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文档简介
2.4.1抛物线及其标准方程4/24/20231抛物线的生活实例投篮运动4/24/202324/24/20233萨尔南拱门4/24/202344/24/20235
抛物线及其标准方程
4/24/20236实验模型:
MF
如图,点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点,过点H作,线段FH的垂直平分线交MH于点M,拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M满足的几何条件吗?
实验4/24/20237
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线一、抛物线定义其中
定点F叫做抛物线的焦点定直线l
叫做抛物线的准线lHFM··定义告诉我们:1、判断抛物线的一种方法2、抛物线上任一点的性质:|MF|=|MH|4/24/202381、到定点(3,0)与到直线的距离相等的点的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线2、到定点(3,0)与到直线的距离相等的点的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线CD练习4/24/20239二、抛物线的标准方程1.建:建立直角坐标系.3.限(现):根据限制条件列出等式;4.代:代入坐标与数据;5.化:化简方程.2.设:设所求的动点(x,y);回顾求曲线方程一般步骤:4/24/202310·FMlH建系xyyOyOON·KNFK4/24/202311(一)标准方程的推导:yo·F设︱KF︱=p(p
>0)由|MF|=|MH|可知,化简得y2=2px(p>0)如图,以过F点垂直于直线的直线为轴,F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系K则F(,0),:x=-
p2p2设动点M的坐标为(x,y),·M(x,y)H4/24/202312
把方程
y2=2px(p>0)
叫做抛物线的标准方程而p
的几何意义是:
焦点到准线的距离
其中焦点
F(,0),准线方程l:x
=-
p2p2KOlFxy.想一想:在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程,那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式?看图4/24/202313(二)四种抛物线的标准方程图4/24/202314(三)区别与联系1、四种形式标准方程及图像的共同特征(1)、二次项系数都化成了_______(2)、四种形式的方程一次项的系数都含2p1(3)、四种抛物线都过____点;焦点与准线分别位于此点的两侧,且离此点的距离均为____O4/24/2023151、一次项(x或y)定焦点2、一次项系数符号定开口方向.正号朝坐标轴的正向,负号朝坐标轴的负向。二、四种形式标准方程及图像的区别4/24/202316例1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;解:∵2P=6,∴P=3所以抛物线的焦点坐标是(,0)准线方程是x=是一次项系数的是一次项系数的的相反数三、应用4/24/202317练习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y
2=-20x(2)y=6x
2
焦点F(-5,0)准线:x=5焦点F(0,)124准线:y=-1244/24/202318例2已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)求它的标准方程。解:因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py
由题意得,即p=4∴所求的标准方程为x2=-8y4/24/202319解题感悟:求抛物线标准方程的步骤:(1)确定抛物线的形式.(2)求p值(3)写抛物线方程4/24/202320求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
.AOyx解:(1)当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时,把A(-3,2)代入x2=2py,得p=(2)当焦点在x轴的负半轴上时,把A(-3,2)代入y2=-2px,得p=∴抛物线的标准方程为x2
=
y或y2
=
x。巩固提高:注意:焦点或开口方向不定,则要注意分类讨论4/24/202321例3.一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。4/24/202322小结1.理解抛物线的定义,2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的几何意义.3.注重数形结合、分类讨论思想的应用4/24/202323练习根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程(1)焦点是F(3,0)(2)焦点到准线的距离为2y2=12xy2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y4/24/2023244a1焦点坐标是(0,),准线方程是:y=4a1②当a<0时,,抛物线的开口向下p2=14a焦点坐标是(0,),准线方程是:y=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向上p2=14a二次函数
(a≠0)的图象为什么是一条抛物线?试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。解:二次函数化为:
其中思考:4/24/202325作业
P73A组:1,2(必做)补充:求经过点p(4,-2)的抛物线的标准方程。4/24/202326解法一:以
为
轴,过点
垂直于
的直线为轴建立直角坐标系(如下图所示),则定点设动点点,由抛物线定义得:化简得:M(x,y)xyOFL4/24/202327解法二:以定点
为原点,过点垂直于
的直线为
轴建立直角坐标系(如下图所示),则定点
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