《数学学科发展前沿专》专题讲座

第一章行列式及其应用

行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著

作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不

同,关孝和从高次方程组消元法入手对这•概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹

和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念.

1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。该书

中提出了乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。1693年，德国数学家莱布尼茨

从三元--次方程组的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。这个行列式不等于零，就意

味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列

式中元素的位置：ij代表第i行第j歹!I。1730年，苏格兰数学家科林•麦克劳林在他的《论

代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组

的解法，并给出了四元一次方程组•般解的正确形式。1750年，瑞士的加布里尔•克莱姆首

次在他的《代数曲线分析引论》给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的

一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764年，

法国的艾蒂安•裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来

判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德•西奥菲勒•范德蒙德在1771年的论著中首次将

行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对行列式本身进行

研究。1772年，皮埃尔-西蒙•拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德

蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773

年，约瑟夫•路易斯•拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三

个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。

行列式被称为“determinant”最早是由卡尔•弗里德里希•高斯在他的《算术研究》中

提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的

性质。高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消

元法。

十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。止匕前，高斯只不过将“determinant”

这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁•路易•柯西在1812年首次将

"determinant"一词用来表示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重

下标表示的数学家。柯西还证明了曾经在雅克•菲利普•玛利•比内的书中出现过但没有证明

的行列式乘法定理。

十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。

行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结

果。

行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修4—2中，行列式

作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、，榭、越，

培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数

学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内

容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的

应用。

一、行列式在平面几何中的应用

一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知

识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。

例1证明不存在格点三角形是正三角形。

证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角形。

不妨设人说是格点三角形且是正三角形。设其顶点坐标分别为

次3，%）,3（不》,的），。（巧㈤,xfryieZ（i=l2r3）

疑=（巧一鼻的一MXdC=（巧一事居一乂），

所以，y2MM3一」。

乂因为Sy=T/净第=¥（-天『+（%-居）2）交。

前后矛盾,所以不存在格点三角形为正三角形。

例2证明三角形三条中线交于一点。（1980年高考题）

如图1

如图1所示，在三角形ABC中，H、I、J分别为边BC、AC、AB的中点。求证：三条直

线AH、BLCJ相交于一点G。

证明：不妨以AB所在直线为x轴，点C在y轴上作直角坐标系。设A、B、C三点的坐

标分别为A(a,O),B(b,O),C(O,c),则显然有分别

求得直线方程:

cac

-------------X—V-................=0

AH：b-2ab-2a

------x+v—c=0

CJ：a^b

cbe

-------x+y--------=0

BI：2b-a2b-a

令AH所在直线为y=届+&,则

⑵一⑴得，（”*W，

at+*=0.(2)

b-2ao

—ac

b=­A=

代入（2）得,b-2a

ac_

x—y-.............=U

从而AH所在直线为*-2ab-2a

同理，将这三个直线方程看做以孤产」为未知数的齐次线性方程组，则其系数行列式

为:

b—2ab—2ab-2a

2c2

--------1—c

a^ba+b

cbe

2b—a2b—a2b-a

—1-------

b-2ab-2a

3&-勿b-a

S+与a-zi)b-2a

0—廿一.―

(2&-旗A-2a)(2bd)(b-2d)

3b-3ab-a

S+3X&-㈤b-2a

3b—3a环-e

(2&—9—㈤(2bd)(b-2a)

一%2（“力1

a+ft

=_瓷"0

243-a）

=0

所以齐次线性方程组有唯一解，即这三条直线交于--点。

例3求证：三角形三条高线交于一点。

如叫B色的,正=（-也人/=（wc）

因为直线AD法向量为（一瓦切，且过点次/°）,所以直线AD为。

同理，直线BE为一"+"+向=°，直线CF为五=°。一比+"士而=°

将三个直线方程看做是以x,y,1为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为

-bc曲

ccA=ahc—ahc—0

00

故齐次线性方程组有唯一解，即三条直线交于1点。

利用齐次线性方程组有非零解的充要条件这一理论，能给出中学解析几何中直线方程、

圆锥曲线方程等的行列式形式。

例4求经过点I,和I）,且焦点在x轴上的椭圆方程。

W+炉=1

解：设椭圆方程为LX一，若点由叫）和旭㈤在椭圆上，则

片1=0

将其看成关于a,3?和-1的齐次线性方程组,因为它有非零解,所以椭圆方程可写

成:

