同济大学第四版线性代数课后习题解

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201abc

(1)1-4-1(2)bca

-183cab

111Xyx+y

(3)abc；(4)X+yX

a1b2c2X+yXy

201

解⑴1-4-1=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+lxlx8

—183

-0x1x3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)

=-24+8+16-4

=-4

abc

(2)bca=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc

cab

=3abc-ai-bi-c3

111

(3)abc=be2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2

a2b2c2

=(a-b)(b-c)(c-a)

xyx+y

(4)yx+yx

x+yxy

=x(x+y)y+yx(x+j)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3

=3xy(x+y)-y3-3x2y-3y2x-xi--x3

=-2(x3+y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:

(1)1234；(2)4132；

(3)3421；(4)2413；

(5)13…(2〃—1)24…(2/1)；

(6)13…(2n-1)(2n)(2n—2)2.

解(1)逆序数为o

(2)逆序数为4：41,43,42,32

(3)逆序数为5：32,31,42,41,21

(4)逆序数为3：21,41,43

n(n-1)

(5)逆序数为二-------：

2

个

321

52,54个

72,74,76个

“

(2w-l)2,(2n-1)4,(2M-1)6,…，(2H-1)(In-2)

(〃一1)个

(6)逆序数为〃(八一1)

321个

52,542个

(2/1-1)2,(2n-l)4,(2n-l)6,…，(2//-1)(2n-2)

(八一1)个

421个

62,642个

(2/1)2,(2〃)4,(2〃)6,…，(2n)(2n-2)(〃一1)个

3.写出四阶行列式中含有因子。11。23的项.

解由定义知，四阶行列式的一般项为

(-1)'%小。2P2a3P.产4为，其中［为P1P2P3P4的逆序数・由于P1=1,P2=3

已固定，PiP2P3P4只能形如13口口，即1324或1342.对应的/分别为

0+0+1+0=1或0+0+0+2=2

32a44和"11。23。34。42为所求.

4.计算下列各行列式：

41242141

1202

(1)；

10520

01175062

a100

-abacae

(3)bd-cdde

bfcf-ef

00—1d

解

41244—12-10

12021202

⑴3

1052047c31032-14

01170010

4—1-10

12x（一1产

103-14

4—1109910

+

100-2

C

\+女3

10314171714

141240

3—113—122

⑵4

123230

5025062

2140140

3—12「4一。3—12

1230230

21400000

-abae

⑶—cdde=adfbe

bfcf~efb

—111

=adfbce1—11=4abcdef

11—1

a10001+aba0

—1b100+ar2—1b10

0—1c10—1c1

00—1d00-1d

1+aba01+abaad

c+dc

=(-l)(-l)2+1—1c132—1c1+cd

0—10—10

1+abad

=(-l)(-l)3+2=abcd+ab+cd+ad+1

-11+cd

5.证明:

a2abb2

⑴2aa+b2b=(a-b)3-,

111

ax+byay+bzaz+bxxyz

⑵ay+bzaz+bxax+by=(a3+b3)yzx

az+bxax+byay+bzzy

a2(«+1)23+2)2(a+3)2

b2(b+1)2S+2)2(b+3>

⑶=0；

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2

dz(d+1)2®+2)2(d+3>

11

abc

(4)

a21.2„22

a4b4c44

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)；

X—10…00

0X-1…00

nnx+---+a„

⑸=x+ai,x~ii-in.x+a„.

000…X-1

%an-2…«2X+4]

证明

ab-a1b2-a2

C-,-c,

⑴左边=一b-a2b-2a

300

2

“122

=(-D3ab-ab-a

b-a2b-2a

ab+a

=(a—b)3,=右边

2

xay+bzaz+bxyay+bzaz+bx

按第一列

⑵左边yaz+bxax+by+bzaz+bxax+by

分开

zax+byay+bzXax+byay+bz

Xay+bzzyzaz+bx

分别再分2

ayaz+bxX+0+0+力zax+by

zax+byyXyay+bz

X

y

z

=右边

2)2(a+3)2

C\2(b+3)2

2

2)'(c+3)2

2)2(d+3)2

2a+l4a+46a+9

2b+14b+46b+9

2

Q-q\c2c+14c+46c+9

2d+l4J+46d+9

a4a+46a+9a214a+46a+9

按第二列42

b4b+46b+9b14)+46b+9

分成二项,+

4c+46c+9214c+46c+9

\d2

4d+46d+9214J+46d+9

2

第一项Q―：Qaa49a14a6a

C-6Cb2b49b214b6b

42+=0

22

AA.qCq-4c249c14c6c

第二项32

2»2

cA-9c.4914d6d

1000

「4»4J-4»4

cib—cic—ad-a

b-ac-ad-a

=b2-a2c2-a2d2-a2

b2(b2-a2)c2(c2-a2)d\d2-a2)

