2023年高考数学一轮复习新课标版题组层级快练51-60

题组层级快练（五十一）

一、单项选择题

1.直线X—小y+〃=om为常数）的倾斜角为（）

1171

A•dBT

2冗5n

C•亍D-6"

答案A

2.倾斜角为120°且在y轴上的截距为一2的直线方程为（）

A.y=—yfix+2B.y=—y[3x~2

C.y=y]3x+2D.尸小工一2

答案B

3.直线/过点M（—2,5）,且斜率为直线y=-3x+2的斜率的;，则直线/的方程为（）

A.3x+4y—14=0B.3尤一4y+14=0

C.4x+3y—14=0D.4/-3y+14=0

答案A

13

解析因为直线/的斜率为直线y=-3x+2的斜率的不则直线/的斜率攵=一本故》一5

3

=-W（x+2）,即3x+4y—14=0,故选A.

4.直线x+（a2+l）y+1=0的倾斜角的取值范围是（）

JT一

A[o,彳

c[o,旬jrjD.卬yju[—jrj

答案B

解析由直线方程可得该直线的斜率为一舟•，又一1W—六广0,所以倾斜角的取值范

3n

围是

5.（2021.北京东城期末）已知直线/的倾斜角为a,斜率为那么“a号”是“6。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

八，一口,L、兀n一兀r-、、

解析当11时，笈<0；当心M时，不<。<爹.所以"a>?■"是"修打"的必要不充分

条件，故选B.

6.丫-01—5=0表示的直线可能是()

答案B

解析由y-ax—5=0,整理得y=ax+：,则aWO,排除C；当a>0时，^>0,排除A；当

〃<0时，*0,排除D,故选B.

7.已知点A(2,-3),以—3,-2),直线/的方程为区一y-/+l=0,且与线段AB相交，

则直线/的斜率”的取值范围为()

A.(—8,—4]U+°°)B.(—8,—^]U+°0)

33

C.[-4,/D.q，4]

答案A

解析由"一)，一%+1=0得k(x-l)—&-1)=0,即直线/过定点尸(1,1),如图，

1\2345*

—3—1—2—13

VA(2,—3),8(—3,—2),P(l,1),kpA=2—1=-4,kps=

要使直线/与线段AB相交，则直线/的斜率々应满足kpBWk或kqPA,

33

4或左》不即直线/的斜率k的取值范围是(一8,-4]U[4,+8).故选A.

二、多项选择题

8.下列说法中，正确的有()

A.直线y=3x—2在y轴上的截距为一2

B.直线x—小y+1=0的倾斜角为60°

C.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为X—5=0

D.过点P(l,2)且在x,y轴上的截距相等的直线方程为x+y—3=0

答案AC

解析A中，令x=0,得y=—2,则直线y=3x-2在y轴上的截距为一2,故正确；

B中，可化为丫=坐尤+乎，则该直线的斜率仁坐，则其倾斜角为30。，故

错误；

C中，过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线上的所有点的横坐标为5,故方程为x—5=0,

故正确；

D中，点P(l,2)在直线y=2x上，且该直线在x,y轴上的截距都为0,故错误.

9.若直线过点A(l,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线/的方程为()

A.x-y+l=0B.x+y-3=0

C.2x—y=0D.x~y—1=0

答案ABC

10.如果AB<0,BC<0,那么直线Ar+B)，+C=0经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案ABC

解析直线4v+By+C=0在x轴上的截距为一§=一器<0,在)，轴上的截距为一务0,故

直线几+B.y+C=0经过第一、二、三象限.故选ABC.

三、填空题与解答题

11.直线/过(一1,-1),(2,5)两点，点(1011,6)在/上，则6的值为.

答案2023

.............”，,,y-(—1)x—(—1)_„y+1x+1

解析直线/的方程为§___])=2—(])，即.6-=~-，即y=2x+1.

令x=IOll,得y=2023,：.b=2023.

12.(1)过点M(—3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.

(2)过点M(—2,1),且与点A(-l,0),8(3,0)距离相等的直线方程是.

答案(l)y=—|x或x—y+8=0(2)x+3y-1=0或y=1

解析(1)当直线过原点时，直线方程为)，=一女；

当直线不过原点时，设直线方程为5+2=13W0),

aci

把(一3,5)代入，得〃=—8,所以直线方程为x—y+8=0.

