分利用向量表达,以为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问,并在解完后总结思路方法证明:如图设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点AB=+OBDCDO+OC.ACBD互平,

AO

=

OB

=

DO

=

DC

因此

∥

CD

且

DC

|,即四边形ABCD是行四边形.点:明一个四边形是平行四边形时只证明

=

DC

或

AD

=

即可而要证明一个四边形是梯需证明AB线,且

||.思2例3如正六边形中心作出下列向量:

OA

+

;(2)

+

FE

;(3)

OA

+

FE

活教师导学生由向量的平行四边形法则三角形法则)作相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指.图13解因四边形OABC是OA为边的平行四边,OB其对角故

OA

+

=

OB

因

=

FE

故BC+与BC方相同长度为BC的度的2倍,故BC+=AD因

OD

=

FE

故

OA

+

FE

=

OA

+

OD

=0.点:量的运算结合平面几何知识在度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.例2在江的某渡口江水以km/h速度向东流渡船的速度是25km/h,船要垂直地渡过长江,航向应如何确定？活如图14,渡船的实际速度、速AD与速AB应满足+=AC

图14解设AB表水流速度表示渡船速度

AC

表示渡船实际垂直过江的速度以为一边AC为角线作平行四边

就是船的速度.在eq\o\ac(△,Rt)ACD中∠ACD=90°,|

DC

∠答渡船的航向为北偏西30°.点:根据题意画出草是解决问题的关变训已知O是边ABCD内一点若

OA

+

OB

+

+

OD

=0则四边形是样四边形点是边形的么?活:要判断四边形的形状就必须找出四边形的某些关如平行等等;要判断点O是四边形的什么,必须找到该点与四边形的边或对角线的关图15解:如图15所示设点是任一四边形ABCD内一点且OA+++=0,过A作AEOD,连结则四边形AEDO为行四边,设与AD的点过B作BFOC,则四边形BOCF为行四边,设与BC的交点为于M、分是AD、BC的点∵

OA

+

OB

+

+

OD

OA

+

OD

=

OA

+

=

OE

OB

+

=

OB

+

=

∴OE+OF即

OE

与

的长度相等,向相∴、ON点共线,即点O在与的点连线上.同理点也DC的中点连线∴点O是边形ABCD对中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边知训课本本节练.解1.直接在教科书上据原图作(处从略直接在科书上据原图(处从略

3.(1)

；(2)

CB

点:在向量的加法中要注意向量箭头的方4.(1)c(2)f；f；点:通过填空使学生得出首尾相接的几个向量的求和规.课小先由学回顾本节学习的数学知识:向的加法定义向量加法的三角形法则和平行四边形法则向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用教与学生一起总结本节学习的数学方法:特与一般归与类比,形结合,分类讨论特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这迁移类比的方法将把我们引向数学的王国科学的殿堂.作如图16所示已知矩形ABCD中|

|=4设a,BC=bc试求向量abc的.图16解:过D作AC的行线,交BC的长线于∴DE∥∴四边形ADEC为平行四边形.∴

=

AC

CE

=

于是+=AB+BC+BDBEAD,∴a+|=2|

AD

|=8

3

点:求若干个向量的和的(或最值的问题通常按下列步骤进:寻找或构造平行四边找出所求向