132111

9一13-2

229

9K-+=

1631坦90_

1ly-

4一1164

即|16

f/

+=1

9一

4

得

解

例5求经过点（％4、叵）和

,且焦点在X轴上的双曲线方程。

金_乙

解：设双曲线方程为V胪，若点（%％）和点（〜小）在双曲线上，则

u1

2/

X1我

一

-户--

-l

2M

21

不■2-/-

1

巧2a2

%1

一

不

一-

将其看成关于a）,占？和-1的齐次线性方程组，因为它有非零解，所以椭圆方程可

写成：

士-J1

解得94

2-1

例6求椭圆54内接三角形ABC面积的最大值。

&M），（孙必），（巧㈤，则有1■+号印

解:不妨设三角形ABC的坐标分别为

Q—幽QJ用

•RO—^AJJBC—

又在圆里正三角形面积最大，故4,所以2

即椭圆54内接三角形ABC面积的最大值为2。

每个多项式都可以表示成几个多项式的和或者差，而每个多项式又可以表示成儿个多

项式的乘积，因此利用行列式的定义，就可以将任一多项式表示成一个行列式，进而利用行

列式的性质对其进行分析.例如，设任一个多项式为F,它总可以表示成为P=PQ-MN

其中为多项式，于是照。。

应用行列式进行分解因式重在构造，利用行列式的性质进行运算，以使得可以提取公

因式。

例7分解因式7-无+2

解.x^+x2-x+2=7（无+D-（其一?）

x2x-2

=1x+1（第一列乘以1加到第二列）

x2x2+x-2

x+2

X2(x+2Xx-^

1x+2（提取公因式）

(x-D

Jx+2)

_(x+SXx2—x+Xl

例8分解因式X3+4X2+X-6

解：原式=/G+4)GD任-6)

五-6户口产2I

-1x+4-1x+4||-1x+4|=(x-IXx+^(x+3)

例9分解因式/+叼一21/+如+7,-3

解：原式=任+2/M_电_(一1)(如+7产—3)

2x+7jr-3r+2j-l3r+6jr—31

=(x+2jr-1)]

其一y-1x-j

=(x+2jr-IXr-y+3)

例10分解因式无+1

解：原式—（TU+D

=(74-x+IXx3-x2+D

例11分解因式5x*+24J?-15J?-118r+24

解原式=X2(5X2+24X-15)-2(59X-12)

；—+24%-1559x-12||5X2+24X-15-lOx^+llx+lg

2X2r|2f-4

+24x-15-10x-9+24x-155X2+14X-24

=（工一2）

2x+22%+4

d*24x-155x-6

=(x-2Xx+4)

21

=（i-2Xx+4X5x-IXx+3）o

应用行列式解决代数不等式问题：

廿十廿+1

-------------->abc,_t

例12求证不等式3,其中"也CWR。

证明：要证明3一，只需证明«3+*3+c3-3a&c>0.

abc

a5+i5+c3-3a&c=cab

bca（将第二行和第三行分别加到第一行）

a+ft+ca+ft+c«z+ft+c

=cab

bca

=(u+ft+cXa2+A24-c2-a&-6c-ac)

=_(a+R+c)[(a-6)2.(a—c)2+(ft—c)2J

2

>向c

+355

因为«AC€A所以a+*+c-3a&c>0,故3一得证。

+222

例13求证不等式*^trf)>(ac+W)o

证明：心飘十鸟-gbdf

a24-ft2ac+ftrf

产+即IM(根据行列式线性性质展开)

