可靠性工程与风险评估数学基础市公开课金奖市赛课一等奖课件

第二章概率统计基础第一节随机变量数字特性

数学盼望简称盼望或称为均值。假如随机变量x是离散型，它分布律为若级数绝对收敛,则称级数为数学盼望，记为。(2-1)对于概率密度函数为连续型随机变量x，若积分(2-2)1第1页第1页绝对收敛，则称此积分为x数学盼望，记为假如y是随机变量x函数y＝g(x)(f是连续实函数)，且x是离散型随机变量，它分布律为若绝对收敛，则有(2-3)2第2页第2页若x是连续型随机变量，它概率密度函数为且绝对收敛，则有二、方差是用来度量随机变量与其数学盼望偏离程度。对于离散型随机变量X，若其分布律为则方差表示式为(2-4)(2-5)3第3页第3页

式中假如X是含有概率密度函数为连续型随机变量，则方差表示式为方差平方根称为随机变量原则差或均方差。它是与随机变量X含有相同量纲量，记为有(2-6)(2-7)(2-8)4第4页第4页衡量随机变量离散程度另一参量是变异系数，定义为：它是无量纲系数。描述随机变量概率分布对称程度用歪扭系数。定义为：（2-9）（2-10）式中——随机变量x三次中心矩。对于离散型随机变量X，可表示为：（2-11）5第5页第5页对于连续型随机变量x，三次中心矩为：（2-12）图2—l示出歪扭系数值为零、为正和为负时概率密度函数曲线。

6第6页第6页7第7页第7页8第8页第8页正态分布是应用最为广泛一个分布。许多自然现象可用正态分布来描述。当研究对象随机性，是由诸多互不相干随机原因之和所引起，每一个随机原因又都不是控制原因，这类问题普通都服从正态分布。比如，在可靠性分析中，材料强度、零部件加工尺寸和寿命常服从正态分布。正态分布概率密度函数可用下式表示，X为连续型随机变量。第二节惯用概率分布一、正态分布（2-20）9第9页第9页累积概率分布函数为：式中x—随机变量—均值—原则差，正态分布可记为。数值大小表征分布曲线中心线距离坐标基准点位置，而数值大小则表征随机变量离散程度、或者分布曲线陡坦程度。参阅图2—2。（2-21）10第10页第10页图2—2正态分布概率密度函数11第11页第11页

当时，称X服从原则正态分布。记为N(0,1)。概率密度函数和累积分布函数分原则正态分布别用和表示，即（2-22）（2-23）12第12页第12页13第13页第13页14第14页第14页15第15页第15页二.对数正态分布随机变量正态分布含有对称性。但在许多工程实设连续性随机变量X自然对数呈正态分布，则称X函数分别为：服从对数正态分布。它概率密度函数和累积概率分布时间等随机变量经常采用分布。是描述材料强度、疲劳寿命、结构几何尺寸和工程完毕正态分布是许多不对称概率分布中最为主要一个。它际问题中，事件随机变量分布往往是不对称。对数16第16页第16页

式中均值；原则差（2-26）（2-27）17第17页第17页对数正态分布概率密度函数图形示如图：18第18页第18页对数正态分布统计参量可求之下列。令：随机变量X均值由式(2-2)求得：19第19页第19页上式中{·}括号内为正态概率分布函数，总和，其值为1。因而有：（2-28）式(2—28)表示均值、随机变量X均值与方差之间关系。依据式(2—6)，有20第20页第20页故由此得（2-29）式中为变异系数，见式(2—9)。假如，则因而得：（2-30）21第21页第21页伽玛分布惯用于结构承受风、雪载荷、活载荷以及一些焊接热影响区表面裂纹尺寸分布等。随机变量X含有下列概率密度函数时称为伽玛分布。（2-34）式中和k是两个参数；。当为正整数时，三、伽玛分布累积概率分布函数为：22第22页第22页伽玛分布统计参量可求之下列：（2-36）（2-37）23第23页第23页

该图为伽玛分布概率密度函数曲线图：24第24页第24页

四、威布尔分布

1.三参数威布尔分布：概率密度函数为累积概率分布函数：式中

—形状参数；（）—尺度参数：可记为特性参数；—位置参数。25第25页第25页在疲劳强度试验中，威布尔分布函数中时间t用疲劳寿命N(循环数)代替。这是威布尔分布函数能够写成下列形式。式中—最小寿命，循环数；—特性寿命，循环数。26第26页第26页2.二参数威布尔分布在疲劳强度试验中，27第27页第27页