故所求直线方程为y=—|x或x-y+8=0.

(2)据题意直线与A8平行或过A3的中点(1,0),所以直线的斜率为4=0或%=一；，所以直

线方程为x+3y—1=0或y=1.

13.将直线y=x+[5—l绕它上面一点(1,小)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程

是.

答案y=y[3x

解析由＞=》+小-1得直线的斜率为1,倾斜角为45。.因为沿逆时针方向旋转15°,倾

斜角变为60°,所以所求直线的斜率为小.又因为直线过点(1,小)，所以直线方程为了一小

=小。-1),即y—yj3x.

14.(2022•沧衡入校联盟)若直线以+勿=的。＞0,挖＞0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴

上的截距之和的最小值为.

答案4

解析•直线ax+by=n伙＜?＞0,〃＞0)过点(1,1),...a+8=a/),1,

截距之和为“+b=(a+b)©+3=2+g+注2+2V=4,当且仅当a=6=2时上式

等号成立.

二直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.

15.己知△ABC的三个顶点A(4,-6),B(-4,1),C(-l,4).求：

(1)AC边上的高BD所在的直线方程；

(2)AB边上的中线CE所在的直线方程.

(l)x—2y+6=0(2)13x+2y+5=0

解析(1)VA(4,-6),8(-4,1),C(-l,4),；..c=4三:三：)-=_2.

:,...直线8。的方程为y—1=g(x+4),即x—2y+6=0.

又•；AC_LB。，：.kRD=

5＞,+!》

(2)：AB的中点为£(0,一]),...中线CE的方程为一即13x+2y+5=o.

4+2

画重点班♦选做题

16.设P为曲线C：y=r+2x+3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为

0,亍，则点尸的横坐标的取值范围为.

答案一1，-1

解析由题意知y'=2r+2,设P(M,y0),则曲线C在点P处切线的斜率为火=为+2.又

-pI-

切线倾斜角的取值范围为0,7，所以0WZW1,即OW2%o+2Wl.所以x()G—1,-2.

17.(2022•八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在

直线的斜率分别为.

答案-3

解析设正方形此条对角线的倾斜角为a,由已知得tana=2,则正方形的两条邻边所在

31

直一八线、的，，倾一斜N角%分\别小寸为a+,彳，.-y兀.Vtan[^(a+，石冗、|1=+ta=na=-3,tan((a-彳尸t讦an嬴—a1

=/所以两条邻边所在直线的斜率分别为最-3.

[]

题组层级快练(五十二)

一、单项选择题

1.若直线蛆+4厂2=0与直线2x—5y+〃=0垂直，垂足为(1,p),则实数〃的值为()

A.-12B.-2

C.0D.10

答案A

解析由2机—20=0,得根=10.

由垂足(1,p)在直线，巾+4)，-2=0上，得10+4p—2=0.

•'•p=-2.

又垂足(1,—2)在直线2%—5y+"=0上，解得“=-12.

2.“。=2"是"直线oc+3y+2a=0和2x+(a+l)y—2=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析直线ox+3y+2a=0和+(a+l)y—2=0平行的充要条件为

aX(a+1)=2X3,

.,/c、jI、c得a=2或“=_3.又““=2”是"a=2或a=_3”的充分不

[3义(-2)W(a+1)X2a,

必要条件，所以"。=2”是“直线办+3y+2a=。和2x+(a+l)y—2=0平行”的充分不必

要条件.故选A.

3.在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线/对称，则直线/的方程为()

A.x+2y—2—0B.x—2y=0

C.2x-y-3=oD.2x—y+3=0

答案C

解析因为点(0,2)与点(4,0)关于直线/对称，所以直线/的斜率为2,且直线/过点(2,

1).故选C.

4.一条光线从点P(—2,1)射出，与直线/：尤一:rH=0交于点0(1,2),经直线/反射，

则反射光线所在直线的斜率是()

A.1B.A/3

C.2D.3

答案D

解析结合图象可知，尸关于直线/：x—y+l=0的对称点为(0,-1),所以反射光线的斜

21(-1)

率为一=3.故选D.