111

=(万一a)(c-a)(d-a)b+ac+ad+a

b2(b+a)c2(c+a)d2(d+a)

=(b-a)(c-a)(d-«)x

100

b+ac-bd-b

b2(b+a)c2(c+a)-b2(b+a)d2(d+a)-b2(b+a)

=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)x

11

(c2+bc+b2)+a(c+b)(d2+bd+b2)+a(d+b)

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)

(5)用数学归纳法证明

x—1

当〃=2时,Z>2==/+/X+%,命题成立.

a2x+ax

假设对于(〃-1)阶行列式命题成立，即

O”T=x'l+%x”-2+•••+an_2x+a5

则，，按第1列展开：

—1000

X-1-00

+1=右边

Dn=xDn_l+an(-iy=xDn_x+Q“

11•X—1

所以，对于〃阶行列式命题成立.

6.设〃阶行列式O=det（a「），把。上下翻转、或逆时针旋转90°、或依

副对角线翻转，依次得

a

“a"I,nn

,D?=,d=

aaa

wwan\.\\

n(n-l)

证明£>]=I>2=(-1)2D,D3=D.

证明

,/D=det(az7)

()〃〃

__]l+2+…+(-2)+(-1)D=(一1)【D

"11〃1w(/i-1)/i(n—1)

22T2

同理可证。2=（一1）：:=(-1)D=(-1)D

“1〃%

n(n-l)n(n-l)

、

D3=(-1)FD2=(-l)F^(-1)D=(-1)"5。=D

7.计算下列各行列式（为左阶行歹U式）：

a1

（1）0,,=，其中对角线上元素都是“，未写出的元素都是0；

xaa

ax

(2)Dn=

3-1)B(a-n)"

(a-ly-1(a-n/-1

⑶。"+1

aa-1

11

提示：利用范德蒙德行列式的结果.

bn

0

%瓦

⑷D,00

2Ici%

0

n

⑸2=det(%)其中%=

1+a(11

11+%1

⑹D”,其中勺曲…%W0,

11…1+4"

解

a0001

0a000

0000按最后一行展开

⑴Dn=

000a0

1000

000•01

a00・00

(一1严0a0・00+(-1)2,'-«

a(n-l)(n-l)

・

000a0(/i-l)x(w-l)

(再按第一行展开)

a

^n-2n-2/2\

=(-l)w+,•(-l)w+an=an—Cl=ayd—1)

a(〃-2)(〃-2)

(2)将第一行乘(—1)分别加到其余各行，得

xaa…a

a-xx-i20・・・0

D“=a-x0x-a…0

a-x000x-a

再将各列都加到第一列上，得

x+(n-1)Qaa…a

0x-a0…0

Dn=00x-a…0

0000x-a

=[x+(n-l)«](x-“)"T

(3)从第〃+1行开始，第〃+1行经过〃次相邻对换，换到第1行，第〃

/八zn(n+1)

行经("-1)次对换换到第2行…，经〃+(71—1)+・一+1=-------次行

2

交换，得

111

"("+1)aa-1•••a-n

D”+i=(-..........

an-l(a-l)n-1…(a-n)"-1

an3—1)"…(a-n)"

此行列式为范德蒙德行列式

M(W+1)

2

Dn+l=(-1)Y[[(a-i+l)-(a-j+l)]

M(M+1)

/i+(w—l)+•••+!

=(-D2n【-"j)]=(T)2•(-1)~~2•n【(”川

=n（T）

(4)02”二°

*0

按第一行0

展开

都按最后一行展开-九

由此得递推公式：

D2n=(andn-bncn)D2n_2

即。2”=n(64一〃化)。2

i=2

axbx

而D2==aidl—blcl

ad.

得=n(a/i-〃q)

1=1

(5)ay=\i-j\

0123••n-1

1012■■n-2

2101■■n-3

D„=det(a.)=

V3210■■n-4

n-1n-2n—3n-40

-11111

—1-1111

ri-r2-1-1-111C2+

「2一，3,…—1—1—1—1…1c4+c1，…

n-1n-2n-3n-4•••0

—10000

-1-2000

—1-2-200

=(-1严(〃-1)2"-2

—1-2-2—2,•0

n-12n-32n-42n-5••n-1

1+«i11

11+«2…1q-Q

(6)Dn=

。3一。4,…

11…l+a„

G000•••001

—«2«20…001

0—a、…001

J3按最后一列

()0-a.…001

4展开（由下往上）

•

000.—an-1an-11

000••0~an1+%

ax00…000

-a2a20…000

0—4。3•••000

（1+”“）（。］。2-。,1）一00--«4…000

000…~an-2an-20

000…00_Q“

由0000

-a2a20…00

0-aa,00

+3+・・・+

・・・・・・・•・・・・・♦♦・・・

000•••-«„-l%

000•••0—a..