=0+a2d2—向crf+62c2-a4m+o

=s-加）220。即证。

例14求证：当xNa+b+c时，不等式

证明:

b

a

—ab

（第二行乘以1加到第一行）

（第三行乘以1加到第二行）

x

-abx-c

（分别从第一行和第二行提取公因式x）

0

2

X011

—abx—c

_j3{x—a—b—cy

所以当xNa*A+c时、^(jc-a-b-c^>fi

故不等式（工_"一占乂"一◎一ac0c一与一助任一切一阳工一冉A2a&c恒成立

例15用行列式证明柯西不等式：求证不等式

A

（42+.2+A+42g2*与2+A+V）之（昭+a/2++a1Al）2,其中

，力I€R.

证明：%力日

□=&+域+A+用斌+环+A+^)-(«A+A也产

4+A+a：4+A+a£a；atbt

a=N2总

/4+A+a上a及+A+比7UA氏i-lM44

42印,(-唳:

又由于J74可

a

2D=2S(AJ=二£(昭闻2A0

从而7、网g

即万NO,即证得柯西不等式。

(a；+a2+A+42购2+^2+A+V)^(«A+*+A

2o

在中学数学中详细介绍了一元二次方程的解法，而学生要解决未知数含根式或高次的

方程就需要较强的解题技巧和思维能力，而采用行列式这个有用的数学工具去解决这类问题

就可以取得事半功倍的效果。

7+yJx-3_-JljC—9+y/x—3

例16解方程：X/3X+7-A/^3V7X-9-A/X^3O

解：

(J3bc+7+《x-3)-(^7x-9-JJC-3)-7K-9+Jx-3)-(1>^其+7-JJC_3)=0

1^x4-7+:工-3-j7x-9+\/x-312\/3x+7

nnL^x+7—Vx—3-\^7x—9—3^x+7—%/x—3J7r—9—J“一3

一尸仍=0

|h-3Vx-3I

一2、反项⑶+77TK-9)=0

五-3=0或j3x+7-j7x-9=0

解得：丈=3,五=4。

6

例17已知反比例函数”一"和一元二次函数，=<+4”+1,求在实数域内它们的

交点所构成的图形的面积。

—=3+4x+l.,

解：由已知得K,即JT+4J/+X-6=0

X3+4X2+X-6=-任+与-(-。任-®

O

J?x-6

―1x+4(第一列乘以1加到第二列)

X2，+h6

-1x+3

W(x+3Xx-2)

―1x+3(提取公因式)

(x+3)(x+2Xx-l)

所以区=T,xi=-2>巧=1,在实数域内有三个交点且分别设为A,B和C。

易知4T-2）巩-ZT）,CQ6,即期=a-D,必=（4与。所以这三个

交点构成的三角形面积为：

将形如4>+%无源的分式有理化（其中°），显然直接采用中

学数学现行的理论是不能解决这个问题的，我们不妨利用中学数学中求等比数列前N项和的

方法构建一个齐次线性方程组，结合行列式给出解决这类分式有理化的通法。

一般地，不妨设s=%+>+,之后，即符歹有理化，分别用表和吠去乘

S,得到：

S=OQ4■/花

y/cS=.4■,桁4■市号

我为=.-Va^c4.彳/?