1—。

5.已知直线/：丘一5+2一k=0过定点点P(x,y)在直线2x+y-l=0上，则|MP|的最

小值是()

A.^/TOB.^^-

C.A/6D.3小

答案B

解析直线/:kx-y+2~k=0,即©x—l)—y+2=0,过定点M(l,2),

点P(x,y)在直线2x+y—1=0上，

方法一：*.*y=l—2%,

\MP\—y](%—1)2+(1—2x—2)2—\l5x2+2x+2—^l5(x+/)2+^,

故当x=一£时，|MP|取得最小值为之烈，故选B.

方法二：|MP|的最短距离就是点M到直线2x+y-l=0的距离，由点到直线的距离公式得|MP|

的最小值为殳

6.若动点&乃，》),仇必，》)分别在直线小x+厂7=0,/2：x+厂5=0上移动，则43

的中点”到原点距离的最小值为()

A.3啦B.2^3

C.3小D.4啦

答案A

解析由题意知，点M所在直线与/1,/2平行且与两直线距离相等.设该直线的方程为x+

y+c=O(cW—5且cW—7),则解得c=-6.所以点M在直线x+y—6=0上.点

M到原点距离的最小值就是原点到直线x+y—6=0的距离，即1=曷=3啦.故选A.

二、多项选择题

7.己知直线/i：(a+\)x+ay+2=0,I2：ox+(l—a)y—1=0,则()

A./i恒过点(2,-2)B.若/1〃加则层=3

C.若/1JJ2,则“2=1D.当时，b不经过第三象限

答案BD

解析本题考查直线与直线的位置关系，直线过定点.

/i：(〃+l)x+〃y+2=0o〃(x+y)+x+2=0,

[x+y=O,

由jx+2—0得工=-2,y=2时，即直线/i恒过点(一2,2),故A不正确；

若/1〃，2,则有(4+1)(1—〃)=/,解得故B正确；

若/山2,则有。伍+1)+。(1一。)=0,解得」=0,故C不正确；

若直线/2不经过第三象限，则当1—aWO时，有/一20,解得OWa<l,当1

1—a1—a

—4=0,即4=1时，直线fe：x=l,也不经过第三象限.综上可知，当OWaWl时，，2不

经过第三象限，故D正确.故选BD.

8.已知三条直线/i：2x—3y+\=Offe：4/+3y+5=0,6：如一y—1=0不能构成三角形,

则机的值可以为()

A.|B.—

C.一|D.1

答案ABC

9.已知直线/i：ax—y+l=O,，2：x+ay+l=O,aGR,以下结论正确的是()

A.不论。为何值时，人与/2都互相垂直

B.当。变化时，/i与，2分别经过定点A(0,1)和8(—1,0)

C.不论a为何值时，6与/2都关于直线x+y=O对称

D.如果/i与/2交于点M，则|M0|的最大值是啦(0为坐标原点)

答案ABD

解析对于A,aXl+(—l)xa=O恒成立，则(与互相垂直恒成立，故正确.

对于B,直线/i：at—y+l=O,当。变化时，x=0,y=l恒成立，所以/i恒过定点A(0,1)；

/2：x+ay+l=O,当。变化时，x=—1,y=0恒成立，

所以/2恒过定点3(—1,0),故正确.

对于C,在/］上任取点(X,ar+1),

其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(一ar—1,—%),

代入/2：x+ay+\=09则左边不恒等于0,故不正确.

—a—1

ar-y+l=0,

对于D,联立…皿,解得

一。+1

y=~^+T'

即欣诉了,诉T),所以阳°|=、/(v+r)+(方丁)7诉3

所以|MO|的最大值是小，故正确.故选ABD.

三、填空题与解答题

10.已知点A(—3,—4),8(6,3)到直线l：ax+y+1^0的距离相等，则实数a的值为.

答案T或一看

解析由点到直线的距离公式得匕誓井工=笆害萼，解得a=一/或一:

yja+1十1D>

11.若点P是曲线y=f—Inx上任一点，则点P到直线x一厂4=0的最小距离是.

答案2也

解析要使点P到直线x—y—4=0有最小距离，

只需点尸为曲线与直线x-y—4=0平行的切线的切点，

即点尸为曲线上斜率为1的切线的切点，设尸(沏，声)，xo>O,

)，=/一Inx,y'|X=M)=2XO—：=1,解得XO=1或项)=—)(舍去)，

即乙

11—1—41(―

点尸(1,1)到直线x—y—4=0的距离为7=2啦,

所以曲线y=x2—\nx上任一点到直线x—y—4=0的距离的最小值为26.

