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第五章根轨迹法

概述:闭环系统的动态性能与闭环极点在s平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根.当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s平面上运动的轨迹称为根轨迹.根轨迹法:直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法.

§5-1根轨迹的基本概念讨论：

图5-2.分析:1.k1变化时,根轨迹均位于左半s平面,系统恒稳定.2.根轨迹有两条,两个起点s1=0,s2=－23.0<k1<1时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态.4.K1=1时,闭环特征根为一对重根,响应为等幅振荡.5.1<k1<∞时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡.6.开环增益K可有根轨迹上对应的k1值求得.k1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.§5-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则

一、

绘制根轨迹的基本条件系统特征方程1+G(s)H(s)=0根轨迹方程

G(s)H(s)=－1幅值条件:|G(s)H(s)|=1相角条件:∠G(s)H(s)=±(2q+1)π,q=0,1,2,…开环传递函数(1)幅值条件(必要条件)(2)相角条件(充要条件)绘制根轨迹只要依据相角条件就可以,而幅值条件用来确定根轨迹上各点对应的k1值。例5-1单位反馈系统的开环传递函数为

在s平面上取一试验点s1=-1.5+j2.5,试检验它是否为根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。解：开环极点为：p1=0,p2=－2,p3=－6.6;

开环零点为：z1=-4,根据相角条件可知s1确实是根轨迹上的一点。根据幅值条件二、绘制1800根轨迹的规则规则1

根轨迹的分支数和对称性根轨迹对称于实轴,分支数=n规则2:

根轨迹的起点和终点起始于开环极点,其中m条终止于开环有限零点,n-m条终止于无穷远处的零点。规则3：实轴上的根轨迹在实轴上根轨迹区段的右侧,开环实零点和实极点数目之和为奇数。规则4：

根轨迹的渐近线

渐近线与实轴的交点为:n-m条渐近线的倾角为:规则5：

根轨迹的分离点、会合点

必须满足方程

规则6：

根轨迹的出射角和入射角出射角入射角规则7：

根轨迹与虚轴的交点两法:①用劳斯判据求解;②将s=jw带入特征方程求解。例5-2已知开环传递函数试绘制其根轨迹图。解1.起点

p1=0,p2=－1,p3=－2,n=3

终点

趋于无穷远处零点m=0

2.实轴上[-1,0],(-∞,-2]之间为根轨迹段3.渐近线

n-m=3条

倾角

交点

解得s1=-0.423(分离点)

s2=-1.58(略去)4.分离点5.与虚轴交点

D(s)=s(s+1)(s+2)+K1=0或s3+3s2+2s+K1=0(1)用劳斯判据求解

s312

s23k1

s1

s0k1

D(s)=s3+3s2+2s+k1=0(2)令特征方程中的s=jw,然后令其实部、虚部分别等于零。D(s)=s3+3s2+2s+k1=0(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K1=0化为(K1－3w2)+jw(2－w2)=0根轨迹与虚轴交点-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20图5-6例5－2的根轨迹xxxK1=6•jws根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏吧？根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj08.闭环极点的和与积

系统特征方程(n>m时)为例5-5已知与开环传递函数相对应的根轨迹与虚轴的交点，求交点处的临界K1值及第三个特征根。解系统特征方程为s3+3s2+2s+K1=0得s3=－3-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20例5－5的根轨迹xxx•jws•K1=6K1=6K1=6•s3=－3【例5-6】

