2021-2022学年辽宁省营口市大石桥旗口第二中学高二数学理月考试题含解析

2021-2022学年辽宁省营口市大石桥旗口第二中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①

②③不与垂直

④中，是真命题的有（

）A．①②

B．②③

C．④

D．②④参考答案：D2.命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是

（）．

A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1，或x<－1，则x2>1 D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1参考答案：D略3.已知点是的重心，(,

)，若，，则的最小值是

(

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C4.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为（）A． B．1 C．2 D．4参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以；故选C．5.如图所示，已知椭圆的方程为，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆的离心率等于(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略6.已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：①若m∥，n∥，则m∥n

②若m⊥α，m∥β，则⊥③若m∥，n∥，则m∥n

④若m⊥，⊥，则m∥或m?其中假命题是（）．(A)①

(B)② (C)③ (D)④参考答案：C试题分析：①由平行公理知，平行于同一条直线的两条直线平行，故此命题为真命题；

②由m∥β可得出β内存在一条直线与m平行，再由m⊥α可得出β内存在一条直线垂直于α，由此知两平面垂直，故此命题为真命题；

③因为平行于同一平面的两条直线的位置关系可以是平行，相交，异面中的任何一种情况，故此命题为假命题；

④因为垂直于同一平面的直线与平面的位置关系可能是平行，也可能是线在面内，故此命题为真命题．

故选C.考点：空间中直线与平面之间的位置关系．7.已知等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．36

B．54

C．72

D．18参考答案：C8.已知集合，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略9.已知i为虚数单位,若复数i，i，则=(

)

A．i

B.i

C.i

D．i参考答案：A略10.读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为()图21－3A．a＝5，i＝1

B．a＝5，i＝2C．a＝15，i＝3

D．a＝30，i＝6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”的否定为

．参考答案：，特称命题“”的否定是全称命题“”。12.已知四面体中，且，则异面直线与所成的角为________.参考答案：13.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答）参考答案：36【分析】通过先分析个位数字的可能，再排列十位和千位即得答案.【详解】根据题意，个位数字是1,3,5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为,故答案为36.【点睛】本题主要考查排列组合相关知识，难度不大.14.直线y=2x与直线x+y=3的交点坐标是

．

参考答案：15.观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为。

参考答案：略16.已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线在点(1,－3)处的切线方程是

．参考答案：由题意,当时，则，,则,所以曲线在点(1,-3)处的切线的斜率,则切线方程为.

17.已知函数，当时，给出下列几个结论：①；②；③;④当时，.其中正确的是

（将所有你认为正确的序号填在横线上）．参考答案：③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．图(1)和图(2)分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图．（Ⅰ）根据成绩频率分布直方图分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级

高二年级

合计

附：临界值表：0.100.050.0102.7063.8416.635参考答案：（Ⅰ）60分；（Ⅱ）有.【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式，即可分别求解高一年级和高二年级学生竞赛平均成绩；（Ⅱ）列出列联表，利用公式求解得值，即可得到结论．【详解】（Ⅰ）高一年级学生竞赛平均成绩为（分），高二年级学生竞赛平均成绩为（分）．（Ⅱ）列联表如下：

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级7030100八年级5050100合计12080200

则，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．【点睛】本题主要考查了平均数的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题，合理利用平均数的公式和独立性检验的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19.如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（Ⅰ）求r的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。参考答案：

解析：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即。解这个方程组得.（II）

设四个交点的坐标分别为、、、。则由（I）根据韦达定理有，则

令，则

下面求的最大值。方法1：由三次均值有：

当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。法2：设四个交点的坐标分别为、、、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（Ⅰ）得由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，等，∴，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．（1）证明：CE⊥AB；（2）若AB=PA=2，求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）作出图形，取AB的中点F，并连接EF，CF，根据条件可以证明AB⊥平面EFC，从而可以得出CE⊥AB；（2）根据条件可以求出梯形ABCD的面积，而PA是四棱锥P﹣ABCD的高，从而根据棱锥的体积公式可求出四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）容易说明∠CEF为直线CE和平面PAB所成的角，由∠PDA便可得到，而CF=AD，这样在Rt△CEF中便可求出tan∠CEF，即求出直线CE与平面PAB所成角的正切值．【解答】解：（1）如图，取AB的中点F，连接EF，CF，则：EF∥PA，CF∥AD；PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD；∴PA⊥AB；∴EF⊥AB；∵∠BAD=∠ADC=90°，∴AB⊥AD；∴AB⊥CF，且EF∩CF=F；∴AB⊥平面EFC，CE?平面EFC；∴AB⊥CE，即CE⊥AB；（2）由题意知，四边形ABCD为梯形，；∴；（3）CF⊥AB，CF⊥PA；∴CF⊥平面PAB；∴∠CEF为CE与平面PAB所成的角；∵∠PDA=60°，∴；∴，CF=AD；∴；∴直线CE与平面PAB所成角的正切值为．【点评】考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及线面角的概念及求法，正切函数的定义．21.已知曲线y＝.

（12分）(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．参考答案：

[解析]∵y＝，∴y′＝－.(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数．即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上．则可设过该点的切线的切点为A，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝.则切线方程为y－＝－(x－a)．①将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1