12.若函数y=ar+8与y=—%+/?的图象关于直线y=x对称，则a+b=.

答案2

解析直线y=ax+S关于y=x对称的直线方程为冗=纱+8,

所以x=ay+8与y=-为同一直线，故得，所以a+b=2.

13.已知4(4,0),8(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线A8反射后再射到直线。8上，

最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是.

答案2也

解析由题意，求出P关于直线x+y=4及)，轴的对称点分别为P1(4,2),P2(-2,0),由

物理知识知，光线所经路程即为|「』2|=2回.

14.己知点例①，份在直线3x+4)，=15上，则后筋的最小值为.

答案3

解析份在直线3x+4y=15上，...3“+4b=15.而亚耳中的几何意义是原点到M点

的距离IOM,；.(后方),向=点招=3.

15.正方形的中心为点C(—1,0),若它的一条边所在的直线方程是x+3y—5=0,求其他

三边所在直线的方程.

答案x+3y+7=0,3x->-3=0,3x-y+9=0

解析点C到直线x+3y-5=0的距离-导冒=嘤・

设与x+3y—5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(mN—5),

贝U点C到直线x+3y+"z=0的距离d=13»解得根=—5(舍去)或m=1,

所以与x+3y—5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.

设与x+3y—5=0垂直的边所在直线的方程是3x—y+〃=0,

则点C到直线3X—)，+〃=0的距离"=31詈=嘤，解得〃=-3或n=9,

所以与x+3y_5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x—y—3=0和3%—y+9=0.

邕重点班•选做题.

16.设定点A(3,1),B是x轴上的动点，C是直线y=x上的动点，则△ABC周长的最小值

是()

A.小B.2小

C.34D.V10

答案B

解析作出A(3,1)关于)，=》的对称点A'(1,3),关于x轴的对称点A"(3,-1),连接A'

A",交直线y=x于点C,交x轴于点B,则|AC]=|A'C\,|AB|=|A"B|,二aABC周长的

最小值为|A'A"|=yf(1-3)2+(3+1)2=2小.故选B.

17.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”

诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某

处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设

军营所在区域为『+VW1,若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,

并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A.VlO-1B.272-1

C.2^2D.V10

答案A

解析设点A关于直线x+y=3的对称点为A'（n,h）,则/L4'的中点为（幺广，爹），k.

••.A'（3,1）,“将军饮马”的最短总路程即

为点A'到军营的最短距离，即为4（3—0）2+（1—0）2—1=也一1.故选A.

题组层级快练（五十三）

一、单项选择题

I.（2022.衡水中学月考）若直线or+勿=1与圆/+），2=1相交，则P（a,力与圆f+V=l

的关系为（）

A.在圆上B.在圆外

C.在圆内D.以上都有可能

答案B

..IfiXO+^XQ-ll

解析y]cr+b2]：.a2+h2>l：.P（a,历在圆外.

2.如果圆的方程为f+y2+履+2），+。=0,那么当圆面积最大时，圆心坐标为（)

A.(-1,1)B.(1,-1)

C.(-1,0)D.(0,-1)

答案D

解析r=1\/F+4-43=1\/4-3后,

当k=0时，r最大，此时圆面积最大，...圆心坐标为（0,-1）.故选D.

3.圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的

方程为（）

A.r+y2—2x—3=0B.x2+y2+4x=0

C.f+y2—4x=0D.x2+yz+2x—3=Q

答案C

\3m+4\

解析由题意设所求圆的方程为(x—m)2+V=4(加＞0),则；,।：=2,解得加=2或m=一

^/32+4-

14

号(舍去)，故所求圆的方程为a—2)2+尸=4,即f+y2—4X=0.故选C.

4.“一拄上W”是“直线/：尸乙与圆C：(L2)2+)2=3相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析本题考查直线与圆的位置关系、充分条件与必要条件的判断.由题知，圆(X-2)2+V

=3的圆心为(2,0),半径为小，则直线/：y=&与圆(%一2)2+尸=3相交"12H

W+必

一小＜%＜小.因为|(一小，小)，所以"一；WZW!”是“直线/：y=fcv与圆C：(x

-2)2+)2=3相交”的充分不必要条件.故选A.

