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文档简介
初中数学解题中的分类思想一.与概念有关的分类1.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6,,相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式是
。-5=-3k+b-2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b解析式为Y=x-4,或y=-x-3
2.函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点,求a的值与交点坐标。当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为(-,0);当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1,△=a2-10a+9=0.解得a=1或a=9,交点为(-1,0)或(,0)二.图形位置的分类3.平面上,过一点P任意作一条直线m,与半径为r的圆O交于两点A、B,如果设点P与点O的距离为d,则PA·PB的值是多少?分析:在这个问题中,点P的位置不确定,可能在圆内,也可能在圆上或圆外。所以这是一个条件开放题,需要对条件进行分类讨论。解:1)如果点P在圆外(如图1)则由切割线定理可知PA·PB=PC·PD=(PO-CO)(PO+OD)=(d-r)(d+r)=d2-r2PABCOD(2)如果点P在圆上(如图2)则PO=d=r,PA=0(A、P重合)PA·PB=0,即PA·PB=d2-r2POB(A)m(3)如果点P在圆内(如图3),则由相交弦定理可知PA·PB=PCPD=(OC-OP)(OD+OP)=(r-d)(r+d)=r2-d2PBAO结论:过任一已知点作直线与圆相交,则该点与交点的距离的乘积为定值,该定值是点到圆心的距离与半径的平方差的绝对值。DC4.如图,直线AB经过圆O的圆心,与圆O交于A、B两点,点C在O上,且∠ACO=30,点P是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线PC与O相交于点Q,问点P在直线AB的什么位置时,QP=QO?这样的点P有几个?并相应地求出∠OCP的度数。ABCPOQ解:∵OQ=OC,OQ=OP∴∠OQC=∠OCQ,∠QOP=∠QPO设∠OCP=x度,则有:(2)如果点P在线段OB上,显然有PQ>OQ,所以点P不可能在线段OB上。(1)如上图,当点P在线段OA上时,∵∠OQC=∠OCP=x,∴∠QPO=(180-∠OQP)=(180-x)又∠QPO=∠OCP+∠COP,(180-x)=x+30,解得x=40,即∠OCP=40度OQCPBAQPOCBA(3)如图,当点P在的OA延长线上时,∵∠OQC=∠OCQ=180-x,∴∠OPQ=(180-x)=x.又∵∠QCO=∠CPO+∠COP,∴180-x=x+30,解得x=100即∠OCP=100度(4)如图当P在OB的延长线上时,∵∠OQC=∠OCQ=x,∴∠OQC=∠QPO+∠QOP,∴∠QPO=∠OQC=x,又∠COA=∠OCP+∠CPO,解方程30=x+x,得到x=20即∠OCP=20度7。在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4。若以C为圆心,R为半径的圆与斜边只有一个公共点,则R的值为多少?CBA5。在半径为1的圆O中,弦AB、AC的长分别是,则∠BAC的度数是
。6。△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形,若BC=2cm,则角A的度数是
。CABCCBAACBBACCBA8..半径为R的两个等圆外切,则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个?9.两圆半径分别为2和4,它们有两条公切线互相垂直,则这两圆的圆心距为多少?三.与相似三角形有关的分类10。在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0<x<6)则:(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC的面积;提出一个与计算结果有关的结论;(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似?QPADCB解:对于任何时刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t,当QA=AP时,△QAP为等腰直角三角形,即6-t=2t,解得t=2(秒)(3)根据题意,可分为两种情况来研究在矩形ABCD中:①当=时,△QAP∽△ABC,则=,解得t==1.2秒。所以当t=1.2秒时,△QAP∽△ABC。②当=时,△PAQ∽△ABC,则=,解得t=3(秒)。所以当t=3秒时,△PAQ∽△ABC。(2)在△QAC中,S=QA·DC=(6-t)·12=36-6t在△APC中,S=AP·BC=·2t·6=6tQAPC的面积S=(36-6t)+6t=36(cm2)由计算结果发现:在P、Q两点移动的过程中,四边形QAPC的面积始终保持不变。QPADCByDOCBAX11。已知二次函数y=2x2-2的图像与x轴
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