下图为威布尔分布概率密度函数：时间t28第28页第28页形状参数对威布尔分布概率密度函数影响。

求得不同值，就能够判断引发失效控制过程。情况，反应耗损寿命期、即老化衰竭现象。依据试验失效过程；，曲线表示失效随时间增长而递增特性；时，曲线表示了失效率为常量，描述偶然效随时间增长而减少情况，亦即反应了早期失效率影响示如图2—7，当，这时曲线表示失这里取值为零。形状参数对可靠度和失效29第29页第29页时间a.威布尔可靠度函数30第30页第30页b.威布尔失效率时间31第31页第31页五、指数分布设备最佳工作期称为偶然失效期，其失效率与时间无关、保持为定值。在这期间，没有一个失效原因对失效起主导作用，失效纯属偶然。依据方程(1—8)，当常量时，有：（2-51）式(2—51)表示指数分布概率函数。图2—8为指数分布概率密度函数图。32第32页第32页指数分布中随机变量数学盼望(均值)和方差下列：（2-52）指数分布概率密度函数33第33页第33页六、极值分布极值分布是一个特殊分布，适合用于寿命分析和应力分析。当装置或零部件中存在有缺点或杂质时，假如正是这些缺点或杂质决定了装置或零部件寿命，则含有最大杂质或缺点部分就决定了装置或零部件寿命。除此以外，也许施加在装置或零部件上应力，如最大冲击、最大风裁荷等决定其寿命者，亦属极值分布。极大值、极小值分布在许多实际问题中，起着主要作用。假设是独立随机变它们有相同分布函数。34第34页第34页极大值(M)分布函数为：假如相应概率密度函数为，则相应（2-54）概率密度函数为：极小值(N)分布函数为：故（2-55）（2-56）（2-57）35第35页第35页极值Ⅰ型最小值累积概率分布函数为：概率密度函数为：Gumbel研究了极大值、极小值分布性质，从理论上得出了极值分布三种类型：极值Ⅰ型、极值Ⅱ型、极值Ⅲ型。极值Ⅰ型最大值累积概率分布函数为：上式中，a、k是参量。（2-59）（2-60）（2-58）36第36页第36页式中，a、k是参量。极值Ⅰ型中随机变量数学盼望(均值)和方差为：（2-61）（2-62）极值Ⅱ型、最大值型累积概率分布函数为：（2-63）随机变量数学盼望(均值)和方差为：（2-64）（2-65）37第37页第37页极值Ⅲ型、最小值累积概率分布函数为：式中a、k是参量。随机变量数学盼望(均值）和方差为：(2-66)(2-67)(2-68)38第38页第38页第三节统计推断客观世界总体普通多能够用随机变量来模拟。而这种随机现象数量规律是从大量实际事件中总结出来。要得到这一规律，人们不也许从随机现象所有事件进行观测和分析，只能对它们作有限数量观测和分析。从局部观测来预计和分析整体随机规律性，要用统计推断办法。统计推断法是依据对子样观测来推断母体情况。它是一个推测性判断办法。所谓母体，指是研究对象全体。譬如，我们研究某种材料断裂韧性，那么它就是一个母体。又如我们研究是零部件加工尺寸误差，那么这个零部件某个尺寸所有误差就是一个母体。因此，母体能够是尺寸、寿命、时间等表征研究对象某种性质数量全体。39第39页第39页从母体中抽取一个个体做试验或者进行观测，这个抽出个体称为样品、或者子样。设是从母体中抽取n个样品，它称为容量等于n一个子样。子样含有母体各种信息，它是十分珍贵。为了充足地利用子样所含有各种信息，经常把子样表示成一个或m个函数：这些函数普通是连续函数，并且不含有未知参数。这种不含未知参数子样函数称为统计量。40第40页第40页惯用统汁量有：子样均值子样均值正平方根称为子样原则差或子样均方差。子样K阶矩子样K阶中心矩41第41页第41页何为置信度既然统计推断法是一个推测性判断办法，因此结果能够信任程度标志。人为给定，如0.1，0.05等。置信度就是衡量推测判断明显水平或称风险度系数。它数值依据要求精度中称之为置信度。惯用(1-a)表示置信度，其中。a称为把握，因而这里存在可信赖程度问题。在数理统计对于这种办法所取得结果就不也许有百分之百正确42第42页第42页按照可靠性工程分析需要，本节拟择统计推断相关内容作简明叙述。一、分布适应性检查系统、装置或零部件往往需要从它们失效数据中提供适当分布函数，亦即，对失效分布作出假设，然后再对这种假设正确性作出检查。1．检查法设母体分布函数为，利用从此母体中抽取子样，检查假设，即：其中为某已知分布函数。为寻找检查统计量，首先将母体X取值范围分成m个区间43第43页第43页要求是分布函数连续点。令表示母体X子样，落入第i个区间概率，记作假如子样容量为n，则是随机变量X落入区间理论频数。倘若n个观测值中落入此区间实际频数为，则当成立时，应是较小值。因而这些量和能够用来检查是否成立。皮尔逊定理。如成立，当时，有它是自由度为m-1分布，此值越小表示理论计算值对观测值适应性越好。44第44页第44页45第45页第45页46第46页第46页47第47页第47页48第48页第48页2．柯尔莫哥洛夫一斯米尔洛夫检查法假设其中是连续型分布已知函数。检查此假设是否为真，所用统计量是其中是容量为子样经验分布函数，是一个阶梯形函数。令是子样按数值大小顺序排列统计量。则49第49页第49页K-S检查法是在子样每个顺序统计量上，求子祥经验分布函数和分布函数之间偏差中大一个。即求这是由于和都是单调非降函数，因此式(2—80—a)表示偏差上确界可在个点处寻求。求得n个中最大一个就是K-S检查统计量取值。从图2—9能够看出，当较小时，与适放性较好．当较大时，与适应性不好。K-S检查法检查原则下列：50第50页第50页式中为在给定明显性水平和子样容量n下K—S检查临界值或记作。参阅附表4。图2—9K-S检查法中函数拟合51第51页第51页52第52页第52页53第53页第53页54第54页第54页55第55页第55页二、概率分布中参数预计在可靠性分析中，除了分布面数适应性外，还必须对母体分布参数进行预计。对于参数预计，经常碰到三种情况：随机变量X母体分布函数未知，需要求它数学盼望和方差；随机变量X母体分布函数形式已知，但含有未知参数，譬如式(2—52)中指数分布概率密度函数，其中未知参数，要求拟定值；随机变量x分布形式已知，但是其数字特性值均不知道，如产品某项指标服从正态分布，而都是未知，需要进行预计。56第56页第56页依据实际问题需要，处理参数预计问题有两种办法：点预计与区间预计。对于点预计要求是，无偏性、一致性和有效性。而区间预计则要求得到未知参数预计值与此参数真值差包在一定范围概率之内。