5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴都相切，则该圆的标

准方程是()

A.(X-3)2+(＞'-1)2=1B.(x-2)2+(y-3)2=l

C.(X-2)2+(J-1)2=1D.(x-3)2+(y-2)2=l

答案C

解析本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系.

方法一：因为圆C与x轴相切，半径为1,且圆心在第一象限，所以设圆C的圆心坐标为(“,

1)(«＞0),由圆C与直线4x-3y=o相切，得-/二，『=L"r^=l，解得a=2或a=

74~十(—3)。

一女舍去)，所以圆C的标准方程为(X—2)2+01)2=1.故选c.

方法二：因为圆C与x轴相切，且半径为1,所以圆心C的纵坐标为1,排除B、D,又点

(3,1)到直线4x—3y=0的距离为芈二，^义”,=£w],所以圆a—3)2+°，-1)2=1与直线

\4~+(-3)23

4x-3y=0不相切，所以排除A,而点(2,1)到直线4x-3y=0的距离为淮等1.

A/4-+(—3)2

故选C.

6.已知直线I过点A(a,0)且斜率为1,若圆^+/=4上恰有3个点到/的距离为1,贝Ua

的值为()

A.3&B.±3啦

C.±2D.土巾

答案D

解析由题知直线/的方程为y=x-n,即x—y—a=0.若圆/+9=4上恰有3个点到/的

距离为1,则圆心0(0,0)到直线工一)，一〃=0的距离为1,即聆=1，得〃=力.故选D.

7.过点A(—4,-1)作圆C：。-2)2+。-1)2=4的一条切线A8,切点为B,则△ABC的面

积为()

A.2屈B.6回

C.12D.6

答案D

解析本题考查直线与圆的位置关系.由题可得圆心C的坐标为(2,1),半径r=2,

所以|AC=q(—4-2)2+(—1-1)2=2画,所以|48|=、3(7|2—<=#40—4=6,因此

SAABC=；|AB|•|CB|=gx6X2=6.故选D.

8.圆/+y2+2x—8=0截直线y=Ax+l(AeR)所得的最短弦长为()

A.2巾B.2^2

C.4小D.2

答案A

解析本题考查直线与圆的位置关系、直线被圆所截的弦长.

直线丫=自+1过定点(0,1),

圆的方程/+)2+2》-8=0可化为(x+l)2+V=32,

故圆心为(一1,0),半径r=3.

因为(0,1)到(一1,0)的距离为到(-1)2+(一］)2=也<3,所以点(0,1)在圆f+)2+2x

—8=0内，

根据圆的几何性质可知，圆f+y2+2x—8=0截直线y=fcr+l(%eR)所得的最短弦长为

2x^32—(啦)2=2币.故选A.

9.己知圆C关于无轴对称，经过点(0,1),且被y轴分成两段弧，弧长之比为2：1,则圆

的方程为()

4

-

3

4

C-

3

答案c

解析方法一(排除法)：由圆心在x轴上，排除A、B,再由圆过点(0,1),故圆的半径大于

1,排除D,选C.

方法二(待定系数法)：设圆的方程为(X—")2+)2=户，圆C与)，轴交于A(0,1),8(0,-1),

由弧长之比为2：1,易知/OC4=£/ACB=3xi20°=60°,则tan60°=身=壶，所

以a=|OC|=坐,即圆心坐标为（土坐，（））,J=|Aq2=i2+惇所以圆的方程为

24

-

3

10.已知直线I：X-5y-a=o与圆C：（X—3）2+°，+小）2=4交于点M,N,点、P在圆C

JI

上，且/MPN=y，则。的值为（）

A.2或10B.4或8

C.6±2小D.6±2小

答案B

解析连接CM,CM因为圆的半径是r=2,圆心坐标是C（3,一小），NMPN=三,且P

在圆C上，所以ZMCN=^~,计算得|MN]=2小.又C点到直线/的距离〃=艮整¥=蚱包,

+解=产，所以（S）2+"46）=4,则4=4或8.故选B.

