2023年广东省湛江下学期高考考前模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两

个小球时，记取出的红球数为当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为则()

A.%<砥，B.碣=%,DQD纭

C.碣=砥，。。＜抬D.碣〉砥，DJ

2,关于函数/(x)=sin|x|+|cosx|有下述四个结论：()

①/(X)是偶函数；②/(x)在区间1上是单调递增函数；

③/(x)在R上的最大值为2；④/(%)在区间［-2肛2句上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是()

A.①②④B.①③C.①④D.②④

3.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,

599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578321577892345

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是()

A.324B.522C.535D.578

4.已知|)|=5|昨2,若£_1_倒向，则向量Z+R在向量坂方向的投影为()

1717

A.-B.-C.——D.——

2222

2X-2~x

5.函数y=1।的图像大致为().

X-COSX

6.如图，在中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点尸为线段BQ上靠近点B的三等分点，则西+方=

1——2―•5—■7——1——1()——2—7—■

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

7.已知双曲线C:=-1=l(a>0/>0)的焦距为2c,过左焦点耳作斜率为1的直线交双曲线。的右支于点P,若线

arb-

段PF1的中点在圆O:x2+y2=c2±,则该双曲线的离心率为()

A.72B.272C.V2+1D.2血+1

8.已知函数/(力=25缶(0¥+0)+。(0>0),f(—+x)=/(--x),</(—)=5,则-=()

888

A.3B・3或7C.5D.5或8

22

9.已知直线J"-y+m=0过双曲线C：=-2=1(。>0/>0)的左焦点尸，且与双曲线C在第二象限交于点A,若

ab

\FA\4FO\(。为坐标原点)，则双曲线C的离心率为

A.2B.V3+1C.亚D.V5-1

10.已知函数/(x)=o%2-4ox-lnx，则/（x）在（1,4）上不单调的一个充分不必要条件可以是（)

IC11iIC1

a>——B.0<<2<——C.a>—或——<a<0D.a>——

21616216

11.若复数z满足zi=l-i（i为虚数单位），则其共枕复数［的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

4

12.^a=log23,b=log4l,c=0.7,则实数a,的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而

得出圆周率.现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为.

jr37r7t12

14.在平面直角坐标系中，点2（%,%）在单位圆。上，设NxOP=a，且ae（一,—）.若cos（a+—）=-一,

44413

则/的值为.

15.已知。>0,记/⑺=［（1—。；2%+亡4犬2-28丁+..._。；1281+《256f）小，则/⑺的展开式中各项系数

和为.

少2

16.双曲线=1的焦距为________,渐近线方程为________.

54

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（12分）已知函数=：,

（1）求函数/（x）的单调区间；

4r2

（2）当0<m<7时，判断函数g（x）=--机，（x>0）有几个零点，并证明你的结论；

（3）设函数力（无）=g+龙）-CX2,若函数/?（x）在（0,+8）为增函数，求实数C的取值

范围.

18.（12分）已知数列｛%｝中，4=1,前〃项和为S“，若对任意的〃eN*,均有S“=a,,+*-&（人是常数，且keN*）

成立,则称数列｛叫为“”（攵）数列”.

（1）若数列｛《,｝为""（1）数列”，求数列｛4｝的前〃项和s.

（2）若数列｛4｝为"”（2）数列“，且/为整数，试问：是否存在数列｛4｝,使得对任意“22,

“eAf成立？如果存在，求出这样数列｛可｝的的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.

19.（12分）如图，在平面四边形ABCD中，ZD=—,sinABAC=cosZB=—,A3=13.

313

D

（1）求AC；

（2）求四边形ABC。面积的最大值.

20.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PO_L平面ABCO,底面ABCD是矩形，AD=PD,E,尸分别

是CO,PB的中点.

D

（H）设A5=6BC=3，求三棱锥P—A£下的体积.

21.（12分）已知/（x）=xl2与：V=a有两个不同的交点AB,其横坐标分别为内，/（玉<当）.

（1）求实数。的取值范围；

（2）求证：ae+\<x2-xy<"十—.

22.（10分）如图，四棱锥P—4BC。中，底面ABC。是矩形，面24。，底面ABCO,且AE4D是边长为2的等

边三角形，PC=屈,"在PC上，且面M6Z）.

p

(1)求证:M是PC的中点;

(2)在PA上是否存在点F,使二面角歹-为直角？若存在，求出——的值；若不存在，说明理由.