a2a20••00

0~a3a3••00

00~a4,,00

000_an-l

0000~an

=(1+an)(ala2••-a„_I)+«1«2-a„_3a„_2a„+…+a2a3…%

n1

=(。1。2…%)a+£—)

1=1aj

8.用克莱姆法则解下列方程组:

Xj+x2+x3+x4=5,

Xj+2X2-x3+4X4=-2,

(1)

2X|-3%2——5*4=-2,

3X]+x2+2X3+llx4=0;

5XJ+6X2=1,

XJ+5X2+6X3=0,

X

2+5X3+6X4=0,

x3+5X4+6X5=0,

x4+5X5=1.

11111111

12—1401-23

解⑴O=

2-3—1—50—5-3-7

312110-2—18

11111111

01-2301-23

=-142

00-13800-1-54

00—514000142

51115111

2_140509

=

-2-3—1-2-3—1—5

0121101211

1-5-1-91-5-1-9

050901211

0-13-3-230509

012110-13-3-23

1-5—1-91—5—1-9

012110211

=-142

00-10-4600—138

0023120000142

15111511

1-2-140-7-23

=

2-2—1—50-12-3-7

302110-158

15111511

0—1320—132

=-284

00231100—1-19

003931000-284

1151

2-24

=-426

-3-2-5

31011

1115

12-1-2

。4==142

2-3-1-2

3120

_乌_a%—-

2舁2,x七一8x4--

56000

5600

15600

按最后一行E1560

⑵D=01560■-5D—=5D'-6Dn

展开0150

00156

0016

00015

=5(50〃一6。'")-6D"=19。〃一30。"'

=65"”—114。"〃=65x19—114x5=665

⑺'为行列式O中面的余子式,0"为。'中心的余子式,类推）

1600

6000

0560

5600

0尸0156

展开1560

0015

0156

1001

=D'+64=19Dm-30〃〃+64=1507

51000

16005000

06

056()1600

02=005

,J展开01560560

0015o

00150156

01015

560

156-5X63=-65-1080=-1145

015

5610

5005600

1500;按第三列0

1601500

£>=0106J=^^=0+

30560160

0005I。

0150056

0011

160560

=056+6150=19+6x114=703

015016

56010

15605600

15600

按第四列01501560

。4=0150C———

展开00160150

00106

00050016

00015

560

156

D5=+Df=1+211=212

015

001

703-395212

；XA-；X4=

=66546654665

Axj+x2+x3=0

.问〃取何值时，齐次线性方程组«/+毋有非零解?

94,2+X3=0

产1++x

2/JX23=0

211

解。3=1〃1=〃一M,

12〃1

齐次线性方程组有非零解，则。3=0

即=o

得ju=0或4=1

不难验证，当//=0或；1=1时，该齐次线性方程组确有非零解.

(1—A)X|-2x2+4%3=0

.问N取何值时,齐次线性方程组«必

io2+(3-2)X2+X3=0

XJ+x2+(1-2)X3=0

有非零解？

解

1—A-241-2—3+A,4

D=23-21=21—A,1

111-2101—4

=(1-2)3+(2-3)-4(1-2)-2(1-2)(-3-2)

=(l-2)3+2(l-2)2+2-3

齐次线性方程组有非零解，则0=0

得A=0,2=2或4=3

不难验证，当4=0,4=2或；1=3时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章矩阵及其运算

1.已知线性变换：

=2月+2%+为，

・工2=3%+%+5%，

③=3,+2为+3%,

求从变量工1,%2，*3到变量y1，72，丁3的线性变换•

解

父'221、‘必、

由已知：—

x2315乃

323,

-1X

‘为、rl1’-7-49、'为

故为315工2=63-7

323,一2-4>J3

次

Ji=-7”-4X2+S

巧+

y2=63X2-7X3

J3=3X[+2X2-4X3

2.已知两个线性变换

X]=271+%，

月=-3和+々2,

,工

2=-2/1+372+2%,<%=2©+?3，

分为+，

¥3=1+5%』3=一々2+3々3,

求从Zi,々2，々3至IJ，*2，*3的线性变换•

X]=一6句+z2+3Z3

所以有＜X

2=122,-4Z2+9Z3

X

3=-10zj-z2+16Z3

q11\123、

3.设A=i1-1B=—1-24

U-11705b

求3AB-2A及1凡

解

111、123、111、

3AB-2A=311—1—1-24-211—1

U-1170517J—1

’058、11、-21322~、

=30—56-211—1-2-1720

J90,—117429-27

11、123、058、

ArB=11—1—1-240—56

11

—11八o5L290,

4.计算下列乘积:

