(北师大版)九年级数学下册

北师大版本数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系sinA=cos（90°-A）cosA=siii（90°-A）1、勾股定理：直角三角形两直角边。、〃的平方和等于斜边C的平方。a2+b2=csinA=cos（90°-A）cosA=siii（90°-A）定义表达式取值范围关系正弦.4NA的对边sinA= —— 斜边asinA=一c0<sniA<1（NA为锐角）smA=cosBcosA=smBsin2A+cos2A=1余弦,ZA的邻边斜边.bcosA=—0<cosA<1（NA为锐角）正切.,ZA的对边ZA的邻边tanA=fbtanA>0（NA为锐角）tanA=cotBcotA=tanBtanA=-!-（倒数）cotAtaiiAcotA=l余切.人ZA的邻边cotA= 4的对边AbcotA=—cotA>0（NA为锐角）2、如下图，在RtaABC中，NC为直角，则NA的锐角三角函数为（NA可换成NB）：3、任意锐角的正弦值等于它的余与勺余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。siiiA=cos5

cosA=smB|±|ZA+ZB=90°得值。siiiA=cos5

cosA=smB4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 >tanA=cot（90°-A）cotA=tan（90°-A）tanA=cotB

cotA=tanB由N4+N8=900tanA=cot（90°-A）cotA=tan（90°-A）tanA=cotB

cotA=tanB得NB=90°—NA5、0。、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）三角函数0°30°45°60°90°sine02V2"2"V3—1cosa1V32V2"2"£20tana0G31一cota一V31正30

6、正弦、余弦的增减性：当0°WaW90°时，sine随e的增大而增大，cosa随a的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<a<90°时，tana随。的增大而增大，cote随a的增大而减小。~~1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：①边的关系：ci2+b2=c2.②角的关系：a+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角：俯角：视线在水平线下方的角。（2）坡面的铅直高度力和水平宽度/的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i=:。坡度一般写成1：相的形式，如i=l：5等。把坡面与水平面的夹角记作。（叫做坡角），那么i=；=tana。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90”的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）,南偏西60”（西南方向），北偏西60“（西北方向）。1.三角形面积公式:saAABC=—be1.三角形面积公式:saAABC四边形形面积公式：S^CD=-AC^BDsmO对于菱形sme=sin90。=1,S菱形=gAC•8。2.正弦定理：在zXABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，H为AABC的外接圆的半径，则有‘一=/一=」一=2/?.sillAsinBsmC余弦定理（勾股定理只是其特殊情况）：在AABC中，有a2=/72+c2-2/jccosA,b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.正切定理:a+b韦达定理的韦达提出来的，现在作为了解A-B2正切定理:a+b韦达定理的韦达提出来的，现在作为了解A-B23•设。、b.。是AABC的角A、B、。的对边，则：①若"+犷=^,则c=90。；②若则C<90；锐角三角形③若"则C>90>钝角三角形第二章二次函数1.二次函数函数定义与表达式.一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，。工0)：.顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,"为常数，。工0)；.交点式(两根式，两点式，零点式)：y=«(x-x1)(x-x2)(〃工0,8，二是抛物线与x轴两交点的横坐标也叫零点).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与X轴有交点，即始-4加后0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化二.函数图像的性质一一抛物线(1)开口方向一二次项系数“二次函数〉=曲:+瓜+C中，〃作为二次项系数，显然4H0.当a>0时，抛物线开口向上，。的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，。的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，”决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，同的大小决定开口的大小.同越大开口就越小，|。|越小开口就越大.-x2y--2x2-x2y--2x2（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线「一般式：x=—2 「一般式：（__L,4i2a 2a4a对称轴V顶点式：X二h 顶点坐标［顶点式：（h,k）两根式：x二七上 |两根式：I 2 I 2 4 7（3）对称轴位置:一次项系数b和二次项系数〃共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）。与b同号（即〃b>0）<=>对称轴在y轴左侧。与b异号（即ab<0）<^=>对称轴在y轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当XC-2时），y随着x的增大而减少：在对称轴右侧（当2a1 1 a 12X>—一时），y随着X的增大而增大；函数有最小值，并且当X二-一，丁皿=“：一.2cl 2a 4。当a<0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而增大；在对称轴右侧（当2a工>一2时），y随着x的增大而减少；函数有最大值，并且当x:-2,标2a 2a-4a（5）常数项c：常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0,c）。（6）a\b\c符号判别:二次函数>=aF+6x+c（a#0）中a、b、c的符号判别：（1）”的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，o>0；当开口向下时，«<0；（2）。的符号判别由与y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c>0;若交点在x轴的下方，则cVO；b的符号由对称轴来确定：对称轴在y轴的左侧，则a、b同号；若对称轴在y轴的右侧，则a、b异号；（7）抛物线与x轴交点个数△=/r-4ac〉0时，抛物线与x轴有2个交点。这两点间的距离AB=|%—羽|=^—―一-⑷△二-4*=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点在x轴上。△二/4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。1,当。>0时，图象落在x轴的上方，无论％为任何实数，都有y>0:2，当。<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有><0.（8）特殊的①二次函数y=ax2+bx+c（aHO）与x轴只有一个交点或二次函数的顶点在x轴上，则△二b"4ac=0：②二次函数）=aF+/»+c（aKO）的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于y轴对称，则b=0；③二次函数>=a「+以+c（a70）经过原点，则c=0：