AP

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.

【详解】

。可能的取值为0」,2；J?可能的取值为°」，

尸=P(*2)=l尸(*1)=1一『:=：,

7yV77

,,「匕2n匕242112444

故E£.=—=0-x—F2~x—bl~x-----=一.

139199999

P值=°)=言4产值=1)=贲4

j-,2匕21242

故隔=§，D&2=。x-+l=

故E《=E3”|＞。巳故选民

【点睛】

离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值

情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.

2.C

【解析】

根据函数/(x)的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【详解】

/(X)的定义域为R.

由于/(—x)=/(x),所以/(X)为偶函数，故①正确.

由于/［Jsi吟+COS表与J1£|=si吟+若=书也，3所以”可在

区间,］，。］上不是单调递增函数，所以②错误.

当xNO时,/(x)=sinx+|cosx\=sinx±cosx=>72sinx±-<V2,

且存在x=—,使/—=sin—+cos—=V2.

444

所以当x20时，/(x)W0；

由于为偶函数，所以xeR时/'(x)wJL

所以〃x)的最大值为0,所以③错误.

依题意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,当0<xW2万时,

sinx+cosx,0<xKn,或—<X<2TT

/(%)=<22

.n37r

sinx-cosx,—<x<——

22

77C

所以令sinx+cosx=0,解得％=彳，令sinx-cosx=0,解得x=7-.所以在区间(0,2可，/(x)有两个零点.

由于/(x)为偶函数，所以“X)在区间［-2肛0)有两个零点.故/(x)在区间［-2%,2可上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①④.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

3.D

【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的,

重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,■故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

4.B

【解析】

(a+b)-b

由a_L(q-B|a|=y/3,\b\=2=>£4=3,再由向量£+5在向量B方向的投影为化简运算即可

\b\

【详解】

aa-^a-b^=a-a-b=3-a-b=0,=3,

•••向量〃+B在向量方向的投影为|3+7|cosG+痴)==三3=1

'/e+\b\0"=0\b"\222

故选：B.

【点睛】

本题考查向量投影的几何意义，属于基础题

5.A

【解析】

本题采用排除法:

排除选项D；

根据特殊值/>0排除选项C;

由x>0,且X无限接近于0时，/（力<0排除选项比

【详解】

2x_2~x

对于选项D:由题意可得，令函数/(x)=>­=.._

COSX

即/［一三)=一/［万)故选项D排除；

5n5不

2彳-2?n

对于选项C：因为/一豆一故选项C排除；

万

对于选项B：当了>0,且x无限接近于0时,凶-cosx接近于—1<0,2、-2-*>0,此时/(力<0.故选项B排除；

故选项:A

【点睛】

本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;

属于中档题.

6.B

【解析】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC一一BQ,将雨+人^=函+耳人^^/二配一丽代入化简即

可.

【详解】

________________________2___

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-BQ

______2______

^BA+BC--(BA+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1—.—.2—•―-5—•7—•

=—BA+BC——(BC-BA)^-BA+-BC.

3999

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.

7.C

【解析】

设线段尸石的中点为A,判断出A点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.

【详解】

设线段尸耳的中点为A,由于直线耳P的斜率是1,而圆O:/+,2=c2,所以A（O,c）.由于。是线段片工的中点，

所以|尸国=2|Q4|=2c,而忸耳|=2|A耳|=2x0c=2夜,根据双曲线的定义可知|尸耳|-|尸闾=勿,即

2A2c=2e即一在T向I

本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档

题.

8.B

【解析】

根据函数的对称轴x=£以及函数值，可得结果.

O

【详解】

函数/（x）=2sin®x+°）+Z?（69＞。）,

若/心+x)=/(1—X),则/(X)的图象关于x=J对称，

888

冗

又/(一)=5,所以2+〃=5或-2+6=5,

8

所以》的值是7或3.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题

9.B

【解析】

直线后-y+机=0的倾斜角为百，易得I必H”>l=c.设双曲线C的右焦点为E,可得八位中，ZFAE=90,则

3

\AE\=y[3c,所以双曲线C的离心率为e=抹l=6+1.故选B.

10.D

【解析】

先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即((x)=0在(1,4)上有解，即可得出结论.

