高考数学一轮总复习 题库 选修4 第2讲 不等式的证明

＋＋＜＋＋＋abcabbcabc＋＋＜＋＋＋abcabbcabc第2讲1.设不等式|2－1|＜1的解集为.

不等式证明(1)求集合；(2)若，∈，试比较＋1与＋b大小.解(1)由|2－1|＜1得－1＜2－1＜1，解得0＜＜1.所以＝{|0＜＜1}.(2)由(1)和，∈M知0＜＜1，0＜＜1，所以(＋1)－(＋)＝(－1)(－1)＞0.故＋1＞＋.1112.已知，，c均为正实数，且互不相等，且1，求证：＋＋＜＋＋.abc证明法一∵，，c为正实数，且互不相等，且＝1，∴＋＋＝

1bc

1ca

1ab

111111bccaab111＋＋＝＋＋.222111∴＋＋＜＋＋.abc11法二∵＋≥2

1＝2；ab11＋≥2

1111＝2；＋≥2＝2.bccaac111∴以上三式相加，得＋＋≥

＋＋.111又∵，，c不相等，∴＋＋＞＋＋.abc法三∵，，c不等正数，且1，111∴＋＋＝＋＋＝abc

＋ca＋ab＋bc＋＋＞2222

＋2＋2＝＋b＋.111∴＋＋＜＋＋.abc3.(2017·衡阳二联)已知函数()＝|－3|.(1)若不等式(－1)＋()＜a解集为空集，求实数a的取值范围；

a||a||a|a||a||a|(2)若||＜1，||＜3，且≠0，判断

（）与明理由解(1)因为(－1)＋()＝|－4|＋|－3|≥|－4＋3－|＝1，不等式(－1)＋()＜a解集为空集，则1≥a可，所以实数a取值范围是(－∞，1].(2)

（）＞（）证明：要证＞只需证|－3|＞|－3|，即证(－3)

2

＞(－3)

2

，又(－3)

2

－(－3)

2

＝22

－92

－2

＋9＝(2

－1)(2

－9).因为||＜1，||＜3，所以(－3)2＞(－3)2立，所以原不等式成立.4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|＋|＜b的集为{|2＜＜4}.(1)求实数，b值；(2)求＋12＋的最大值.解(1)由|＋|＜，得－－＜＜－，2，则解得，(2)－3＋12＋＝34－＋t≤[（3）2

＋1

2

][（（4－））2

＋（）2

]＝24－＋＝4，当且仅当

4－tt＝，31即＝1时等号成立，故(－3＋12＋)＝4.max5.(2015·全国Ⅱ卷)设，，，d均为正数，且＋＝＋.证明：(1)若＞，则＋＞＋；

(2)＋＞＋是|－|＜|－|的充要条件.证明(1)因为(＋)

2

＝＋＋2，(＋)2＝＋＋2，由题设＋＝＋，＞cd(＋)

2

＞(＋)

2

.因此＋＞＋.(2)①若|－|＜|－|，则(－)

2

＜(－)

2,即(＋)

2

－4＜(＋)

2

－4.因为＋＝＋，所以＞.由(1)得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)

2

＞(＋)

2

，即＋＋2＞＋＋2.因为＋＝＋，所以＞，于是(－)

2

＝(＋)

2

－4＜(＋)

2

－4＝(－)

2

.因此|－|＜|－|.综上，＋＞＋是|－|＜|－|的充要条件.6.已知，，c均为正实数.求证：(1)(＋)(＋2

)≥4；(2)若＋＋＝3，则＋1＋＋1＋＋1≤32.证明(1)要证(＋)(＋2

)≥4，可证2＋2

＋2

＋2

－4≥0，需证(2

＋2

－2)＋(2

＋2

－2)≥0，即证(－)2＋(－)2≥0，当且仅当＝＝c，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(＋)(＋2

)≥4成立.(2)因为，，c为正实数，由不等式的性质知＋1·2≤

＋1＋2＋3＝，当且仅＋1＝时，取等号，＋1·2≤22

＋1＋22

＝

＋32

，当且仅＋1＝2时，取等号，＋1·2≤

＋1＋2＋