已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解（1）

p1=0，p2=-3,p3,4=-1±j，无开环零点。（2）

根轨迹分支数n=4条。（3）

在实轴上[-3,0]之间为根轨迹段。（4）

渐近线n－m=4条。(5)由特征方程求分离点。解得根为s1=-2.3(分离点),s2,3=-0.73±j0.37(略)分离角为±90°,对应于分离点处的K1值(6)求出射角由对称性知qp4=71.60(7)求根轨迹与虚轴的交点。特征方程s4+5s3+8s2+6s+K1=0s418K1s356s234/5K1s1

s0K1

辅助方程(34/5)s2+K1=0,令s=j，K1=8.16代入上式，求得=±1.1处,对应的K1=8.16，根轨迹如图5-9所示。

-8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345ζ=0.5

p3

p2

p4

p1

j0.7

-0.4j1.1k1=8.16

图5-9三、闭环极点的确定:求具有=0.5的复数极点对应的K1值及另外两个闭环极点。解(1)求复数极点对应的K1值根据=0.5线与根轨迹的交点，可以确定一对共轭复数极点为-0.4±j0.7。对应的根轨迹增益K1值(2)求K1=2.91时的闭环极点用试探法可以找到另外两个闭环极点。它们位于负实轴的s=-1.4和s=-2.85处。因此,系统的闭环传递函数为【例5-7】已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解（1）

p1=0，p2=-4,p3,4=-2±j4，无开环零点。（2）

根轨迹分支数n=4条。（3）

在实轴上[-3,0]之间为根轨迹段。（4）

渐近线n－m=4条。(5)求出射角由对称性知qp4=900(6)求分离点。(7)求根轨迹与虚轴的交点。-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468σ

p3p4p2

p1

图5-10jω

【例5-8】已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解绘制非最小相位系统的根轨迹与最小相位系统一样，前述规则完全适用。(1)起点

p1=0.5，p2=-2；终点z1,2=1±j2。(2)

在实轴上[-2,0.5]之间为根轨迹段。(3)分离点(4)与虚轴交点K1=0.75

w=±1.25(5)入射角-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-3-2-10123RootLocusRealAxisImaginaryAxis76°

33°p2

p1

z1

z2

s1=-0.41k1=0.242

199°ω=1.25k1=0.75

k1=0.2

图5-11

－20.51jw系统稳定的范围0.2<K1<0.75§5-3参量根轨迹和多回路系统根轨迹一.参量根轨迹(广义根轨迹)1.定义负反馈系统,以非K1为参变量的根轨迹。2.绘制方法:引入等效单位反馈系统和等效传递函数的概念,则前述规则均适用。K1为参变量a为参变量例5-9试绘制系统以a为参变量的根轨迹。解给定系统的特征方程为或s(s+a)+4=0(5-20)将式(5-20)化为如下形式该式的特点是：左边写成两部分之和,参变量a只包含在第二部分中,而且是这一部分的一个单独因子。现用第一部分除全式，得等效开环传函绘制a从零变化到无穷大时的根轨迹(1)起点p1,2=j5.7；终点z1=0(2)

在实轴上(-∞,0]之间为根轨迹段(3)会合点(4)出射角

有时在同一问题中，黄金法则不只应用一次。对于具有两个可变参数的情况,此法则同样适用，此时所得到的是根轨迹族。例5-10已知系统的开环传递函数

要求以开环极点a为连续可变参数，以K1为参变量绘制该系统的根轨迹族。解特征方程应用黄金法则等效开环传函为了绘出a=0~

∞的根轨迹，必须确定G*(s)H*(s)的极点,即方程式s2(s+1)+K1=0的根（确切地说是根轨迹,因为K1为变量）。再一次应用黄金法则得另一等效开环传函根据G1*(s)H1*(s),绘出K1=0~

