2020年高考文科数学直线与圆题型归纳与训练

冲刺高考复习必备2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1直线l的方程为%mx+3j-1=0，则直线l的倾斜角为（ ）A.1500 B,1200 C,600 D.300【答案】A3【解析】由直线l的方程为＜3x+3j-1=0，可得直线的斜率为k=--，设直线的倾斜角为aeQ兀），则tana=-,.•.a=150°.故选：A.【易错点】基础求解问题注意不要算错冗【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为a为了，即斜率k不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2已知三点A（a,0）、B（3,7）、C（-2,-9a）在一条直线上，求实数a的值.― — 2【答案】a=2或a=9【解析】5 7 7+9a【解析】 ,k= 3—aCB5•・•A、B、C三点在一条直线上，kAB•・•A、B、C三点在一条直线上，kAB=kBC,即三"—'解得a=2或a=9'题型二直线方程例1经过点M（1,1）且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）.x=x=1或j=1x+j=2或x=j【答案】D.一 一 一 xy-【解析】若直线过原点，则直线为y=x符合题意，若直线不过原点设直线为一+-=1,mm代入点（1,1）解得m=2，直线方程整理得x+y-2=0，故选D.一，. xy【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式一+-=1中要求m，n均非零。故做题时应考虑此情mn形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。题型三直线位置关系的判断例1直线（3kx+（2—k）y—3=0和12:（k—2）x+（k+2）y—2=0互相垂直，则实数k的值是（）A.-2或—1 B.2或—1 C.-2或1 D.2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到：3k*（k-2）+（2-k）*（k+2）=0化简为k2-3k+2=0nk=1或2故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k不存在）；其次垂直时应为：k1k2=-1（斜率均存在）或k，k2中一为0，一不存在若用1]:ax+by+c=0，12:mx+ny+1=0垂直的充要条件：am+bn=0，则避免上述问题【思维点拨】直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解题型四对称与直线恒过定点问题例1点（2,4）关于直线2x+y-3=0的对称点的坐标为【答案】（-2,2）【解析】设对称点坐标为【解析】设对称点坐标为（x0,y0），则对称点与已知点连线的中点为y04_1由题意可得｛ / "%-2 2 ，解得广0_~22,3+」-3_0 ^o_22 2所以对称点坐标为(—2,2).【易错点】此题求点可以设点，利用对称(实则用中垂线)，建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点(中点坐标公式)即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨迹(曲线)得到而已。点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性(垂直，平分)进行求解例2直线y_kx-3k+2(kgR)必过定点().A.(3,2) B.(-3,2) C.(-3,-2) d.(3,-2)【答案】A［解析］y_k(x-3)+2，当x_3时，y_2,直线过(3,2)定点，故选A.【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得题型五圆的方程例1若圆心在x轴上、半径为、M的圆。位于y轴左侧，且与直线X+2y_0相切，则圆O的方程是(x(x-\；5)2+y2_5(x+<5)2+y2_5(x(x-5)2+y2_5(x+5)2+y2_5【答案】D【解析】设圆心O(【解析】设圆心O(a,0)(a<0),则v5_IaI12+22即Ia|_5，解得a_-5,所以圆O的方程为例2圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截％轴所得弦的长为2<3，则圆C的标准方程为.【答案】(x—2)2+(y-1)2=4【解析】设圆心为(2b,b)，则圆的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2v14b2-b2=273,b>0,解得b=1，所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.例3已知圆经过点A(2,-1),圆心在直线2x+y=0上且与直线l:x-y-1=0相切，求圆的方程.1【答案】见解析【解析】设圆的方程为Q-1I+(y-bI=r2(r>0).•・•圆心在直线y=-2x上，・•.b=-2a，即圆心为(a,-2a).又圆与直线x-y-1=0相切，且过点(2,-1),・•・a+2a-1=r,(2-aI+(-1+2a1=r2,即(3a-1、=2(2-a1+2G1+2a1,v2解得a=1或a=9.a=1,b=-2,r=-京2或a=9,b=-18,r=<338,故所求圆的方程为：Q-1、+(y+21=2，或Q-91+(y+18)=338.此题也可设出圆心所在直线方程12：x+y+1=0,联立I与12求圆心P,利用P到A的距离与到l］距离相等求解t。则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式(标准式与一般式，其适用范围，两者转化)充分熟悉。在解题时采用合适的方法(或代数法，或几何法)进行相关求解【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解；也可以采用几何法(勾股定理，相似等)进行求解题型六直线、圆的综合问题例1直线x+2y-5+J5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( )1【答案】C21【答案】C244x;6【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d=]+?"=1，半径/=后，所以最后弦长为2<(<5)2-12:4.例2已知点M(a,b)在圆O：%2+丁2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定【答案】B【解析】因为M(a,b)在圆O：%2+y2=1外，所以a2+b2>1,而圆心0到直线ax+by=1的距离, 1 .d=. <1,故直线与圆0相交.aa2+b2 1 1\一 例3直线l：y=kx+不与圆C：x2+y2=1的位置关系为( )I2)A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切 D.相交【答案】D【解析】由于圆心(0,0)，半径等于1,(1、 0-0+2 1kl1 1圆心到直线l：y=kx+-的距离为d=j=—^==, <-<r=1,V2) Jk2+1 2Vk2+121+工2k故直线和圆相交，故选D.例4已知圆q：(x-2)2+(y-3)=1，圆C2:(x-3)2+(y-4)=9,M,N分别是圆C,C2上的动点，P为x轴上的动点，则1PMi+IPNI的最小值为A.5V2-4 B."7-1 C.6-2<2 D.<17【答案】D【解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2，由题意知|PM|>|PCJ-1,|PN|>pC2|-3,・・.|PM|+pN|>|PCJ+|PC2|-4,故所求值为|PCJ+|PC2|-4的最小值.又q关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以pCj+|PCj-4的最小值为|C3cJ-4=5垃-4，故选A.