变形为：（出一的+迷+■府=0,

（勺-指切#4桁弋匕2=o

（q—4.々/?=0

将其看成关于1,正,廖的齐次线性方程组，有非。解，故系数行列式等于0,

例18将I"1•矛2+2#?分母有理化。

^11

由21-1+3^2-114

=112=4

1211

解：代值求得1+能+2师121。

行列式在解决中学数学中的三角函数问题也有妙用，本文通过构造齐次线线性方程组

给出余弦定理的行列式证法，和利用行列式的恒等变形的特性解决一些棘手的三角恒等式证

明问题。

例19证明三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍。（余弦定理）

UpQa2=廿+C2—2Accos4

融2=j.y—2a6cosc

a=bcxKC^-ccxxsB

b=ccxtsA^acosC

c=acsB+bcsA

{OO

⑴由『n1+cZ-SSecosd知等式中不含cosA和皿。，则我们将射影定理变

形为：

ccosB+BcosC—a=0

-O-cosR+acosC一（占一ccos4=0

acosB+O-cos。一（c—占cosa=0

将其看成关于8sB，85c和T的三元齐次线性方程组，该方程组必有非0解,

b

0ab-ccjosA

所以a0c-bcosA=Q将其展开有

cba

0ab—ccxtsA

a°cT8sd=ac?-aftccosji+aft2-a&ccosZ-a3^。

222

即O=*+C-26CCOSJ4,得证。

同理可证⑵和(3).

例20证明三角恒等式：

cos2a+cns2^4-c(js2(<z4-^)—2cosacns^cos(<z+^)=1

证明.cns2rz+cos2^+cos2(<z+^)—2tx>sacos^cDs(rz-l-^)—1

1cosacos尸

=cos<z1cos(a+£)

|cos)5cos(a)向

100

0an2a—an/T«dny3

0—sina^n0sin22

—sn<zsn/5|

sin%

=0

附：1。应用行列式解决空间几何问题

中学数学必修4和选修2-1已经针对平面向量和空间向量有了较为深刻的研究，新课

标要求学生掌握空间向量的线性运算和数量积，在此基础上我们引入空间向量的外积和混合

积，探寻行列式的儿何意义，以新的视角去认识向量与空间几何的紧密关系，开辟新的解题

思路和方法，为初等数学和高等数学的衔接做好铺垫。

MJLAA

定义1：两个向量a与6的外积”乂占仍是•个向量，它的长度规定为

|ax8|=|a|M|&i,它的方向规定为：a与b均垂直，并且使（幺瓦”又与成右

AAAA

手系，即当右手四指从a弯向6（转角小于）时，拇指的指向就是axb的方向。向量的外

积亦称向量积。

A.AJLr~rrrr

定义2：设“，b,c是3个向量，称（“X与-c为这三个向量的混合积。（ax与-c可

记作（％瓦c）。

在直角坐标计算向量的外积和混合积：设10工工灯是一个右手直角标架，",b，c

在其中的坐标分别是我，%，2(„2勺3),则

(赢初=仅矶

明瓦与*11*1对

，可，

=(axft)-c=a2%c2

%&S

o

例1已知正方体期汨一/A'C"/)'的棱长为1,M点是棱AA的中点，点0是对角线

BD的中点。(2010年四川高考卷18题)

(1)求证：0M为异面直线AA和BD的公垂线；

(2)求二面角"的大小；

(3)求三棱锥旗―O8C的体积。

解：以点D为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系办一统则

由已知DcoAox<Laox5axoxQoxox

daon/rcuj)Q(og"(a(u)>；

・■・■■■■■■■■■

(1)证明：8Oif=QT,-2-1,0),-Al=(0,0,1),=(-1,-1,l)o

unruuumu<**■-

：_OMAA=oOif2M)=-2~l+2-1+0=0二OMVAXOM±BD'

又因为0M与异面直线AA'和BD'都相交,所以0M为异面直线AA'和BD'的公垂线。

(2)取平面B蛇的一个法向量为%=(0,1,0),设平面血。的法向量为啊，因为

UU

M8=(0,1,2T)，所以

0

=叱刀

〃2=MR^MC-1

11

由图分析可知，二面角跋一8。一『为锐角，故二面角H—BO—ir的大小为

arccos-

⑶因为苏=（272^,0）,加=（万旦-2）丽=（2七吐一2寸

例2如图3所示，ASCO和细心都是边长为2的正三角形，平面MCD_L平面

此D,M_L平面BCD,AB=2^3o（2010年江西理科卷）

（1）求点A到平面MfC的距离;