设是未知参数，它能够是分布中参数成各种可靠性指标。设是容量为n一个子样，取子样一个函数作为未知参数预计值，称之为点预计值。这是由于当一定期，是一个数、或点。点预计值将表示未知参数大体是多少给出明确数量概念。但是，由于这种预计值不能反应所得结果可信程度。因此，往往引用参数值所在区间去补偿仅仅一点预计值。这种区间称之为置信区间这种办法称为区间预计法。57第57页第57页下面叙述几种主要参数预计办法。使用各种分布概率坐标纸能够对相关分布参数进行图解预计。惯用概率坐标纸有正态概率坐标纸，对数正态概率坐标纸，威布尔概率坐标纸和极值概率坐标纸等。概率坐标纸横坐标普通取子样观测值，纵坐标则取相应子样观测值累积概率分布因数，图解法长处在于简便，但准确度不够，也许有一定误差。倘若对参数预计要求较高，往往将图解法与参数统计估结合起采，这样能够达到较好效果。图解祛详细内容详见资料[2]。1．图解法58第58页第58页2．矩法矩法就是用子样各阶矩或中心矩去预计母体各阶矩或中心矩。母体Xk次方数学盼望称为母体k阶矩，母体X对其数学盼望偏差次方数学盼望称为母体k阶中心矩。显然，母体一阶矩就是母体数学盼望，母体二阶中心矩就是母体方差。设是来自某母体一个子样，则子样k阶矩和k阶中心矩能够定义为：显然，子样各种矩反应了母体各种矩特性。59第59页第59页3．最小二乘法(详细见书中例题）4．最大似然法点预计最惯用办法是最大似然法。这种办法能够直接提供取得参数点预计值，且含有较小偏差。当母体分布类型巳知时，设分布函数待定参数为，它能够取诸多值，在这些诸多也许值中选出一个使子样观测结果出现概率值为最大，作为预计量，用符号表示之，称为最大似然预计。设母体为离散型分布。随机变量X取值为x概率(母体分布列)按下列形式表示：其中为未知参数。60第60页第60页令