【详解】

lax1-4ax-1

f'M2ax-4a——=

xx

若.f(x)在(1,4)上不单调，^g(x)=2ax2-4ax-l,

则函数g(x)=2ax2-4ax-l对称轴方程为x=1

在区间(1,4)上有零点(可以用二分法求得).

当。=0时，显然不成立；

a>0

当时，只需，g(l)=-2。一1<0

g(4)=16a—1〉0

a<0

或,g⑴=-2a-1>0,解得〃〉-!_或

g(4)=16a-l<0I，

故选:D.

【点睛】

本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.

11.D

【解析】

由已知等式求出z,再由共枕复数的概念求得2,即可得2的虚部.

【详解】

TT,所以共物复数2=』+i,虚部为1

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共物复数的基本概念，属于基础题.

12.A

【解析】

将“化成以4为底的对数，即可判断a,b的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出4c与1的大小关

系，从而可判断三者的大小关系.

【详解】

依题意，由对数函数的性质可得"=log23=log49>b=log47.

4

又因为c=0.7<0.7°=1=log44<log47=b,故a>b>c.

故选:A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相

同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;

若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

3

13.一

71

【解析】

求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可.

【详解】

半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为2，腰为1的等腰三角形,

6

1冗

：.该正十二边形的面积为5=12x-xlxlxsin-=3,

33

根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为一万

7TXrn

3

故答案为：一.

【点睛】

本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.

【解析】

TT1971

根据三角函数定义表示出3=cosa,由同角三角函数关系式结合cos(a+^)=--求得sin(a+2),而

4134

71

犬0=cosa-cos~，展开后即可由余弦差角公式求得飞的值.

【详解】

点？(%，%)在单位圆。上，设NxQP=a，

由三角函数定义可知cosa=X),sina=y0,

E、Im3〃、7i{7i\

因为aw(二，1-),则a+彳,4,

所以由同角三角函数关系式可得sin1-cos

所以％o=cosa=cosa-\-------

(乃、71.(

-cosa+—cos—+sina+兀—、s.in兀—

I4；4I4j4

12V25V2-70

=--------X----------1-------X--------=--------------

13213226

故答案为：二Z也.

26

【点睛】

本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题.

1

15.-

9

【解析】

根据定积分的计算，得到/9)=—±(1—2。9+4,令f=l,求得/(1)=!，即可得到答案.

18189

【详解】

根据定积分的计算，可得

/(/)=J：(1—C；2x+C；4f-c；8d+Cjl28x7+C：256*公=£(1-2x)8dx=--^(1-2x)91；

=-—(l-2?)9+—,

1818

令Ul，贝=一£(>2x1)9+3=*，

即f(t)的展开式中各项系数和为1.

【点睛】

本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得/⑺的表示

是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

16.6y=±-立.x

5

【解析】

由题得，=5+4=9.•.c=3所以焦距2c=6,故第一个空填6.

由题得渐近线方程为y=±|犬=±半x.故第二个空填y=±竽x.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)单调增区间(0,2),单调减区间为(r。,0),(2,+8)；(2)有2个零点，证明见解析；(3)c<-

【解析】

(1)对函数/(X)求导，利用导数(X)的正负判断函数/(X)的单调区间即可;

(2)函数g(x)=二-加,(x20)有2个零点.根据函数的零点存在性定理即可证明；

ex

(3)记函数F(X)=/(x)-(尤-与=工-％+2/>0,求导后利用单调性求得F(l)-F(2)<0，由零点存在性定理及单

xexx

调性知存在唯一的X。6(1,2),使/(%)=0,求得〃(X)为分段函数,求导后分情况讨论：①当X〉/时，利用函数的单

调性将问题转化为2c<u(x)min的问题;②当0<x<x°时，当CW0时,〃'(x)>0在(0,%)上恒成立，从而求得C的取

值范围.

【详解】

2x

,、,r,,、2x-e'-x-ex(2-x)_

(1)由题意知,/(x)=-----------=-------,列表如下：

(e*)-ex

X(-00,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(X)—0+0—

/(X)极小值T极大值

所以函数的单调增区间为(0,2),单调减区间为(—,0),(2,+8).

