大一下学期高等数学期中考试试卷及答案word版本

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大一其次学期高等数学期中考试试卷

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________

2、函数ln(ux=在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B-方向的方向导数为

3、曲面22zxy=+与平面240xyz+-=平行的切平面方程为

4、

22

22222

(,)(0,0)

(1cos())sinlim

()e

xyxyxyxyxy+→-+=+

5、设二元函数yxxyz3

2

+=，则

=???y

xz

2_______________二、挑选填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中惟独一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--zyx是（）

（A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成；（B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成；（C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成；（D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．

2、微分方程23cos2xxxyy+=+''的一个特解应具有形式（）其中3212211,,,,,,dddbaba都是待定常数.(A).212211sin)(cos)(xdxbxaxxbxax++++;

(B).322

12211sin)(cos)(dxdxdxbxaxxbxax++++++;(C).322

12211)sincos)((dxdxdxbxabxax+++++;

(D).322111)sin)(cos(dxdxdxxbxax+++++

3、已知直线π

22122

:

-=

+=

-z

yxL与平面42:=-+zyxππ,则（）(A).L在π内;(B).L与π不相交;(C).L与π正交;(D).L与π斜交.4、下列说法正确的是（）

(A)两向量ar与br平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得baλ=rr

；

(B)二元函数()yxfz,=的两个二阶偏导数22xz??,22y

z

??在区域D内延续，则在该

区域内两个二阶混合偏导必相等；

(C)二元函数()yxfz,=的两个偏导数在点()00,yx处延续是函数在该点可微的

充分条件；

(D)二元函数()yxfz,=的两个偏导数在点()00,yx处延续是函数在该点可微的须要条件.

5、设),2,2(yxyxfz-+=且2Cf∈（即函数具有延续的二阶延续偏导数），则

=???y

xz

2（）(A)122211322fff--;(B)12221132fff++;(C)12221152fff++;(D)12221122fff--.

三、计算题（本大题共29分）

1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。(1)（6分）221xyyxy+++='

(2)（7分）xxeyyy223=+'-''

2、（本题8分）设utuvzcos2+=，teu=，tvln=，求全导数dt

dz。

3、（本题8分）求函数()()yyxeyxfx2,22++=的极值。

四、应用题（本题8分）

1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分离为x台和y台，成本函数为

xyyxyxc-+=222),

(（万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求

如何支配生产使其总成本最少？最小成本为多少？

五、综合题（本大题共21分）

1、（本题10分）已知直线?????==+011xczbyl：，?????==-0

1

2yczaxl：，求过1l且平行于2

l的平面方程．

2、（本题11分）设函数(,,)lnln3lnfxyzxyz=++在球面

22225(0,0,0)xyzRxyz++=>>>上求一点，使函数(,,)fxyz取到最大值．

六、证实题（本题共12分）

1、设函数??

?

??=xyx

z

Fxuk,

，其中k是常数，函数F具有延续的一阶偏导数．试证实:zuzyuyxux??+??+????

???=xyx

zFkxk,

其次学期高等数学期中考试试卷答案

一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）

1.、()()()211132

22=-+++-zyx

2、12

．

3、2450xyz+--=．

4、0

5、232xy+；

二、挑选填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）

三、计算题（本大题共29分）

1、（1）解：将原微分方程举行分别变量，得：

xxyy

d)1(1d2

+=+上式两端积分得cxxxxyyy++=+==+??2)d1(arctan1d2

2

即：cxxy++=2

arctan2

其中c为随意常数．（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-rr特征根为,11=r

,22=r于是，该齐次方程的通解为,221xeCxCY+=因2=λ是特征方程的单

根，故可设题设方程的特解：.)(210*xebxbxy+=代入题设方程,得

,22022xbbxb=++比较等式两端同次幂的系数,得,2

1

0=b,11-=b

于是，求得题没方程的一个特解*y.)12

1(2xexx-=

从而，所求题设方程的通解为.)12

1(2221xxxexxeCeCy-++=2、解：

()

utvutuvu

uzsincos22-=+??=??，

()

uvutuvvvz2cos2=+??=??，ut

zcos=??依复合函数求导法则，全导数为

dt

dttzdtdvvzdtduuzdtdz???+???+???=()

1cos1

2sin2?+?+-=utuveutvt

()

t

ttteteteettcosln2

sinln2++-=

3、解：解方程组()()()()?????=+==+++=0

22,01422,22

2yeyxfyyxeyxfx

yxx，得驻点???

??-1,21。因为()()

124,22+++==yyxeyxfAxxx，()()142+==yexyfBxxy，

()xyyeyxfC22,==在点??

???-1,21

处，02>=eA，0=B，eC2=，

224eBAC=-，所以函数在点???

??-1,21处取得微小值，微小值为

21,21ef-=??

?

??-。

四、应用题（本题8分）1、解：即求成本函数()yxc,在条件8=+yx下的最小值

构造辅助函数())8(2,

22-++-+=yxxyyxyxFλ

解方程组???

??=-+='=++-='=+-='080402yxFyxFyxFyxλλλ

解得3,5,7==-=yxλ

这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分离生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22=?-?+=c（万）五、综合题（本大题共21分）

1、解：直线1l与2l的方向向量分离为{}????

??-=???????=bccb1100011101，，，，，，sρ，

{}?

??

???=???????-=ac

ca101

0101012，

，，，，，sρ，作??????--=?=221111cbcca

，，ssnρρρ，

取直线1l上的一点()cP，，001，则过点1P且以???

???--=2111cbcca

，，nρ为法向量的平面01=+--c

z

byax，

就是过1l且平行于2l的平面方程．

2、解：设球面上点为(,,)xyz．

令2222(,,,)lnln3ln(5)LxyzxyzxyzRλλ=+++++-，

2222111

20,20,20,503xyzLxLyLzLxyzRxyz

λλλλ=

+==+==+==++-=

由前三个式子得2

2

2

3

zxy==，代入最后式子得,xyRz===．由题意得

(,,)fxyz在球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(,)RR就是最大

值点，最大值为5(,))fRR=．六、证实题（本题共12分）1、证实：

??

???-?????'+?????-?????'+?????=??-22211,,,xyxyxzFxxzxyx

zFxxyxzFkxxuk

k

k??

???'-?????'-?????=xyx

zFyxxyx

zFzxxyx

zFkxkkk,,,

22

12

1

???

??'=??????'=??-xyxzFxxxyxz

Fxyukk,1,21

2

??

?

??'=??????'=??-xyx

zFxxxyx

zFxzukk,1,11

1所以，z

uzyuyxux

??+??+????

???

??????'-?????'