2022-2023学年河南省郑州市郑州一中数学高二第二学期期末经典试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．把4个苹果分给两个人，每人至少一个，不同分法种数有()A．6 B．12 C．14 D．163．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4004．下列说法正确的个数有（）①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；②命题“，”的否定是“，”；③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．函数的单调递减区间为（）A．或 B． C． D．6．若,则下列结论正确的是()A． B． C． D．7．若函数在上单调递增，则的取值范围是()A． B． C． D．8．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种9．若，满足条件，则的最小值为（）A． B． C． D．10．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有()种A．60 B．90 C．120 D．15011．已知是函数的极值点，则实数a的值为（）A． B． C．1 D．e12．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正方体的边长为，P是正方体表面上任意一点，集合，满足的点P在正方体表面覆盖的面积为_________；14．由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．15．已知函数的图象在点处的切线方程是，则_________.16．如果一个凸多面体是棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线中共有对异面直线，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数在点处的切线方程.（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.19．（12分）对任意正整数n，设表示n的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，表示数列的前n项和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常数s，t，使得对一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，有两个不同的零点，求证：.21．（12分）已知，且是第三象限角，求，.22．（10分）已知函数(1)求函数的解析式;(2)解关于的不等式．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用等面积法得出、、的等式，可得出、的等量关系式，可求出椭圆的离心率.【详解】由椭圆短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为，该三角形的周长为，由题意可得，可得，得，因此，该椭圆的离心率为，故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关、、的齐次等式，通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题.2、C【解析】

给两个人命名为甲、乙，根据甲分的苹果数进行分类即可求出．【详解】按照分给甲的苹果数，有种分法，故选C．【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用．3、C【解析】

求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选C．【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．4、C【解析】分析：结合相关系数的性质，命题的否定的定义，回归方程的性质，推理证明即可分析结论.详解：①为相关系数，相关系数的结论是：越大表明模拟效果越好，反之越差，故①错误；②命题“，”的否定是“，”；正确；③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；根据回归方程必过样本中心点的结论可得③正确；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。根据综合法和分析法定义可得④的描述正确；故正确的为：②③④故选C.点睛：考查命题真假的判断，对命题的逐一分析和对应的定义，性质的理解是解题关键，属于基础题.5、C【解析】

先求出函数的导函数，令导函数小于零，解不等式即可得出单调递减区间。【详解】由题可得，令，即，解得或，又因为，故，故选C【点睛】本题考查利用导函数求函数的单调区间，解题的关键是注意定义域，属于简单题。6、C【解析】

先用作为分段点，找到小于和大于的数.然后利用次方的方法比较大小.【详解】易得，而，故，所以本小题选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.7、C【解析】试题分析：对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.8、B【解析】

由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【点睛】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.9、A【解析】作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．由解得A（0，2）．此时z的最大值为z=2×0﹣2=﹣2，故选A．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．10、D【解析】分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，5人的安排方案为或，结合平均分组计算公式可知，方案为时的方法有种，方案为时的方法有种，结合加法公式可知安排方法共有种.本题选择D选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．11、B【解析】

根据函数取极值点时导函数为0可求得a的值．【详解】函数的极值点，所以；因为是函数的极值点，则；所以；解得；则实数a的值为；故选：B．【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题.12、A【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

分别在六个侧面上找到满足到点的距离小于等于的点的集合，可大致分为两类；从而确定满足集合的点构成的图形，通过计算图形面积加和得到结果.【详解】在正方形、、上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面、、覆盖的面积：在正方形、、上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面、、覆盖的面积：满足的点在正方体表面覆盖的面积为：本题正确结果：【点睛】本题考查立体几何中的距离类问题的应用，关键是能够通过给定集合的含义，确定在正方体侧面上满足题意的点所构成的图形，对于学生的空间想象能力有一定要求.14、【解析】

转化为定积分求解.【详解】如图：,曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形,因为,曲线与直线及的交点分别为，且，，所以，.由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为.【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15、4【解析】∵函数的图象在点处的切线方程是∴，∴故答案为416、360【解析】

先根据异面直线的概念，求得的表达式，由此求得的值.【详解】棱锥共有个顶点，从这些点中任取两个都可以确定一条直线．这些直线分成两类：侧棱所在直线与底面内直线.显然所有的侧棱所在直线中，任意两条都不可能成为异面直线，底面内的所有直线中的任意两条也不可能成为异面直线，而任意一条侧棱所在直线，在底面的个顶点中，除去侧棱所在直线用的那个点，还有）个点，那么由这个点构成的直线与该侧棱所在直线都是异面直线，这个点构成的直线有条，故共有对异面直线，则．故答案为：【点睛】本小题主要考查异面直线的概念，考查组合数的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出，然后算出和即可（2）由题意得，然后利用导数求出右边的最大值即可【详解】（1）切线方程为即（2）由题意令则只需，从而在上为增函数，在上为减函数.，实数的取值范围为【点睛】恒成立问题或存在性问题，通常是通过分离变量，转化为最值问题.18、（1）；（2）2【解析】

（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．【详解】（1）圆C的普通方程为，又，所以圆C的极坐标方程为.（2）设，则由解得，，得；设，则由解得，，得；所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.19、（1），，，，；（2），见解析.【解析】

（1）根据定义计算即可；（2）先由，，确定出s，t的值，再利用数学归纳法证明.【详解】（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以，4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用数学归纳法证明：①当时，，成立；②假设当（，）时，结论成立，即，那么当时，易知当n为奇数时，；当n为偶数时，.所以.所以当时，结论成立.综合①②可知，对一切且恒成立.【点睛】本题考查数列中的新定义问题，利用数学归纳法证明等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.20、（1）1；（2）证明见解析【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，根据函数单调性得到，解得答案.（2）要证明，只需要证明，设，求导得到单调性，得到，得到证明.【详解】（1）由已知得函数的定义域为，且，当时，，在上单调递增，且当时，，不合题意；当时，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，也是最小值，由题意，恒成立，令，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.（2），且在处取到极小值1，又时，，时，，故且，要证明：，只需证明，又，故只需证明：，即证：，即证：，即证：，设，则，因为，所以，由（1）知恒成立，所以，即，所以在上为增函数，所以，即命题成立.【点睛】本题考查了不等式恒成立，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.21、【解析】

由，结合是第三象限角，解方程组即可得结果.【详解】由可得由且是第三象限角，【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与