【易错点】此题可以采用联立方程（A）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可 C 1\ 以利用直线l恒过0,-，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。直线（含参数）过定点特征应有I2J所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d与圆半径厂大小确定。圆C:G—a>+（y—b»=r2，直线l：Ax+By+C=0，圆心。（a,b）到直线l的距离为d，则:d>r，直线与圆相离。可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题d=r，直线与圆相切。依此可求过圆C：42+y2=丫2上某点尸（40，y0）的切线方程：404+y0y=r2一般地，过圆C：Q—J+（y-b）=r2上某点p（x0，y0）的切线方程:(x—a)4—a)+(y—b)(y—b)=r2., -（AB\2一 d<r，直线与圆相交。此时常用勾股定理r2=d2+—- （AB为相交弦）来求解相关问题.I2J【巩固训练】题型一倾斜角与斜率.经过A（-2,0），B（-5,3）两点的直线的斜率是，倾斜角是3—0—5~「2)=—1，故倾斜角为135.【答案】见解析【解析】经过A3—0—5~「2)=—1，故倾斜角为135..设点A（2,—3）,B（—3,—2），直线l过点PG,1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）TOC\o"1-5"\h\z,3 , ,,3 3,.A.k>-或k<—4 B.—4<k<- C.—-<k<4 D,以上都不对4 4 4【答案】A33【解析】求得k=—4,k=-，结合图像知k的范围为k<—4或k>-PAPB4 43.直线l过点A（1,2），且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是（）【解析】如图，【解析】如图，葭=2,『0,只有当直线落在图中阴影部分才符合题意,故k 故直线l的斜率k的最大值为2.题型二直线方程.过点A（：3,1）且倾斜角为12cp的直线方程为（J=一、J=一、;3x+4y二-鼻x—2【答案】B【解析】倾斜角为12cp的直线斜率为-*；3.利用点斜式可得y—1=-、"（—V3）整理得y=—j3x+4..直线l过点（—1,2）且与直线2x—3y+4=0垂直，则l的方程是（）A.3x+2y—1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0【答案】A【解析】设l：3x+2y+1=0,代入（—1,2）.得t=-1TOC\o"1-5"\h\z.已知AG,2）,B（3,1）,则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）.A.4x—2y+5=0B.4x—2y—5=0C,x+2y—5=0D,A.4x—2y+5=03、， 1 3【解析】AB中点为M（2,）,k=—-.则中垂线斜率k=2,方程为y—-=2（x—2）.化简得:2 AB 2 24x—2y—5=04.已知直线l过点6,2）,且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程（）B.x+2y+5=0A.xB.x+2y+5=0C.2x—y=0或x+2y—5=0 D,2x—y=0或x—2y+3=0【答案】。【解析】当直线过原点时，又过点6,2）,••・所求直线方程为2x—y=0.当直线不过原点时，由已知设直线方程为3+y=1,又过点6,2）,所求直线方程为