’431Y7、

(1)1-232(2)(1,2,3（T，2）;

、570,

131、

2140、0—12

(4)

1—134,1-31

10-27

。12“13

⑸(21,%2，”3)

〃12a22。23工2

〃23〃33人“3

1210、1031\

0101012—1

(6)

002100-23

0003,00-3

解

’431'4x7+3x2+lxl'35、

(1)1-23lx7+(-2)x2+3xl6

、570、5x74-7x2+0x17、4,

3、

(2)(1232=(1x3+2x2+3x1)=(10)

’2x(-1)2x2、(-24、

⑶1(-12)=1x(-1)1x2=-12

.3x(-1)3x2j1-36,

<131、

26-781

)

120-5-6

-2,

。13

“23x2

“33人

+023*2+033*3)

、°12“1+°22%2+〃23工3°13“1

Xj

XX+ax+2axx+2a13%1工3+

x2anx1+«22233l12122a23x2x3

21oA1031、252

001012—1012—4

002100-2300—43

、000000_3,W00-97

2、q0、

5.设A=B=，问:

,J2,

(1)AB=BA吗？

(2)(A+B)2=A2+2AB+万2吗?

(3)(4+B)(A-B)=A2-吗?

解

fl2’10、

UM=ll3.B=

J2,

q4、2、

则AB=BA=.tABwBA

、46,(38J

2V22、,814、

(2)(A+Bp=

=J429,

、25人25J

<38、(68、101016

但

A?+2AB+B++

(4H>>1812J、3415277

故(4+3)2w4+24〃+B2

2V02>fO6

(3)(A+B)(A-B)=

、25人0(09)

810(28

而A2-B2

一]

117347

故(A+B)(A-B)^A2-B2

6.举反列说明下列命题是错误的：

(1)若人2=0,则A=0；

(2)若A?=4,则A=0或A=E；

(3)若4X=AY,且r则X=y.

解⑴取4=A2=0,但A*0

0,

r

⑵取4=A2=A旭A。0且4wE

10o>

(1n

Y=

01J

AX=4y且AwO但Xwy

(10、

7.设4=，求A2,A3,...,A«.

2f1oYioW1o)

解A==

(a1人41J\2X1J

0、

A3=A2A=

1>

利用数学归纳法证明：Ak=:

当k=1时，显然成立，假设R时成立，则4+1时

10、

A=AkA=

(ux：M(A:+1)2b

由数学归纳法原理知：a=化°!

（碗1）

%10、

8.设4=0A,1，求At

22

2

27

/

/炊一】-A

2

由此推测=0九吹T(AN2)

00

用数学归纳法证明：

当儿=2时，显然成立.

假设儿时成立，则A+1时,

处二12止2：

矛以"1

2科10、

Ak+l=Ak-A=0乃Uk-l021

00尤(00

(

(%+1此/一。

才+i(k+1)乃t

2

=02k+i(k+1)#T

00户i

乃人乃一1k也-1)打

2

由数学归纳法原理知：A*=0*k型T

0矛

7

9.设A,6为〃阶矩阵，且A为对称矩阵，证明3,43也是对称矩阵.

证明已知：Ar=A

则(firAB)r=BT(BTAf=BTVB=BTAB

从而BTAB也是对称矩阵.

io.设A,5都是〃阶对称矩阵，证明A6是对称矩阵的充分必要条件是

AB=BA.

证明由已知：Ar=ABT=B

充分性：AB=BA^AB=BTAT^>AB=(ABf

即A3是对称矩阵.

必要性：(AB)，=AB=>BTAT=AB=>BA=AB.

11.求下列矩阵的逆矩阵:

i2~r

12、cose-sin。

(1)⑵⑶34-2；

25Jsin。cos。

J-41,

1000、5200、

1200100

(4)；(5)

21300083

u214J(0052)

0

(。1。2…Q"W°)

an,

间=1

Au=5,=2x(―1),A]?=2x(―1),A22—1

⑵同=lwO故存在

An=cos^A21=sin^An=-sin^422=cos。

从而A-1=

(3)\A\=2,故A-1存在

100120

34

A12=(-l)230=-12A13=(-1)210=-12

114124

12000

44=(-1)5213=310=-4

12124

100

6

A24=(-1)213=-5

121

4T--A'

F

T000、

1

200

11

故A-1=-o

63

511

1-

I8^-4

12

⑸|A|=1WO故A-1存在

43=0

A14=0

，1

_1—2

从而=

0

<0

4

,a

(6)A=2

0

由对角矩阵的性质知A-1=

0

n