二、多项选择题

11.已知直线/：fcr+y=0与圆M：x2+/-2x-2y+l=0,则下列说法中正确的是（）

A.直线/与圆M一定相交

B.若左=0,则直线/与圆M相切

C.当k=一1时，直线/与圆M的相交弦最长

D.圆心M到直线/的距离的最大值为诲

答案BCD

解析由『+>2—2%-2丫+1=0得。-1）2+0-1）2=1,故M（l,1）,r=\,直线/过原点，

不一定与圆M相交，故A错误；

当上=0时，/：>-=0,直线/与圆例相切，故B正确；

当k=-1时，直线/的方程为〉=》，过圆M的圆心，故C正确；

当直线/J_OM时，圆心M到直线/的距离最大为QM=小，故D正确.

12.一条光线从点（一2,-3）射出，经y轴反射后与圆（*+3）2+。-2）2=1相切，则反射光

线所在直线的斜率可以是（）

3

-

-2

B.

3D.4

--

-4-3

答案CD

解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的

斜率为h则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x—2),即日一y—2无一3=0,又因为反射

光线与圆相切，

所以^—3\鼠+：―a=l=12F+25k+12=°="=一,或^—―故选CD.

13.已知圆金+丫2—2x—6y+a=0上至多有一点到直线3x+4y+5=0的距离为2,则实数a

可能的取值为()

A.5B.6

C.7D.10

答案BC

解析圆的方程可化为(x—l)2+(y—3)2=10—a(avio),圆心为(1,3),半径为110—a.圆心

3+12+5

(1,3)到直线3x+4y+5=0的距离d=-^—=4,要使圆上至多有一点到直线3x+4y+5

=0的距离为2,则［10一忘4-2=2,得6Wa<10,所以B、C符合题意.故选BC.

三、填空题与解答题

14.若圆(x+l)2+(y—3)2=9上相异的两点P,。关于直线fcv+2y—4=0对称，则k的值为

答案2

15.若直线/：4x—3)—12=0与x,y轴的交点分别为A,B,。为坐标原点，则以4B为直

径的圆的方程为；AAOB内切圆的方程为.

答案(x—|)+。+2)2=学(jc-l)2+(y+l)2=l

解析由题意知，4(3,0),仇0,-4),则依例=5.

.•.以AB为直径的圆的圆心为g—2),半径为去

...圆的方程为^+0+2)2=卷.

3+4—5

又aAOB的内切圆半径厂="^’=1，内切圆的圆心坐标为(1,-1),

...内切圆的方程为(X-l)2+&+l)2=l.

16.一个圆与y轴相切，圆心在直线工一3)，=0上，且在直线y=x上截得的弦长为2巾，求

此圆的方程.

答案(x-3)2+(y-l)2=9或(X+3)2+G，+1)2=9

解析方法一：；所求圆的圆心在直线x-3y=0上，且与y轴相切，

二设所求圆的圆心为C(3a,a),半径为r=3|a|.

又圆在直线y=x上截得的弦长为2市，

圆心C(3〃，〃)到直线y=x的距离为d=「,

y]\+(―1)2

・••有/+(巾)2=,.即2白2+7=9〃2,.・.〃=±1.

故所求圆的方程为

(x-3)2+(y-l)2=9或(x+3)2+(y+l)2=9.

方法二：设所求的圆的方程是。一。)2+。一人)2=，，

则圆心也，6)到直线x—y=0的距离为号

•.•日=(甯)工市产

即2^=(4?—/»)2+14.@

由于所求的圆与y轴相切，...d=/.②

又•.•所求圆的圆心在直线x-3y=0上，

：.a~3b^0.®

联立①②③，

解得a=3,b=l,/=9或a=—3,b——1,3=9.

故所求的圆的方程是

(x-3)2+°，-1)2=9或(x+3)2+(y+l)2=9.

方法三：设所求的圆的方程是*+丁+6+或+/=0,

圆心为(一9，一切，半径为3/，2+——4?

令x=0,得丁+4+F=0.

由圆与y轴相切，得/=0,即/=4£④

/[J£Xl-f+fl(一旦+旦\

又圆心(一5，一引到直线X—y=0的距离为一诋一，由已知，得}2+(巾>=/，

即(£>-E)2+56=2(C>2+E2—4F).⑤

又圆心(一?，一9在直线x—3y=0上，

：.D-3E=0.©

联立④⑤⑥，

解得。=-6,E=-2,尸=1或。=6,E=2,F=l.