2mmx+2y—5=0a选C题型三直线位置关系的判断.已知直线X-y-2=0与直线mx+y=0垂直，那么m的值是( ).A.-2【答案】A.-2【答案】CB.—1C.1D.2【解析】利用垂直的条件：m・1+1・(-1)=0，得m=1.若直线lj(m+3)x+4y+3m—5=0与直线12:2x+(m+5)y—8=0平行，则m的值为().13 _ _A.—— B.—1或一7 C.-6 D.-73【答案】D【解析】：11Pl2,・•.(m+3)-(m+5)=2x4,解得m=-1或—7，又当m=-1时，两条直线重合，故m=-7.3.直线+y3.直线+y=3和直线x+y=2的位置关系是A.垂直 B.相交不垂直 C.A.垂直 B.相交不垂直 C.平行【答案】A【解析】•••(3—%；2)x1+(；'2—<3)x1=0,D重合.・•・两条直线相互垂直.故选A.题型四对称与过定点1.直线2x—my+1-3m=0，当m变化时，所有直线都过定点( )A.-2,3B.2A.-2,3B.2,3C.D.【答案】D［解析】直线［解析】直线2x—my+1—3m=0,化为2x+1—m(y+3)=0，令｛(1八当m变动时，所有直线都通过定点-不,—3，故选D.I2J

.直线l:(m+n)x+(2m一n)y-m+2n=。，对任意m,ngR直线l恒过定点【答案】(一1』)【解析】去作用”(m+n)x+(2m—n)y-m+2n=0可化为：m(x+2y-1)+n(x-y+2)=0,若要让m,n“失【解析】去作用”x+2y-1=0 x=-1则｛x-y+2二0，解得｛y二1 ，即定点为(-1/)..已知直线l经过点P(6,4)，斜率为k(1)若1的纵截距是横截距的两倍，求直线1的方程；(2)若k=-1，一条光线从点M(6,0)出发，遇到直线1反射，反射光线遇到y轴再次反射回点M，求光线所经过的路程.【答案】(1)l：2x-3y=0或l:2x+y-16=0；(2)4<17.【解析】(1)由题意得k中0。直线l的方程为y-4=k(x-6),即y=k(x-6)+4，4令x=0，得y=-6k+4 令y=0，得x=-一+6TOC\o"1-5"\h\z； k, ..J4八一2 ,八•・•l的纵截距是横截距的两倍:•-6k+4=2--+6解得k=7或k=-2Ik) 3・,・直线/的方程为y=2(x-6)+4或y=-2(x-6)+4,即2x-3y=0或2x+y-16=0(2)当k=-1时，直线l的方程为x+y-10=0，设点M关于l的对称点为M1(a,b),=1.••点M的坐标为00,4),.••点M的坐标为00,4),则｛a6 ，解得｛八/a+6s八 b=4 +y-10=02M1(10,4)关于y轴的对称点为M2(-10,4),光线所经过的路程为।M2Ml=\；'(6+101+(0-4)2=4<17题型五圆的方程1.圆与直线l:4x-3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.【答案】x2+y2-10x-9y+39=0.

【解析】设圆的方程为Q—J+（J—b1=r2则圆为C(a,【解析】设圆的方程为Q—J+（J—b1=r2'Q-3)2+(b-6)2=(a-5,+(b-2)2=r2得｛b-64 x-=-1〔a-33-,9 25解得a=5,b=—,r2=—2 4・•・圆的方程为（x-5）25.求过三点A(0,5),・•・圆的方程为（x-5）25【答案】x2+y2+6x-2y-15=0.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0'5E+F+25=0因为点在圆上所以点的坐标是方程的解，把它们的坐标代入圆的方程得JD-2E+F+5=03D+4E-F-25=0'D=6，解这个方程得jE=-2，所求方程为x2+y2+6x-2y-15=0.F=-15,此题亦可先求两条中垂线，其交点为圆心，则半径可求，得到方程.若RtAABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为（-3,0）和（7,0），则直角顶点C的轨迹方程为（）A.X2+y2=25（y丰0） B.x2+y2=25C.（x-2、+y2=25（y丰0） D.（x-2、+y2=25【答案】C【解析】线段AB的中点为（2,0），因为^ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点（2,0）的距离为3ABi=5，所以点C（x,y）满足n'（x-21+y2=5（y丰0），即（x-2、+y2=25（y丰0）.21求轨迹问题应注意变量的范围.题型六直线、圆的综合问题1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离【答案】BTOC\o"1-5"\h\z一八 ，1 <2八V2 -【解析】圆心(0,0)为到直线y=X+1,即x—y+1=【解析】圆心(0,0)为到直线y=X+1,\o"CurrentDocument"<2 2 2.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线X+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )A.12 B.14 C.16 D.—8【答案】B【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y—1)2=2-a,则圆心。(-1,1),半径r满足r2=2—a,则圆心。到直线x+y+2=0的距离d=上—=v2，所以r2=4+2=2-a，故a=-41+1TOC\o"1-5"\h\z.若圆C:X2+y2=1与圆C:X2+y2-6X-8y+m=0外切，则m=( )2A.21 B.19 C.9 D.-11【答案】B【解析】由题意得C(0,0),C(3,4),r=1,r=<25-m,1 2 1 2ICC1=r+r=1+J25-m=5，