2022-2023学年九年级数学专家点拨-一元二次方程综合提高

一、考点突破1.熟练掌握一元二次方程的解法、根的判别式及根与系数的关系（韦达定理）。2.熟练运用根的判别式和根与系数的关系（韦达定理）解决综合性的相关问题。二、重难点提示熟练运用根的判别式和韦达定理解决综合性的相关问题。一、知识结构二、解题策略与方法1.根的判别式和韦达定理根的判别式：一元二次方程（是常数，且）的根的判别式是;（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根；反之，也成立。韦达定理：如果一元二次方程有两个不相等的实数根，设为，，则两根的和与两根的积满足，，一元二次方程根与系数的关系常被称为韦达定理，这是因为该定理是16世纪最杰出的数学家韦达发现的。2.根的判别式和韦达定理的应用根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实根的个数；（2）利用判别式，建立等式、不等式，求方程中字母系数的值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）运用一元二次方程必定有解的代数模型，解决几何存在性问题。韦达定理在以下方面有着广泛的应用：（1）求代数式的值；（2）求方程中字母系数的值或取值范围；（3）结合根的判别式，讨论根的符号特征；（4）逆用构造一元二次方程辅助解题等。能力提升类例1若为正整数，且关于的方程有两个不相等的正整数根，求的值．一点通：由根的判别式列出关于的不等式或者求出方程的解来讨论。解：原方程变形、因式分解为，，即，。由为正整数得：；由为正整数得：。所以时使得，同时为正整数，但当时，，与题目不符，所以，只有为所求．评析：本题主要考查一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，增加了正整数解的理解与考查。例2求的值，使得两个一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根．一点通：不妨设出相同的根，代入求解。解：不妨设是这两个方程相同的根，由方程根的定义有，①．②①－②有，即，所以，或。（1）当时，两个方程都变为，所以两个方程有两个相同的根；（2）当时，代入①或②都有，此时两个方程变为，．解这两个方程，的根为，；的根为，．为两个方程的相同的根．综合运用类例3设一元二次方程的根分别满足下列条件，⑴两根均大于；⑵一根大于，另一根小于。试求实数的范围。一点通：设方程的两根分别为，，则两根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于1等价于和异号。解：设此方程的两根为，，则，。⑴方程两根均大于1的条件为解之得⑵方程两根中一个大于1，另一个小于1的条件为解之得评析：此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。例4求正整数，使为完全平方数。一点通：根据为正整数，为二次式这一特点，构造关于的一元二次方程，利用根的判别式的相关知识求解。解：设（，且为整数）∵方程的解为正整数（为正整数），∴方程的根的判别式应为完全平方数。又设（m为非负整数）∴∵，均为非负整数，∴或或解得；解得（舍去）；解得（舍去）∴思维拓展类例5已知实数、、满足，，求证：．一点通：观察到题给条件经过变形可出现两数和与两数积，，联想一元二次方程根与系数的关系，构造方程，借助一元二次方程的有关知识求解。证明：因为，，所以、是二次方程的两个实根，于是这方程的判别式，即．因为实数，显然应有．要此两式同时成立，只有，从而，故上述关于的二次方程有等根，即．例6设，，为的三边，且二次三项式与有一次公因式，证明：一定是直角三角形．一点通：注意到二次三项式与都是关于的二次三项式，且系数的结构形式形同，可联想到一元二次方程，借助一元二次方程的相关知识解决问题。证明：因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程与必有公共根，设公共根为，则，①。②两式相加得，若，代入①式得，这与为的边不符，所以公共根。把代入①式得，整理得所以一定是直角三角形．1.整系数一元二次方程有整数解的前提是是一个完全平方数，①根据判别式，设（为整数），结合整数性质，分类讨论求解；②根据韦达定理消去字母系数，由，的关系式讨论求解。2.不解方程，求出含，的代数式的值，其中最常见的变形有：3.一元二次方程的特殊根：设一元二次方程有两个实数根，，则有如下结论成立：①如果，则，；反之，如果，，则必有。②如果，则，；反之，如果，，则必有。4.关于一元二次方程两个实数根的符号的讨论：①有两个正数根，必须；②有两个负数根，必须；③有两个异号根，必须；④有两个异号根，且正数根绝对值大，必须；⑤有两个异号根，且负数根绝对值大，必须；⑥有一根为零，必有，即，如果另一根为正，则，如果另一根为负，则。问题：方程的两个根都大于某个数，这类问题该如何解决？解答：可以把，中的当作一个整体，则有，，联立方程来解决；也可以利用换元的方法，把方程转化成，来解决。（答题时间：45分钟）1.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.2.关于x的一元二次方程的两个根相等，那么a等于（）A.1或5 B.－1或5 C.1或－5 D.－1或－53.若关于x的方程有实数根，则（）A.k<1 B. C. D.4.设是关于x的方程的两个根，且满足＋＋，求m的值。5.已知首项系数不相等的两个方程：①和②（其中、为正整数）有一个公共根.求、的值.6.已知方程2x2－9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．7.已知关于的方程的两个实数根一个大于，另一个小于。试求实数的取值范围。8.如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，求实数的值。

1.C解：∴故选C2.A解：∴故选A3.B解：故选B4.解：∴∴m＝35.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是和；方程②的两个根是和.由已知、且.∴公共根是或.两个等式去分母后的结果是一样的.即,,.∵、都是正整数，∴或.解得或.又解：设公共根为，那么先消去二次项：①×－②×得整理得∵∴或当时，由方程①得，∴，∴方程①不是二次方程.∴不是公共根.当时，得……6.解：设x1，x2为方程2x2－9x＋8=0的两根，则解法同上.设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x'1，x'2，据题意有所以，求作的方程是36x2－161x＋34=0．7.解：设此方程的两根为，，则，。方程的两根中一个大于1，另一个小于