高一数学第2讲 平面向量(知识点串讲)

第讲面向量（知点串讲）知整1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的叫做向量，向量的大小叫做向量的长(或)(2)零向量：长度为0的量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反非零向量．平行向量又叫共线向.规定0与任向量平.(5)相等向量：长度相等且方向同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向反的向量．例、判断下列结论的正(正确的打“√”，错误的打“×)(1)向量不能比较大小，但向量的可以比较大小()→→→(2)＝OA－OB.()→→(3)向量B向量CD是共线向量，则，，，四在一条直线上()(4)已知，是两个非零向量，当a，共时，一定有＝λ为数，反之也成()【答案】(1)√√

×√[跟踪训练→→有列命题①两个相等向量们的起点相同终点也相同②若＝b则＝③＝DC，四边形是行四边形；④若n，＝k，则k⑤若abbc则a∥；有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数()A2C．

B3D．【答案C[|b→→→→ab|DCABn∥bb∥b0∥4]知整2．向量的线性运算向量运算加法

定义求两个向量和的运算

法则(或几何意义)三角形法则

运算律交换律a＋＝＋；结合律：ab)＋＝＋＋)

→→→→平行四边形法则减法数乘

求与b的反向量的和的运算求实数λ与向量的的运算

三角形法则|||λa，λ＞时λa与的方向相同；当＜时，a与的向反；λ＝时λ＝0

a－b＝＋－)λ(μa)＝λ)；(λ＋μ)＝λa＋a；λa＋b＝aλb3．平面向量基本定理如果ee是一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实λ

，λ，使a＝＋λe.其中，不共线的向量，叫做表示这一面内所有向量的一组基.→→→例2(2019·山东营检)如图所示BC＝CDO在段上且不端点CD重AO→→＋－)，实数m的值围为_【答案】－，[OkBCk→→→→→→→→→→AOACkBCAC(AC)(1)ACkAB→→→OmAC.1k，.][跟踪训练2(2019·山潍坊调)如图在行四边形ABCD中交于点E为段中点若→→→BE＋BD(，∈R)，则＋等()A1C．

BD．

→→1→→11→→→11→→1→→11→→→11322→→→→→→→1→→t【答案B[AOBABDλBAλ＋.]知整4．共线向量定理向量a(a≠与共，当且仅当有唯一一个实λ，使＝λa(1)一般地尾次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量＋AAA＋…，别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和零向量．n→1→→(2)若P为线AB的中点，为平面内任一点，＝OAOB)．2(3)＝＋(，为实)，若点A，，共，则＋＝1.→→→→→例、山东青州月考)已知O△内一点，且AO＋，＝tAC若B，OD三点共线，则t值为)AC．

BD．【答案B[BC→→→OCOM→→→→→2AOO→1→→OAM(AB)4AB4BD.]4t3[跟踪训练、设两个非零向量a与不线．→→→(1)若AB＝a＋b，＝＋，＝a)，求证：A，，三共线；(2)试确定实数k，使kab和＋kb线．→→→【答案】(1)证明ABabab)→→→BDBCCD2a8b)→283a3b5(ab5

→→xy2→1→→xy2→1→→→→AD(2)kabkλ(a)()(λk1).abkλk0.kk知整5．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向及向量的模：设a＝，，＝(，y，a＋＝x＋，，a－＝－，－)，λ＝λx，λ，a＝＋(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x，)，(，)则＝(－x，－)||＝

x－

y－

.6．平面向量共线的坐标表示x设a＝，，＝(，y，中b≠，a∥b＝.y－＝→→→例、(2019·山潍)如图，正方形ABCD中EDC的点，E＝＋，则λ＋的为()A

B－C．【答案A

D．→→→→→1→→1→1[AEADABABACλABx)1(0,0)B(1,0)CE1μ(1,1)μ.]

1AEAC(1,1)

→→|→→|b|[跟踪训练、(2019·东青岛调研已知向量＝(－，＝，m，若∥＋)则＝()A2C．【答案D

B2D．[a(1,1)b)ab1)∥ab(

1)m知整7．向量的夹角已知两个非零向量和bOa＝则就向量a与b的夹角向量夹角的范围是，π].8．平面向量的数量积定义投影几何意义

设两个非零向量ab的角θ，则数||||cosθ叫ab的量积，记作b||cosθ叫向量a在b方向的投影，||cosθ叫向量b在a方向的投影数量积ab等a的长|与b在的向上的投影|cosθ的乘积9．(1)平向量数量积的运算律①交换律：·＝·；②数乘结合律：(ab＝λ(a·)＝·(λ)；③分配律：·＋c＝a·b＋·c(2)平面向量数量积运算的常用式①a＋·a－)＝－.②(a＋b＝＋a＋b.③ab＝a－b＋

.10．平面向量数量积的性质及其标表示设非零向量＝(，)，＝，，θ＝〈，b结论模数量积

几何表示|a＝·＝ab|cosθ

坐标表示|a＝x＋a·b＝x＋yy夹角

cosθ＝

a·b

cosθ＝

xx＋yx＋·x＋a⊥·b＝＋＝|·b与ab的系|·b≤|a||b|

|x＋y|≤＋·x＋y

2222注个向量a的角为锐角·>0且不线个量ab的夹角为钝a<0且a，b不线．例5(2018·天卷)如图，在平面四边形中⊥，⊥，∠＝120°，AB＝＝→→若点E为边CD上动点，的最小值为()AC．

BD．【答案A[DACCAD60°→ACDACB30°D(0,0)(1,0)CE)(0≤y≤(1→3y)－，y→→33BE＋y

→→[跟踪训练→→→、(2018·天