(完整版)(823)二次函数与图像解答题专项练习

第页二次函数与图像解答题专项练习30题（有答案）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是_________（把正确的序号都填上）．2．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为_________．3．二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是_________．已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x﹣3的图象的有_________（填写所有正确选项的序号）．5．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．6．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．7．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣．8．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．9．（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x﹣10123y03430②有序数对（﹣1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．10．已知A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上；（2）点A在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上吗？为什么？（3）求a和k的值．11．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象． 12．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．13．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式及点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，请直接写出点P的坐标．14．已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？15．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是B（﹣2，0）．（1）求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；（2）将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．16．已知二次函数y=ax2+bx+c中的x，y满足下表：x…﹣2﹣1012…y…40﹣2﹣20…求这个二次函数关系式．17．如图，曲线C是函数y=在第一象限内的图象，抛物线是函数y=﹣x2﹣2x+4的图象．点Pn（x，y）（n=1，2，…）在曲线C上，且x，y都是整数．（1）求出所有的点Pn（x，y）；（2）在Pn中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．18．如图，直线y=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点C（m，）在抛物线上，求m的值．19．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．20．已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，求这条抛物线的顶点坐标．22．在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．（1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．（2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．23．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）（1）求二次函数的解析式；（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y＞0时，x的取值范围．24．已知开口向上的抛物线y=ax2﹣2x+|a|﹣4经过点（0，﹣3）．（1）确定此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．25．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．26．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．27．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．28．已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．29．已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标．30．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．

二次函数与图像选择题30题参考答案：1．解：根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴：x=﹣=1，=﹣1，b=﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得：y=a﹣b+c，由图象可以看出当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；∵b=﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即：3a+c＜0，故③正确；由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③．2.解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，a=﹣1，函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，展开得y=﹣x2+4x﹣3．故答案为y=﹣x2+4x﹣3．3．解：原式=x2﹣2x+1+5=（x﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．故答案为5．4．解：原式可化为：y=（x+1）2﹣4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2﹣4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2﹣4的图象开口向上，函数y=﹣x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x﹣1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2﹣4的图象，故③正确．故答案为：①③．5．解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），∴，解得；（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）列表如下：x…01234…y…30﹣103…6．解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得，解得，…（1分）∴解析式为y=x2﹣2x…（1分）（2）∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴顶点为（1，﹣1）对称轴为：直线x=1（3）设点B的坐标为（a，b），则×2|b|=3，解得b=3或b=﹣3，∵顶点纵坐标为﹣1，﹣3＜﹣1（或x2﹣2x=﹣3中，x无解）∴b=3∴x2﹣2x=3解得x1=3，x2=﹣1∴点B的坐标为（3，3）或（﹣1，3）7．解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（﹣2，0），C（0，3），∴c=3，将A（﹣2，0）代入y=﹣x2+bx+3得，﹣×（﹣2）2﹣2b+3=0，解得b=，可得函数解析式为y=﹣x2+x+3；如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．设AD的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），D（2，2）分别代入解析式得，，解得，，故直线解析式为y=x+1，（﹣2＜x＜2），由于二次函数的对称轴为x=﹣=，则当x=时，y=×+1=，故P（，）．8．