（2）求平面dCM与平面38所成二面角的正弦值。

解:建立如图4所示的直角坐标系°一，，则由已知

<xo,o,（acao,oiAf（oABXB0出毋施，招工8）

(1)方法一：^ff=(010,-2^

<C=Q一出,2/）血/=（0,75.75）,所以

010

0-君~y/3

-06

-函-2«

因为BC=a75,0)JW=(0,一出,W)

BCxBM=()

一百5档

所以OHo-5

UKiumr-r-

即BCxjRAf=(-1—<3,—

1iUHEUDU

Sn'ACxB"

所以2l

y=-Cd

又因为7*3a(d为点A到平面MBC的距

图4._2-

离)，代入值解得5

方法二:

设平面以次的法向量为n,因为BC=dY，O)，BM=0-回石工

>umturnr-r-又器=@_®_回

所以，〃=ACXBM=(T_6，_O2

-3+3+662回

陋+3+3一芯-5

故

⑵设平面4CM的法向量为叫，由于a=djl2®S=(T。,西，，从

而

26

5=CA>cCAf==6—5,回

0出’眄我5

足由于原=(L71(a5=(-2o,o)从而

设平面BCD的法向量为

2E值JI：犯fl=(PA2同

"2

2石

从而平面ACM与平面BCD所成二面角为锐角，其正弦值为5。

例3如图所示，在长方体川m一MiGA中，已知疑=43=3，以=2,E、

应E=M=1,点M、N分别为线段4G,的中点。

F分别是线段AB,BC上的点，且

⑴求证点尺Z平面；

(2)求点N到直线ME的距离；

⑶求异面直线g，叫的距离。

解：如图6所示以D为坐标原点建立空间坐标系

D-xyz,则0，G(0,4,2),T。。②，

£(3,3,0)月(24,0)M@,22)N(0,4D；

■■・■■■■■■■

显然有这三个向量ME,而歹，见张成的平行六面体体积为0,故这三个向量共面,

所以四点此共面。

(2)由向量外积定义知设点N到直线ME的

距离为d,所以

/3面

a=------

〃，解得:7

UUUB.UUUB

⑶设异面直线g，叫的距离为不，易知g=(TV),叫=(一2”

M=(-LL0),所以异面直线g,四的公垂线的方向向量为

■■■■■■■■

gxji7\==Q0,X14)

:：K为,异面直线能，叫的距离为直

线EC1上任意一点和直线FD1上任意一点连线在公垂线的方向向量的投影,

EFBC^FIX4^5

d9=—iWn~~Vw—1——

|gxE^/102+22+142IT

即

2.应用行列式解决数列问题

1.=0

定理1若一等差数列｛〃第k,l,n项分别为则n%

证明：根据等差数列通项公式％=4+（”—，变形为吗,则三

点（工4）,（乙4）,（耳％）满足直线方程吟

kd-a*+（O|—tf）=0,

Id_%+（O|—rf）=0,

nrf—a.+（O|—rf）=0.

三个直线方程看成以为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为:

