探索课和教师的主导作用

探索课和教师的主导作用

第五届东亚数学教育会议(EARCOME5)于2010年8月18至22日在日本东京召开，会议内容之一“LessonStudy”，东道主为与会代表展示了几节课，其中一节是初三的探索课——用纸片折成四面体。教师首先出示了一张A4纸，指出这张纸的宽AD如果是1，那么长AB就是。验证的方法很简单：先将纸片按图1中的虚线AE折起，使点D落在AB上的点F处，显然AE=；然后用另一张同样的A4纸的长和AE对照，结果相等，所以A4纸的宽和长的比是1∶。图1评：这个说明简洁明了。这里还可以进一步说明，纸片的宽长之比为1∶的优越之处在于将纸片对折，再对折，……每次对折时，都可以保证得到的新长方形与原长方形相似（日本初三教材约有7至8章，相似形被安排在后面几章，从时间上推算估计学生还未学过相似形）。老师接着指出，此长方形纸片的面积是。现在要求将这张纸片折成一个空心的四面体，即这个四面体的表面积是。然后老师在黑板上书写课题“作一个表面积为的四面体”，没有任何解释，就让学生去做。大约过了一刻钟，没有学生发言，老师也一言不发，有的学生似乎还是一头雾水。之后第一排的一位男生A说有结果了。做法（方法一）是：(1)先对折，折痕为EF；(2)斜折，折痕为FG；并且使点D落在EF上（得DG=DF）；(3)沿EG折起；(4)在右面半张纸上折出类似的折线。这样得到的△EFG、△EFH，分别构成四面体的两个面；△AGE、△BHE拼合起来构成四面体的一个面，△FHC、△FGD拼合起来也构成一个面。这四个面围成的四面体即为所求（图2）。图2在该生展示折法后，教师还问：线段GF和EH是什么关系？学生回答说，应该是平行的。注：其实这里还可以进一步探究，譬如为什么平行？△GEF、△HEF的面积都是，可以知道△AGE与△DGF面积和也应该是。但最终是由△AGE和△EBH拼成四面体的一个面，因此应该说明△AGE和△EBH的面积和也是，进一步推理可得出GF∥EH。该教师又进一步：这样构成的四面体的某两个面是不是互相垂直？评：笔者觉得没有必要提问这个问题，原因一是该问题涉及立体几何里的面面垂直，一般这个概念到高中才出现，对初三的学生来说太难了；第二是因为这个问题和本课的主题联系不紧密。不一会儿又有学生B想出了方法二（如下页图3）。老师要求学生在笔记本上写下方法一与方法二的异同点。后来，学生A（这个学生看来是很优秀的）进一步提出，方法一里的G点不一定要通过第2步斜折得到，G点可以是AD上的任意一点（方法三，见图4）。折一下，果然是对的。学生A用算式简单地进行了证明。图3图4该教师选择这个课题是很恰当的，难度适中，学生比较容易上手，但又有探索、思考的空间。这节课的效果是比较好的，从课堂上的情况看，人人都在折，人人都在动脑筋，虽然有些学生直到课结束都没有独立折出一个四面体，但这并不妨碍学生对此课题的兴趣。课后我们询问学生对这堂课的感受，学生说很有劲，回家后会对方法一、二和三作仔细的研究，继续折，看看是否还有其他方法……据这位老师说，这种探索性的课，他一两个星期就会上一次。但这样的做法，是这位教师的独特做法，还是日本教师的普遍做法？我们不清楚。至于这样做对基础知识和基本技能的落实有没有影响，由于我们只听了一节课，对这样比较宏观的问题，不敢妄加评论。但这样做肯定有它的好处，同时也给我们有很大的启示。应该承认，创造性是我国学生的弱项，我们的基础教育，如何在加强双基的同时，开展好探索活动，是我们面临的重大课题。我们国家近年来也上探索课，但通常和这节课的教法不一样。这位老师基本上不启发学生，以致课开始后，大概有15分钟学生没有反应，老师似乎也不着急，这让我们感到很诧异。到后来，学生A找到了一种方法，对其他学生有所启发，课堂才活跃起来。这位老师这么沉得住气，对学生这么有信心实在是难得，这份自信也许就像他说的来源于自己经常开展这样形式的课所积累的经验。如果换作我国的教师，一般会让学生先思考，在学生思维受阻的情况下，肯定就会引导、启发了，不会让“僵局”长时间的延续。譬如，这节课在僵局状态时，可以让学生想一想：先假定这个四面体的四个面面积都相等，那么每个面的面积是多少呢？（纸张的面积是，那么每个面的面积是）然后可以再问：怎么折出面积为的三角形呢？（首先可以对折，得到面积是的长方形，再设法把小长方形分割）……另外，这位老师的提问是完全“原生态”的。在课后的讨论中这位教师说，他事先估计方法二比较简单，学生应该会先想出来，但是第一个学生回答的却是较难的方法一，出乎他的意料。换了我国的老师，通常在巡视中发现简单的解法（方法二），然后循序渐进地引出方法一，再对方法一进行推广（方法三），这样思路显得很顺畅。这位老师的教法有它的好处。遇到困难，让学生自己突破，尽管迂回曲折，但经过互相启发，学生自己教育自己。这样教，因为还原了“原生态”的思考过程，学生如果真弄懂的话，将来的能力肯定比较强。但问题是，基础教育毕竟不同于研究生培养，它必须要在短时间里将大量的知识、技能教给学生，而且既要让优秀学生的才能得到展示，又要让中等学生，甚至是学困生都得到应有的发展机会。所以我们认为，必要的启发还是要的，当然，启发要适当、适度，而不应该是嚼细、嚼烂了喂给学生，这样就完全和探索的要求背道而驰了。课上虽然讨论了G点的位置，但实际上，这里面还有许多应该讨论的。（譬如，G点的位置和“等底等高的三角形等积”这个原理有关；方法一里，可不可以沿GH折，即将四边形EGFH分割成△EGH和△FGH？G点可不可以和A点重合？四个面的面积不相等行不行？……事实上这位老师在其他班上这节课的时候，有学生想出了一个方案，由于“