解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得b=2，c=0，所以解析式为y=﹣x2+2x；（2）∵a=﹣1，b=2，c=0，∴﹣=﹣=1，==1，∴顶点为（1，1），对称轴为直线x=1；（3）设点B的坐标为（a，b），则×2|b|=8，∴b=8或b=﹣8，∵顶点纵坐标为1，8＞1（或﹣x2+2x=8中，x无解），∴b=﹣8，∴﹣x2+2x=﹣8，解得x1=4，x2=﹣2，所以点B的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，﹣8）．9．解：（1）若选择①：根据表格可知，抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，将点（0，3）代入，得a（0﹣1）2+4=3，解得a=﹣1，所以，抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；若选择②，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣1，0）、（1，4）、（3，0）代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；若选择③，由图象得到抛物线顶点坐标为（1，4），且过（0，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，将（0，3）代入得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）抛物线y=﹣x2+2x+3的性质：①对称轴为直线x=1，②当x=1时，函数有最大值为4，③当x＜1时，y随x的增大而增大．10．解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+k的对称轴为x=1，而C（﹣1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称，又∵C（﹣1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3，∴C、E两点不可能同时在抛物线上；（2）假设点A（1，0）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，则a（1﹣1）2+k=0，解得k=0，因为抛物线经过5个点中的三个点，将B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）代入，得出a的值分别为a=﹣1，a=，a=﹣1，a=，所以抛物线经过的点是B，D，又因为a＞0，与a=﹣1矛盾，所以假设不成立．所以A不在抛物线上；而k为任意数，这与抛物线是确定的矛盾，故点A不在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上．∴A点不在抛物线上；（3）将D（2，﹣1）、C（﹣1，2）两点坐标代入y=a（x﹣1）2+k中，得，解得，或将E、D两点坐标代入y=a（x﹣1）2+k中，得，解得，综上所述，或．11．解：（1）根据题意，得，解得，，∴所求的解析式是y=﹣x2+2x+2；（2）二次函数的图象如图所示：12．解：（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：，解得；∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．13．解：（1）将A、O两点坐标代入解析式y=﹣x2+bx+c，有：，解得：，∴此二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x，变化形式得：y=﹣（x+1）2+1，顶点坐标B（﹣1，1）．（2）P1（﹣3，﹣3），P2（1，﹣3）．14．解：（1）因为二次函数y=ax2+x﹣1与反比例函数y=交于点（2，2）所以2=4a+2﹣1，解之得a=2=，所以k=4；（2）反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点；由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=x2+x﹣1和y=；因为y=x2+x﹣1=y=（x2+4x﹣4）=（x2+4x+4﹣8）=y=[（x+2）2﹣8]=（x+2）2﹣2，所以二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣2）；因为x=﹣2时，y==﹣2，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．15．解：（1）依题意，有：，解得；∴y=x2﹣x﹣6=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣；∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．（2）由（1）知：抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣；将其沿x轴向左平移个单位长度，得：y=（x﹣+）2﹣=（x+2）2﹣．16．解：把点（0，﹣2）代入y=ax2+bx+c，得c=﹣2．再把点（﹣1，0），（2，0）分别代入y=ax2+bx﹣2中，得，解得，∴这个二次函数的关系式为：y=x2﹣x﹣2．17．解：（1）∵x，y都是正整数，且y=，∴x=1，2，3，6．∴P1（1，6），P2（2，3），P3（3，2），P4（6，1）；（2）从P1，P2，P3，P4中任取两点作直线为：P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，∴不同的直线共有6条；（3）∵只有直线P2P4，P3P4与抛物线有公共点，而（2）中共有6条直线，∴从（2）的所有直线中任取一条直线与抛物线有公共点的概率是．18．解：（1）由直线y=﹣x﹣2，令x=0，则y=﹣2，∴点B坐标为（0，﹣2），令y=0，则x=﹣2，∴点A坐标为（﹣2，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵抛物线顶点为A，且经过点B，∴y=a（x+2）2，∴﹣2=4a，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）2，即y=﹣x2﹣2x﹣2；（2）方法1：∵点C（m，）在抛物线y=﹣（x+2）2上，∴﹣（m+2）2=，（m+2）2=9，解得m1=1，m2=﹣5；方法2：∵点C（m，）在抛物线y=﹣x2﹣2x﹣2上，∴﹣m2﹣2m﹣2=，∴m2+4m﹣5=0，解得m1=1，m2=﹣5．19.解：（1）设y=ax2+bx﹣3，（1分）把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，（2分）解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；（3分）（也可设y=a（x﹣1）2+k）（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，（4分）∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．20．解：（1）∵点A在函数y=的图象上，∴m==﹣5，∴点A坐标为（﹣1，﹣5），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c=﹣5，c=﹣2．（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2，∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣1）．解：由抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的纵坐标为﹣6，得c=﹣6．∴A（﹣2，6），点A向右平移8个单位得到点A′（6，6）．∵A与A′两点均在抛物线上，∴，解这个方程组，得，故抛物线的解析式是y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣10）．22．解：（1）不妨令C（0，3），设该二次函数的解析式是y=ax2+bx+3，则有，解得，即该二次函数的解析式是y=﹣x2﹣x+3．观察A、B两个点的坐标，发现：两个点的坐标乘积相等，即在双曲线y=上，所以只需从该双曲线外任意取一点C即可．23．解：（1）∵y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）；∴，解得；∴二次函数的解析式为y=2x2﹣4x．（2）如图；由图可知：当y＞0时，x＞2或x＜0．24.（1）由抛物线过（0，﹣3），得：﹣3=|a|﹣4，|a|=1，即a=±1．∵抛物线开口向上，∴a=1，故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴当x=1时，y有最小值﹣4．25．解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+）2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．26．解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO=1，OB=4，AB=AO+OB=1+4=5，∴OC=5，即点C的坐标为（0，5