X9

(2)函数g(x)=——而,(x20)有2个零点.证明如下：

ex

44

因为0<m<r时，所以g(2)=r-，〃>0,

ee

因为g(x)=X(2T)，所以g(x)>0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上单调递增,

由g⑵>0,g(0)=r〃<(),且g(x)在(0,2)上单调递增且连续知，

函数gQ)在(0,2)上仅有一个零点，

由⑴可得xNO时J(x)W〃2)=/(x)皿，

/4

即一故xNO时，

m

由得e赤〉巴，平方得e赤>为，所以8(名)<0,

因为g(x)=W^D,所以8(力<0在(2,48)上恒成立，

44

所以函数g(x)在(2,+8)上单调递减，因为0<〃?<7,所以7募>2,

由g(2)>0,g(1)<0,且g(x)在(2,+8)上单调递减且连续得

g(x)在(2,长。)上仅有一个零点，

X~2

综上可知：函数g(x)=——"(x20)有2个零点.

e'

2

1X1

(3)记函数尸(x)=/(x)—(x—2)=二一x+上,x>0,下面考察尸(x)的符号.

xeAx

求导得?(幻=当3-1一人户>0.

ex

当xN2时/(幻<。恒成立.

当0<x<2时，因为x(2——%2=［,

2

所以F'(x)="Q、,')__^<0.

exx1ex2xx2

：.F'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故尸(x)在(0,+8)上单调递减.

143

VF(l)=->0,F(2)=-L-£<0,/.F(l)-F(2)<0,又因为F(x)在［1,2］上连续,

ee22

所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使F(4)=0,

：.xe(O,xo),F(x)>0;xe(无o，+oo),F(x)<0,

X----------CT2,。<X<X。

因为「(x)|=，所以/?(x)=<X

2

X.2

---CX,X>XQ

14—z—2cXfO<xW玉)

x~

Ahf(x)=<

x(2-x)

-----------2cx,x>x0

/、1r2

因为函数h(x)在(0,+«>)上单调递增,F(x0)=%---------=0,

%oe

所以“(x)NO在(0,x0),(*0,+8)上恒成立.

①当XX。时，虫二2—2CXN0在(*0，+00)上恒成立，即2cW与在(x0,+oo)上恒成立.

ee

记»(x)=-~-,x>x0,贝!]/(x)=-----,x>x<),

exex

当x变化时，u'(x),M(x)变化情况如下表：

X(%,3)3(3,+oo)

u\x)—0十

u(x)J极小值T

:."(X)min="(X)板"=»(3)=一小，

故2c<M(X)min=-/，即C4一^J・

②当0<尤<九0时，〃'(X)=1+」7-2CX,当cWO时，〃'0)>0在(0,%)上恒成立.

X

综合(1)(2)知，实数C的取值范围是CK-*.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间、极值、最值和利用零点存在性定理判断函数零点个数、利用分离参数法求参数

的取值范围;考查转化与化归能力、逻辑推理能力、运算求解能力;通过构造函数/(x),利用零点存在性定理判断其零

点,从而求出函数〃(x)的表达式是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.

18.(1)Sn=2"-\(2)存在，4=0，±1，±2，±3,±4,±5,-6

【解析】

(1)由数列向｝为“H(l)数列”可得,S“=4+1—1,S,I=a„-l(n>2),两式相减得an+i=2a,„(nN2),又4=2=2q,

利用等比数列通项公式即可求出an，进而求出S“；

⑵由题意得，s„=an+2-2,S“_|=an+i-2(n>2),两式相减得，an+2=an+x+a“,(n>2),

据此可得，当〃23时一。,4,+2=一/)一进而可得

I4/-《化+21=I*-％%|，S23),即数列｛旧2-*%|｝为常数列，进而可得.2_卜W&闻,s之3),

结合%=%+%，得到关于的的不等式，再由〃=2时I%?-46|=|七2-3卜4(),且a2为整数即可求出符合题意的出

的所有值.

【详解】

(1)因为数列｛4｝为““⑴数列”，

所以S.=a”+「1,故S“T=4一Kn»2),

两式相减得m=2q,,(nN2),

在S“=a“+iT中令〃=1，则可得％=2,故。2=2《

所以4=2,(weN*,〃21),

册

所以数列｛4｝是以1为首项，以2为公比的等比数列，

所以4=2"一，因为S〃=a,用一1,

所以S“=2"-l.