故所求圆的方程是j(2+y2-6x—2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0,即(x—3)?+0-1>=9

或a+3)2+(y+l)2=9.

国重点班•选做题,

17.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,8两点，点尸在圆。一2)2+丁=2上，则AABP

面积的取值范围是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.诋3的D.[2啦，3^2]

答案A

解析设圆(x—2)2+丁=2的圆心为C,半径为7•，点P到直线x+y+2=0的距离为d,则

圆心C(2,0),r=地，所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为2啦，可得dmax=2吸+r=

3<2,dmin=2吸一「=也.由已知条件可得|AB|=2啦，所以△ABP面积的最大值为WlABI•dmax

=6,AABP面积的最小值为占AB|•”min=2.综上，匕ABP面积的取值范围是[2,6J.故选

A.

18.若P为直线x-y+4=0上一个动点，从点P引圆C：/+尸一以=0的两条切线PM,

PM切点为M，N),则|M川的最小值是

答案呼

解析本题考查利用直线与圆相切求最值.

如图，连接CM,CN,由题可知圆C的圆心为C(2,0),半径r=2.

要使的长度最小,则要NMCN最小，所以NMCP最小.

因为3/忆=岬=曙

所以当1PM最小时，|MN|最小.因为|PM=y『CF—4,

所以当|PC|最小时，|MN|最小.

|Pqn>in=^==3V2,此时COS/MCP=^=坐

COSZMCN=2COS2ZMCP-1=-1,

则IMMmin=^22+22-2X2X2X（^-1）=^.

题组层级快练(五十四)

一、单项选择题

1.(2022・山东省实验中学期中)圆G：(x+2)2+(y-2)2=4和圆C2：(x-2)2+(y—5)2=16的

位置关系是()

A.相离B.相交

C.内切D.外切

答案B

解析易得圆G的圆心为Ci(-2,2),半径八=2,圆C2的圆心为C2(2,5),半径？=4,

圆心距|GC2I='[2—(-2)尸+(5-2)+?=2+4,所以两圆相交.

2.己知圆/+尸+2%—2)，+4=0截直线%+)，+2=0所得弦的长度为4,则实数“的值是()

A.-2B.-4

C.-6D.-8

答案B

解析先求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，再列方程求解.

由圆的方程f+V+lv—2y+a=0可得，圆心为(一1,1),半径r=yj2—a(a<2).圆心到直

线x+y+2=0的距离为4=^~~苏/，.由/=/+倒，得2—4=2+4,所以a=-4.

3.已知圆Oi的方程为/+。+1)2=6,圆。2的圆心坐标为(2,I).若两圆相交于4,8两

点，且|AB|=4,则圆O2的方程为()

A.(X—2)2+。-1)2=6

B.(x-2)2+(J-1)2=22

C.(x-2)2+(y-l)2=6或。一2)2+。-1)2=22

D.(X-2)2+G_1尸=36或(X-2)2+(J-1)2=32

答案C

4.在平面直角坐标系中，直线x—y+l=0与圆C：e+)2一以-8)，+13=0相交于A,B两

点，P为圆C上的动点，则△布2面积的最大值为()

A.2+2吸B.2

C.1+正D.2+啦

答案A

解析本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.

圆C的标准方程为。-1)2+。-4)2=4,圆心为C(l,4),半径r=2,圆心C到直线AB的

距离〃=比黄二质剧=2#产一一=26.由于尸为圆C上的动点，则点尸到直线

AB距离的最大值为d+r=@+2,因此，面积的最大值为3|AB|•(d+r)=^X2小X(、E

+2)=2+2&.故选A.

5.(2022•衡水中学调研卷)圆f+y2—4x+2y+c=0与y轴交于A,B两点、,其圆心为P,若

ZAPB=90°,则实数c的值是()

A.13B.3

C.2^2D.8

答案A

解析由题知圆心为(2,—1),半径为r=#5—c(c<5).令x=0,得V+Zy+cu。，由/>0

得XI,则乃+竺=-2,"V2=c,.•.|4?|=|乃一”|=2，1二7.又依8|=也一，

4(1—c)=2(5—c)./.c=-3.

6.在圆/+产一级-6)，=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BZ),则四边形

ABCD的面积为()

A.5^2B.1()72

C.15^2