小学数学对于推理和证明的理解偏差

小学数学对于推理和证明的理解偏差

东北师范大学史宁中教授在数学课程标准修订工作介绍时，曾提出教师要处理好合情推理与演绎推理之间的关系.要处理好它们之间的关系，就必须理解推理和证明相关内容，因为合情推理与演绎推理都属于推理与证明的范畴，通过这几年对小学数学教学的观察与研究，我发现小学数学对推理和证明的理解存在偏差，因此也很难处理好合情推理与演绎推理之间的关系.一、小学数学对“推理和证明”内容理解有偏差有一些小学数学老师一看到“推理和证明”，就会联想到初中和高中的几何证明题.事实上，我们看到下面关于“推理和证明”的知识网络（如图1所示）以后，就会比较清晰地了解推理和证明所包含的主要内容.这里要强调的是：演绎推理与直接证明有所区别，演绎推理又称三段论推理，由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论.演绎推理是“结论，可从叫做前提的已知事实，‘必然’得出的推理”.如果前提为真，则结论必然为真.直接证明，是相对于间接证明，是完全利用已知的公理进行推导，逻辑上是严丝合缝的，没有一点瑕疵，推导得出的结论的正确性是毋庸置疑的.可以用下面的例子说明它们的区别：演绎推理：（大前提）所有金属都能导电（小前提）铜是金属（结论）铜能导电直接证明：用导电实验验证铜能导电小学数学中的推理与证明以合情推理为主，当然也包括逻辑推理的渗透.如当我们学习了梯形的面积计算公式以后，在求一个直角梯形的面积时，学生自然想到用梯形的面积计算公式来计算，这就渗透了三段论的思想.二、小学数学对“推理和证明”意义理解有偏差虽然数学课程标准强调：“推理是数学的基本思维方式，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.”但我们分析数学课程标准中第一、第二学段目标不难发现，课程标准并没有把证明与推理纳入小学数学课程的要求.我们只强调通过合情推理发现新关系、新结论，而没有反问“为什么”，给学生提供说理的机会，说服自己、说服同学.我想通过下面的案例更好地说明这个问题.问题：用20块方砖（边长为10cm的正方形）拼摆出长方形图形.要求必须用上所有的20块砖.数出并记录每一个长方形的面积和周长，然后找一找并描述你发现的规律.（见表1）我们有些教师只满足于学生得到这样的规律：“瘦长”的长方形的周长最大，“胖”长方形的周长最小.我们的教师不会让学生解释其中原因，因为教师知道这个理由要到高中才会接触到，其实学生有他们自己的理由：瘦长的长方形中，有些砖的一些边在外面，把瘦长的长方形变胖以后，原来的一些边就到了里面，这样周长就变小了.学生的理由说服了所有人，包括老师.三、小学数学对“推理和证明”培养理解有偏差因为对推理与证明的意义理解存在偏差，导致小学数学在培养小学生推理与证明能力方面存在偏差：1.注重归纳推理，而忽视类比推理归纳推理利于发现新的结论，同样类比推理也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段.波利亚曾高度评价类比的作用和意义，说：“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉.”通过强调数学中的类比，我们可以帮助学生形成应用联系解决数学问题的态度，而不是把数学看成一些毫无联系的概念和技能.笔者参加一次市级教学观摩活动，课题是五年级的《梯形的面积》.其中一位教师这样引入课题：先给出一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米的梯形，让学生求出它的面积，学生通过分割、对折等多种方法求出了面积.教师利用这些求解方法，在不化简的情况下，通过归纳推理得到一个关于梯形面积公式的猜想.笔者觉得这样的设计完全忽视类比推理，割断了知识的联系.梯形面积公式推导的生长点是平行四边形面积和三角形面积的推导，即使类似于平行四边形面积的割补法不能推导出梯形的面积，作为教师也要让学生去试一试，有时候，不能证实一个方法是错的，就不能证实另一个方法是对的.2.注重数字验证，而忽视学生的理性思考当我们通过合情推理得到一个猜想以后，我们应该鼓励学生在他们已有的知识和经验基础上进行推理，而不是一味用数字验证，应鼓励学生在他们已知的基础上进行推理.下面是《一个小数乘十、百、千引起小数变化的规律》教学片断：师：知道了一个小数乘10的规律，那么我们推想一下，一个小数乘100、乘1000，小数点又会怎样变化呢？（板书）生：乘100小数点会向右移动两位，乘1000小数点会向右移动三位.师：这只是我们的推想，（在板书上打上问号）还需要验证.你打算怎样验证？生：想个小数，再算一算乘100、乘1000的结果，比较一下.师：他是这样验证的，你们呢？老师验证的方法有点不同，我也先选一个小数，先猜出结果，再用计算器验证是否正确，可以吗？那我们就来试一试.师：以5.08为例，经过研究，5.08乘100、乘1000，小数点的移动和我们的猜想一样，其他小数呢？生：还要验证.有了猜想，怎样说明猜想正确呢？除了数字验证还是数字验证，教师有没有问学生这样一个问题：乘10小数点会向右移动一位，为什么乘100小数点会向右移动两位呢？学生的回答很可能是：乘10小数点会向右移动一位，小数乘100就是小数乘10再乘10，乘10把小数点向右移动一位，再乘10再把小数点向右移动一位.学生在学习乘法分配律时，通过归纳推理得到猜想：（a+b）×c=a×c+b×c，在验证这个猜想是否正确时，教师应鼓励学生通过几何模型验证猜想，不能过分依赖数字验证.由a×c和b×c联想到长方形的面积，能不能用长方形的面积来验证这个猜想的正确性呢？可以先计算大的长方形面积，再计算两个小长方形面积的和，下面这个图（图2）直观地显示了乘法的分配律（a+b）×c=a×c+b×c确实成立，借助这个几何模型也使得该规律更加容易被记住.3.注重练习的正确性，而忽视拓展推理的空间推理与证明即使对大学本科生来说也是学习的难点，何况是小学生？这种观念导致一些人认为小学生不需要学习推理与证明，只注重习题的正确性，而不会拓展推理的空间.比如在苏教版五年级下册《公倍数与最小公倍数》的练习四第2题：4和5的最小公倍数是20，等于它们的乘积.5和6的最小公倍数是30，也等于它们的乘积.学生很容易得到下列两个猜想：（1）任何两个数的最小公倍数等于它们的乘积我们要让学生意识到，说明猜想的正确需要严格的数学证明，而要说明这个猜想不正确，只要用一个反例就可以推翻.这个猜想马上就能证明是错误的，因为4和6的最小公倍数是12，不等于它们的乘积24.当然教师也不要忽视这些“错误”的猜想，因为它又给学生提供了更多的重要的发现机会：两个数的最小公倍数什么情况下等于两个数的乘积，什么情况下不等于这两个数的乘积？（2）任意相邻的两个数的最小公倍数等于它们的乘积学生用比较小的相邻两个数来验证这个猜想时，还可以比较自信地确认，当用比较大的数目验证时，他们就没有那么自信了，教师可以引导学生利用计算器来解决验证问题，学生发现这个猜想仍然是成立的.虽然学生此时还不能用已