基本立体图形讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

-PAGE5-立体几何初步8.1基本立体图形知识点：1：棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.

与棱柱相关的概念：棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点

棱柱的分类及表示：

按底面多边形边数给棱柱分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱.表示：用底面各顶点的字母表示

按侧棱与底面的关系分类：直棱柱、斜棱柱。2：棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.2．棱锥的有关概念：棱锥中，这多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边棱锥的侧棱.

3．棱锥的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.三棱锥又叫四面体。3：棱台

1．棱台的概念：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．

2．棱台的有关概念：（出示模型，边对照模型边介绍）棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点；

3．棱台的分类:三棱台、四棱台、五棱台、六棱台；

4．棱台的表示方法：棱台ABCD－A'B'C'D'

5.棱台的特点：两个底面是相似多边形，侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点。4：圆柱

1.定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱.

2.圆柱的有关概念：在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

3.圆柱的表示方法：圆柱用表示它的轴的字母表示，圆柱和棱柱统称为柱体。5：圆锥

1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.

2．圆柱的有关概念：在圆锥中,旋转的轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.

3．圆锥的表示方法：圆锥用表示它的轴的字母表示。6：圆台

1．定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台.

2．圆台的有关概念：结合图形认识圆台的上、下底面、侧面、母线、轴.

3．圆台的表示方法：圆台用表示它的轴的字母表示，圆台和棱台统称为台体。

7：球

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，叫球体，简称球.2．在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.

3．球的表示：球常用表示球心的字母表示。

8：简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．注意（总结）：1、多面体的结构特征

(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．2、旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．

例题讲解

例1给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中正确的命题个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征，可知①②③④正确。例2(1)图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．（2)图(2)中的几何体叫做________，PA、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．(3)图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的概念及性质作答。例3下列说法中，正确的是()

A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

[解析]Ｂ中应该是用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C中棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不一定是平行四边形可以是任意多边形；D中棱柱的侧棱都相等，侧面不一定都是全等的平行四边形这与底面的各边长有关.

例4如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________．

[解析]此题需将正三棱柱的侧面展开图表示出来，其对角线的长即为最短路径。例5如图所示，在长方体A1B1C1D1—ABCD中，已知AB＝5，BC＝4，BB1＝3，从A点出发，沿着表面运动到C1，最短路线长是________．[解析]分三种情况展成平面图形求解．沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可.例6以下命题：①直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3[解析]结合旋转体的结构特征分析。例7用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面的哪几种（）①棱柱②棱锥③棱台④圆柱⑤圆锥⑥圆台⑦球．A.②⑤⑥B．②③④⑤C．①②③⑤D．③④⑤⑥[解析]用一个平面去截棱柱、棱锥和棱台的一个角能够得到截面三角；用平行于圆锥的轴的截面截圆锥能得到截面是三角形；用平行于圆柱的轴的截面截圆柱能得到截面是矩形，其它位置的截面都出现曲边；

用平行于圆台的轴的截面截圆台能得到截面是梯形，其它位置的截面都出现曲边；球的截面都是圆.例8圆台的两底面面积分别为1、49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两线段的比。【解析】将圆台还原成圆锥，作出其轴截面图，根据平面图形几何知识求解。

例9圆台上、下底面半径分别为5cm，