1,=0

故由三点共线的充分必要条件得"%

例1等差数列加力，已知求”•《

解：令”》«二%,由定理1得,

nm-x0

m-xl

mn-x0=0,=0,-m（n—+—=0,

-nn-x|

m+nJC

（m-n）x=0,x=0即a』=0

例2等比数列加力，第七L”项分别为/，，再〜则

证明：根据等比数列通项公式变形为1%1=同间7，闯9

喟小小啦―"喇皿-…」+*=。0

从而，三点日,1«4”（人，）满足直线方程（*）,则

切前-上一lgk|+lg料=。，

■取团”一31.1+收姆=。，

te|?|-"-te|a.|+lgW=0-

lg|g|,—XJg—

三个直线方程看做以q为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为

k2屈1

/取同1=0

故三点共线的充分必要条件得，”看kJ1O

例3若在各项均为正数的等比数列｛,｝中，，^=1<r,求的值。

解：由已知等比数列的通项,=.07,两边同时取对数

I吗，=1呜4+6-Diog,q,其中£>0且£#1,所以数列｛1呜，｝是等差数列。

mn1

nm1=0

对等比数列（G两边同时取自然对数，由定理1得E+"3*1,

解得：3，-=°,故%-=1。

定理2若%,是等差数列｛4第k,Ln项则4,4,4也是等差数列｛4J

/41

441

的第kj.n的充分必要条件是％4

.瓦一4I-k

证明：由等差数列通项公式％=4+（"一94,得/一.，一瓦n~k

A41.41

aibi1.4一瓦0

w，一4

所以，/iw■—4°l。

例4已知等差数列a,b,c中三个数都是正数，且公差〃,0,求证它们倒数所组成的

111

数列a,7,c不可能成等差数列。（1984年高考文科卷）

证明：设a,b,c是等差数列（吗的

d

ab

b-a------

ba2d

1,2,3项，其中｛4）的公差为d,且a,。是数列，｛口的第1,2,3项，贝IJ

111

所以由定理2得，数列"，不，c不可能成等差数列。

例5已知◎一。）鹏・日9一柳%"3与5/=0若正数不乂z成等比数列

且g,l,其中E>°且E,l,求证a,b,c成等差数列。

证明：因为正数成等比数列，所以log."Jog.产Jog-z成等差数列，由定

理2得:

10glixa1

0

1g.yb1=*log,x+clog,j+alogBz-*logBz-clog,x-alogBy

=。-c)logBx+(c-a)logBy+(a-b)log.z=0

所以a,b,c成等差数列.

定理3若等差数列第1,j项分别为■，勺,前n项和为，贝I」，

1,1

j勺1=0

n2s0—fn

.=.+5fd

=»O|+------a

证明：由等差数列通项公式和前n项和公式I2，变形为

“dn+g-d）

{"，则三点I"，在直线

L/—.+(O|_rf)=0,

jrf-a/+(a1-rf)=0,

nrf_(...-Oj).(4-10=0_

y=血+3-㈤卜n

三个直线方程看成以&-L（%一吟为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为:

i，

o由三点共线的充要条件得:

j勺1=0

所以二珥一F»。

例6等差数列{©的前n项和为吨，且鼻=3%=4,则公差d等于（）（2009

年福建理科卷第3题）

A.1B.C.2D.3

4一.

341=024-q=0

12—6a,

O

解：山定理3得,12-3.3612—6al

d—f—=2

-血=0,解得：4=0,2,

故答案为c。

pJ?Sp

q『Sq=0

定理4若等差数列前p,q,r项和为号，S”S,,则，rSf

„n（H—I）,

S=na.+--------d

证明：由等差数列前n项和公式2,变形为

/q-s.=o

d)d

--=0

d)d

我,-3+q=_Sg=q

当+/0-S,=0-1

22

所以，将其看成关于2'2’的齐次线性方程组,

2

PP

gq

rr2

必有非0解，所以其系数矩阵等于0,即

例7已知等差数列｛4中&=ioo$0=1。求$0。

10102100

100100310

11011/40

解：由定理4得:

第1列的10倍分别加到第2歹U、第3列,得

1000

9000-990

1009000-990=0,=0,

11000Suo-llOO

nonooosllo-uoo

将第1列提取1000,第1行提取9得

1-110

11"1100

$0—1100+1210=0

解得&»=-口°。

例8已知等差数列(2满足：4=7,%4•勺=26。｛,｝的前n项和为(2010

年山东理科高考卷18题)

⑴求，及耳：

=(neiV-)

(2)令4T，求数列用的前n项遥。

解：因为2%=%+,=26,所以.=13。

371

6131=

1

⑴由定理1得"439+60n+7“-13»-3,-42=0整理得：

131

371=0

^=2"+1»由通项知当n=l时，,=3,所以由定理3得储招一3”n

第3列的T倍加到第1歹lj,第3列的(-3)倍加到第2列，得

001

24,

241=0,)=0,S_=n+2».

n-n2s-6n~

n2-n2sa—6nnli

整理得：5>=»2+2",

b_1_1_1_1_1

⑵・或-1-3+工-1一行+4”=或

11

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