高考易错题举例解析

高易题例析高考数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形讨论，却很容易被忽略也是在转化过程中有注意转化的等价性经常出现错误本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮加强思维的严密性训.●忽等性形导错yy但与等y0xy02xy【】已知

f(x)

b

，若

f(1)0,3(2)

求

f

的范围①0错解由件得b326②③6a15②×2－①8④①×2－②得3331010a,即③+④得3333错分采这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数

f(x)ax

b

，其值是同时受制的当a取大（小）值时，b不定取最大（小）值，因而个解题思路是错误的.(1)a正解由题意有解得：f(2)2a2b16f(3)af(2)f39

把

f

和

f(2)

的范围代入得1637f33

.在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就现思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问●忽隐条，致果误【设

是方程

x

的两个实根则

(22

的最小值是

(A)

494

8(D)不存在思分本例只有一个答案正确，设了3个阱，很容易上当利用一元二次方程根与系数的关系易得k，

有的学生一看到

494

，常受选择答案A）的诱惑，从附,这正是思维缺乏反思性的体现如能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案

原方程有两个实根

4k6)0

或3.当k时

2

2

的最小值是8；当

k，

22

的最小值是，时就可以作出正确选择，只有正确.(2)已知

(x2)2

4

，求

xy2

的取值范围错

误

解

法

由

已

知

得

y

2

2

x

,

因

此828y2x)3

,∴当

83

2828时，xy2有大值，x2的值范围(－∞,).33错分没有注意的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小.事实上，由于

(x

2

2y(244

≤1－3≤x≤，从而当

=－1时

xy2

有最小值1，∴

xy2

的取值范围[1,

283

].●忽不式等成的件导致果误【】已知：a＞0，b＞0，,(a

11))ab

的最小值.错解法

111(a))2aba2

≥

22ab

≥4ab

1ab

,∴

(a

11))ab

的最小值是8.错分上的解答中两用到了基本不等式2≥ab第一次等号成立的条件是

a

12

,第二次等号成立的条件是

ab

1ab

，显然，这两个条件是不能同时成立因此8不是最小值.正解

由≤(

a1)2得－ab≥1=,且≥16，1+≥17，2ab11∴原式≥×17+4=(当且当22

时，等号成)，∴

(a

11))ab

25的最小值是.2●不行类论导错【】(1)知数列

n

项和

S2n

n

，求

.错解

ann

n

n2n错分显，当

时，

a11

.因此在运用

an

n

时，必须检验

时的情形，即：a

(n()

.(2)实数

a

为何值时，圆

xy20

与抛物线

2

12

有两个公共.错解将圆

x

2y2

与抛物线

12

联立，消去，得

1(2a)x2

0(0)

①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a0.

，解得

a

178

.错分（图－2－1；2－2）显然，当时圆与抛物线有两个公共.要使圆与抛物两个相等正.当方程①

线有两个交点的充要条件是方程①有一正y有一正根、一负根时，得

根、一负根；或有OxOx0

解之，得a

.

2－

22因此，当

a

178

或

时，圆

xy2axa0

与抛物线

1yx2

有两个公共点●以概，致误以偏概全是指思考不全面漏殊情况使答不完全能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密.

【】(1)等比数列

n

项和为

n

.若

36

9

，求数列的公比

.错解

36

a(1)6(1)1121

，整理

q3(2＝

.错分在错解中，由

a3)a11211

9

)

，整理(2q0

时，应有

a和q

.在等比数列中，

0

是显然的，但公比q完可能为，因此，在解题时应先讨论公比

q

的情况，再在

q

的情况下，对式子进行整理变.正确解法

若

q

，则有

aS9a319

，但

a

，即得设盾，故q.39又依题意

S3

9

a3)(1)(111111

9

)

q3

,即

(2q30,

因为

q

，所以

q3

所以230

解得

q

42

.(2)求过点

直线，使它与抛物线

y

2

仅有一个交.错解设所求的过点

(0,1)

的直线为

ykx

，则它与抛物线的交点为

ykxy2

，消去y得(kx

2

整理得

k2

2

(2x0

直线与抛物线仅有一个交点0,

解得

1所求直线为x22错分此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为

y

时，没有考虑0与率不存在的情形，实上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的；第二，题中要求直线与抛物线只有一个点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透；

第三将线方程与抛物线方程立后得一个一元二次方程考虑它的判别式所以它的二次项系数不能为零，即k0，上述解没作考虑，表现出思维不严.正确解法①当所求直线斜率不在时线垂直

轴为点

以

x

即

y22轴，它正好与抛物线相切.②当所求直