(2)由题意得S.=a,.-2,故S,i=。,用-2(n>2),

两式相减得”2=。，向+4,，(n22)

a

所以，当〃N2时,a3-《4+2=-%(4+1+%)=(«„+in

又因为a“+i-%=a._i，(nN3)

所以当“23时,一4%+2=%(%+「%)一a：=%%一

a

所以一切“+21=\n-%%|，(nU3)成立，

所以当〃23时，数列《a：一-%]｝是常数列，

所以|%2一%%|=|%2-生4|，缶>3)

因为当〃=2时,an+2=an+\+«„成立,

所以%=%+%,

所以|42-4+1q-1卜|«32-a2a3一生21，(ni3)

在S“=4+2-2中令〃=1,

因为6=1,所以可得为=3,

所以|9_3生_0221V40,

由〃=2时.一%蜀=,2-3|<40,且a2为整数，

可得％=。,±1,±2,±3,±4,±5,±6,

2

把％=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6分别代入不等式|9-3a2-a2|<40

可得=0,±1,±2,±3,±4,±5,-6,

所以存在数列｛«„｝符合题意,％的所有值为4=°，±L±2,±3,±4,±5,-6.

【点睛】

本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的

理解能力;通过反复利用递推公式，得到数列—4.Mil｝为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.

19.(1)12;(2)5=12^+30

【解析】

(1)根据同角三角函数式可求得cosN84C=sinN3,结合正弦和角公式求得sinN3c4=sin(NB4C+N3),即

可求得N3C4=」TT，进而由三角函数

2

(2)设4)=乂。。=',根据余弦定理及基本不等式，可求得口的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大

值，即可求得四边形ABC。面积的最大值.

【详解】

(1)sinZBAC=cosZ.B=—,

13

则由同角三角函数关系式可得cosABAC=sinNB-Jl—(Vj=£，

则sinZBCA=sin(ABAC+ZB)

sinZ.BAC-cosNB+cosNBA。sinZB

7T

则ZBCA=-

29

所以AC=AB-sinB=13xU=12.

13

(2)设AO=x,OC=y,

在ADAC中由余弦定理可得AC2=DA2+DC2-2DADC-cosZADC，代入可得

144=x+y+孙，

由基本不等式炉+,222孙可知144一冲22外，

即冲K48,当且仅当x=y=4>A时取等号，

由三角形面积公式可得S.oc=；^sin/AOC

<lx48x—=1273

22

SAACB=gxl2x5=30，

所以四边形ABC。面积的最大值为S=12G+30.

【点睛】

本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.

3

20.(I)见解析(II)-

4

【解析】

(I)取R4中点G,连FG,GD,根据平行四边形，可得EF//DG,进而证得平面平面94。，利用面

面垂直的性质，得DG，平面Q45,又由EF//DG,即可得到跖J_平面Q46.

(n)根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.

【详解】

(I)取小中点G,连/G,GD,

由FG//AB,FG^-AB,ED//AB,ED^-AB,可得FG//ED,FG=ED,

22

可得EDGF是平行四边形，则瓦'//0G,

又PD_L平面ABCZ),.,.平面Q4£>_L平面ABCD,

：718,4£)=>718，平面24。，43匚平面阿8,，平面2钻，平面24。，

,:PD=AD,G是24中点，则。G_LB4,而。Gu平面PLDnOG,平面Q43,

而瓦VADG,.••平面Q4B.

(D)根据三棱锥的体积公式，

==

得^P-AEFVB-AEF=^F-BAE]^P-BAE=耳'§'S^BAEXPD

=—x—x—x3xV3x^3=—.

2324

【点睛】

本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面

位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于

基础题.

21.(1)(-5°]；(2)见解析

【解析】

(1)利用导数研究/(x)=xlnx的单调性，分析函数性质，数形结合，即得解；

(2)构造函数g(x)=—x-xliir,/z(x)=」一(九一I)一xlnx可证得：-x>xlnx,-^―(x-1)>xlnxxe[-J]I,

e-le-1I\e))

分析直线y=_x,y=」一(x-l)与y=a

从左到右交点的横坐标，/(%)在X=-3,1=1处的切线即得解.

【详解】

(1)设函数/(x)=xlnx,

尸(x)=l+lnx,

令尸(x)>0,x>—,令/(1)<0,0<]<—

ee

故