初中数学解题中的分类思想

初中数学解题中的分类思想一.与概念有关的分类1.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式是

。-5=-3k+b-2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b解析式为Y=x-4,或y=-x-3

2.函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（-，0）；当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1,△=a2-10a+9=0.解得a=1或a=9,交点为（-1，0）或（，0）二.图形位置的分类3.平面上，过一点P任意作一条直线m,与半径为r的圆O交于两点A、B，如果设点P与点O的距离为d，则PA·PB的值是多少？分析：在这个问题中，点P的位置不确定，可能在圆内，也可能在圆上或圆外。所以这是一个条件开放题，需要对条件进行分类讨论。解:1）如果点P在圆外（如图1）则由切割线定理可知PA·PB=PC·PD=（PO－CO）（ＰＯ＋ＯＤ）=（d－r)(d+r)=d2－r2PABCOD（2）如果点P在圆上（如图2）则PO=d=r,PA=0(A、P重合）PA·PB=0，即ＰＡ·ＰＢ＝ｄ２－ｒ２ＰＯＢ（Ａ）ｍ（３）如果点Ｐ在圆内（如图３），则由相交弦定理可知ＰＡ·ＰＢ=PCPD=（OC－OP）（OD+OP）=（ｒ－ｄ）（ｒ＋ｄ）=r2－d2PBAO结论：过任一已知点作直线与圆相交，则该点与交点的距离的乘积为定值，该定值是点到圆心的距离与半径的平方差的绝对值。DC4.如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上，且∠ACO=30，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。ABCPOQ解：∵OQ=OC，OQ=OP∴∠OQC=∠OCQ，∠QOP=∠QPO设∠OCP=x度,则有：（2）如果点P在线段OB上，显然有PQ＞OQ，所以点P不可能在线段OB上。（1）如上图，当点P在线段OA上时，∵∠OQC=∠OCP=x,∴∠QPO=（180－∠OQP）=（180－x)又∠QPO=∠OCP+∠COP，(180－x)=x+30,解得x=40,即∠OCP=40度OQCPBAQPOCBA（3）如图，当点Ｐ在的ＯＡ延长线上时，∵∠OQC=∠OCQ=180－ｘ，∴∠OPQ=（180－x)=x.又∵∠QCO=∠CPO+∠COP，∴180－x=x+30,解得x=100即∠OCP=100度（4）如图当Ｐ在ＯＢ的延长线上时，∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,∴∠QPO=∠OQC=x,又∠COA=∠OCP+∠CPO,解方程30=x+x,得到x=20即∠OCP=20度7。在Ｒｔ△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？CBA5。在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是，则∠BAC的度数是

。6。△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2cm,则角A的度数是

。CABCCBAACBBACCBA8..半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？9.两圆半径分别为2和4，它们有两条公切线互相垂直，则这两圆的圆心距为多少？三.与相似三角形有关的分类10。在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）则：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？QPADCB解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）（3）根据题意，可分为两种情况来研究在矩形ABCD中：①当=时，△QAP∽△ABC，则=，解得t==1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。②当=时，△PAQ∽△ABC，则=，解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。（2）在△QAC中，S=QA·DC=（6－t)·12=36－６ｔ在△APC中，S=AP·BC=·２ｔ·６＝６ｔQAPC的面积S=（３６－6t)+6t=36(cm2)由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变。QPADCBｙＤＯＣＢＡＸ11。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