三、平移、平移步骤：（D将抛物线解析式转化成顶点式一"）确定其顶点坐标C）；（2）左右平移变h,左加右减；上下平移变k,上加下减。“左加右减，上加下减。”四、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.五、二次函数解析式中各参数对图象的影响a—开口方向与开口大小（即决定抛物线的形状）h—顶点横坐标即对称轴的位置（沿x轴左右平移：“左加/右减”）k—顶点纵坐标即最—值的大小（沿y轴上下平移：“上加/下减”）b-与。一起影响对称轴相对于y轴的位置（“左同/右异”）（——与y轴交点（0,c）的位置（c>0时在X轴上方；c<0时在x轴下方；c=0时必过原点）特殊点纵坐标的位置:如（1,。+He）、（T,〃-Hc）等六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系3#0）七、二次函数的最值——看定义域定义域为全体实数时，顶点纵坐标是最—值；定义域不包含顶点时，观察图象确定边界点，进而确定最值八、抛物线对称变换前后的解析式 关于y轴对称 y^aj^+bx+c* -y=ax2-bx+c一x互为相反数图9y互为相反数关于x轴对称图9y互为相反数关于x轴对称x、y互为将《数y=-ax2-bx-cy=-ax2+bx-c二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.关于X轴对称y=aF+取+C关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c\），="工一力『+女关于九轴对称后，得到的解析式是），=-a（x—〃丫一女：.关于y轴对称V=ax2++C关于y轴对称后，得至U的解析式是y=ax2-bx+c；

+k关于），轴对称后，得到的解析式是产n（x+炉+k；.关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c\y= 关于原点对称后，得到的解析式是），=-〃（％+〃『-k；.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°））,=6+以+C关于顶点对称后，得至IJ的解析式是>，=—«?-历+C—2；2a）,=。*一/炉+4关于顶点对称后，得到的解析式是），= "+k..关于点（〃?，〃）对称y=a（x-/i）2+k关于点（〃?，〃）对称后，得到的解析式是y=-a（x+h-2m）2+2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此同永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开II方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开II方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.九.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与“轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数），=。/+法+。中a、b、c的符号，或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或己知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个。第三章III第三章III.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为："过圆心 >垂直于弦直径《平分弦 、知二推三平分弦所对的优弧I平分弦所对的劣弧J.圆的对称性1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。.弧、弦、弦心距、圆心角（弧的度数）、圆周角之间的关系定理圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所

对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆周角、圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。5点和圆的位置关系:设0O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有：d<r<=>点P在。O内；d=i<=>点、P在。O上；d>i<=>点、P在0O外。.过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 八—口即：在。。中，■.・四边形ABCQ是内接四形，NC+4A3=180。 /・ZZ?+Zr>=180°,ZDAE=ZC B.反证法：先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。.直线与圆的位置关系具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；2相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，3相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果。0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,那么：直线1与。0相交Od<r；直线1与。0相切Od=r；直线1与。0相离Od>r：9.切线的判定和性质 /1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 夕尸的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 一行1。切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线相等，圆心和产■-、工这一点的连线平分两条切线的夹角，并且OP垂直平分ABo B”切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。.三角形的内切圆1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。.圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。

如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距o3、圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和］,圆心距为d,那么两圆外离Od>R+i,两圆外切Od=R+r,两圆相交OR-