∞的根轨迹。如图5-13所示,-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus图5-13s2(s+1)+K1=0的根轨迹x-1K1=0xxK1=0xK1=K11xK1=K12在图5-14中用虚线表示这个根轨迹图。图5-14中虚线上的点就是G*(s)H*(s)对应于不同K1值的极点,也就是按G*(s)H*(s)做出的根轨迹(当a=0~∞)的起点。这样,给定一个K1值，即可按G*(s)H*(s)描绘出a=0~∞时的一组根轨迹；给定另一个K1值，就得到另一组这样的根轨迹……，这就是要求绘制的根轨迹族。-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus由图可见,a=0时系统不稳定。当a增大至一定数值时，系统变为稳定。a的临界值可用劳斯判据确定。系统稳定的临界条件为K1=a(a+1)-3-2.5-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52RootLocus二、多回路系统的根轨迹R(s)R1(s)C(s)kas例5-11试绘制多回路系统的根轨迹。解首先确定内回路的根轨迹。内回路特征方程新系统绘制a变化时系统特征方程的根轨迹内回路有三个开环极点：p1=0、p2=-1、p3=-2,一个零点:z1=0,其中一开环零点与一开环极点完全相等，是否能相消？在绘制根轨迹时，开环传函的分子分母中若有相同因子时，不能相消，相消后将会丢掉闭环极点。内回路当a变化时的根轨迹如图5-16所示。

jwsxxxp1z1p2p3-1-2当a1=2.5、a=1.25时，对应的内回路极点分别为

p’1=0、p’2,3=-1.5±j1.5jwsxxxp1z1p2p3-1-2p’2p’3内回路闭环零、极点确定后，再绘制K变化时的多回路系统根轨迹。多回路系统的开环传递函数为p’1绘制K1变化时的多回路系统根轨迹jwsxxxp’3p’2p’1-1j2.1•K1=13.5(1)出射角qp2=p-1350-900=-450(2)与虚轴交点w2,3=±2.12K1=13.5K=6.75绘制多回路系统根轨迹的方法是：从内环开始,分层绘制,,逐步扩展到整个系统。第四节正反馈系统和零度根轨迹正反馈情况下:

系统特征方程1－G(s)H(s)=0根轨迹方程

G(s)H(s)=1幅值条件:|G(s)H(s)|=1相角条件:∠G(s)H(s)=±2qπ,q=0,1,2,…规则作相应修改:规则3：实轴上的根轨迹

在实轴上根轨迹区段的右侧,开环实零点和实极点数目之和为偶数。规则4：

根轨迹的渐近线n-m条渐近线的倾角为:规则6：

根轨迹的出射角和入射角出射角入射角例5-12图5-19所示正反馈系统的开环传递函数为

试绘制其零度根轨迹。解（1）开环极点p1=0、p2=-1、p3=-2，有三条根轨迹起于开环极点，终点均在无穷远处。（2）实轴上区间[-2,-1]和[0,]为根轨迹段。（3）渐近线与实轴相交于-1点（见例5-2）倾斜角由式（5-29）计算，取q=0、1、2，得（4）分离点的求法与负反馈情况完全一样。在例5-3中已解出两个分离点：s1=-0.423、s2=-1.577,并且已确定-0.423是负反馈情况下的分离点，这里可以确定-1.577是正反馈情况下的分离点。完整的根轨迹如图5-20所示。由图5-20可以看出，该系统在正反馈情况下总存在一个正实根，因而该系统在正反馈情况下是不可能稳定的。第五节系统的暂态响应性能指标

闭环系统的极、零点可由根轨迹法确定。一般情况下，高阶系统有振荡性，找到一对共轭复数主导极点，高阶系统可近似当作二阶系统来分析，相应的性能指标可按二阶系统来分析计算。利用主导极点估算性能指标二.增加开环零、极点对根轨迹的影响结论三.附加闭环零点对根轨迹的影响【例5－16】绘制两系统根轨迹图,分析闭环零点对暂态响应的影响。R(s)C(s)0.8s+1(b)速度反馈控制GCR(s)C(s)(0.8s+1)(a)比例微分控制GCs1xxp1p2-1.25zjwK=28.7s2xxp1p2-1.25zjwK=28.7s1s2第六节延迟系统的根轨迹

一、绘制延迟系统根轨迹的条件延迟系统：或Loci方程：

幅值条件：相角条件：由相角条件知，当变化时，有无