2022-2023学年安徽省合肥市庐江县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市庐江县八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）.1．下列各式中，属于二次根式的是（）A． B．﹣2x C． D．2．在▱ABCD中，已知∠A+∠C＝160°，则∠A＝（）A．40° B．60° C．80° D．100°3．化简的正确结果是（）A．3 B．2 C．2 D．44．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（）A．5 B．9 C．16 D．255．下列计算错误的是（）A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°7．如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当a＝90时，按此规律b的值为（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，若AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A． B．20 C． D．229．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（）A． B． C． D．10．如图，在菱形ABCD中，E，F，P分别是直线AB，CD，BC上的动点（E，F不与B，C重合），连接PE，PF，G，H分别为PE，PF的中点，连接GH．若∠ABC＝45°，AB＝2，则GH的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．如图，A（6，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为．13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F，点G为DF的中点．若∠BAG＝90°，则∠DBC＝°．14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）CE+CG＝；（2）若CG＝3，则矩形DEFG面积＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：．16．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点△ABC（△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），易知AB＝，BC＝，AC＝．（1）请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点△DEF，使得DE＝，EF＝2，DF＝；（2）判断△DEF的形状，说明理由．18．如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DE⊥DF．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）连接EF，若AE＝a，AD＝b，DE＝c，请利用图2验证勾股定理．六、（本题满分12分）21．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？七、（本题满分12分）22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，则△AOE的面积为．八、（本题满分14分）23．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD中点．过O点的直线与矩形的一组对边AB，CD分别相交于点F，E．（1）求证：OE＝OF；（2）点B′与B关于直线EF对称，连结BE，DB′，EB′，OB′．①求证：DB′∥OE；②若AB＝8，BC＝4，且四边形OEB′D是平行四边形，求线段EF长．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列各式中，属于二次根式的是（）A． B．﹣2x C． D．【分析】根据二次根式的定义即可得到答案．解：由题意可知：A．是二次根式形式，符合题意；B．﹣2x，不是二次根式形式，不符合题意；C．是三次根式，不符合题意；D．，被开方数小于0，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．2．在▱ABCD中，已知∠A+∠C＝160°，则∠A＝（）A．40° B．60° C．80° D．100°【分析】根据平行四边形的对角相等和∠A+∠C＝160°，可以求得∠C的度数．解：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确平行四边形的对角相等．3．化简的正确结果是（）A．3 B．2 C．2 D．4【分析】把12写出4×3，然后化简即可．解：＝＝＝2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质，把12分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（）A．5 B．9 C．16 D．25【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴正方形ABDE的面积＝AB2＝52＝25，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．下列计算错误的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的加减、二次根式的乘除运算法则分别判断得出答案．解：A．+无法合并，故此选项符合题意；B．×＝，故此选项不合题意；C．÷＝，故此选项不合题意；D．＝3，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝65°，∵CE＝EB，∴DE＝CE＝EB，∴∠EDC＝∠ECD＝65°，∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故选：D．【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如表中a，b，c组成的五组“勾股数”反映出一定的规律，那么当a＝90时，按此规律b的值为（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b的值即可．解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即90＝2×（43+2），b依次为8，15，24，35，48，…，即当a＝90时，b＝452﹣1＝2024．故选：C．【点评】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出b＝（n+2）2﹣1解此题的关键．8．如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，若AC⊥AB，AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A． B．20 C． D．22【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，由勾股定理求出OB是解决问题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（）A． B． C． D．【分析】连接CM，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，根据线段垂直平分线的性质可得CM＝AM，设AM＝CM＝x，在Rt△CDM中，根据勾股定理列方程，求出x的值，即可确定AM的长．解：连接CM，如图所示：在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，∴CM＝AM，设AM＝CM＝x，则DM＝6﹣x，在Rt△CDM中，根据勾股定理，得32+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AM＝，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．10．如图，在菱形ABCD中，E，F，P分别是直线AB，CD，BC上的动点（E，F不与B，C重合），连接PE，PF，G，H分别为PE，PF的中点，连接GH．若∠ABC＝45°，AB＝2，则GH的最小值为（）A． B． C． D．【分析】连接EF，作CK⊥AB于K，由三角形中位线定理得到，当EF最小时，GH最小，当EF⊥AB时，EF的长最小，而EF＝CK，求出CK的值即可解决问题．解：连接EF，作CK⊥AB于K，∵G，H分别为PE，PF的中点，∴GH＝EF∴当EF最小时，GH最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴当EF⊥AB时，EF的长最小，∵CK⊥AB，AB∥CD，∴此时EF＝CK，∵∠ABC＝45°，∴△CBK是等腰直角三角形，∴CK＝×2＝，∴GH的最小值是．故选：D．【点评】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由中位线定理得到，当EF⊥AB时，GH最小．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥6．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．解：由题意可得x﹣6≥0，解得x≥6，故答案为：x≥6．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．12．如图，A（6，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（0，2）．【分析】根据已知可得AB＝AC＝8，OA＝6．利用勾股定理即可求解．解：∵A（6，0），C（﹣2，0），∴OA＝6，OC＝2，∴AB＝AC＝8，在Rt△ABO中，OB＝＝＝2．∴B（0，2）．故答案为：（0，2）．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．13．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，交对角线BD于点F，点G为DF的中点．若∠BAG＝90°，则∠DBC＝30°．【分析】由菱形的性质得AB＝AD，AD∥BC，则∠ABD＝∠ADB，∠DAF＝∠AEB＝90°，而∠BAG＝90°，所以∠BAF＝∠DAG＝90°﹣∠FAG，因为点G为DF的中点，所以AG＝DG＝DF，则∠DAG＝∠ADB，所以∠BAF＝∠ABD＝∠ADB，可推导出∠AFD＝2∠ABD＝2∠ADB，则2∠ADB+∠ADB＝90°，所以∠DBC＝∠ADB＝30°．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE⊥BC于点E，∴∠DAF＝∠AEB＝90°，∵∠BAG＝90°，∴∠BAF＝∠DAG＝90°﹣∠FAG，∵点G为DF的中点，∴AG＝DG＝DF，∴∠DAG＝∠ADB，∴∠BAF＝∠ABD＝∠ADB，∴∠AFD＝∠BAF+∠ABD＝2∠ABD＝2∠ADB，∵∠AFD+∠ADB＝90°，∴2∠ADB+∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠ADB＝30°，故答案为：30．【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠BAF＝∠ABD＝∠ADB是解题的关键．14．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）CE+CG＝4；（2）若CG＝3，则矩形DEFG面积＝5．【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，得矩形DEFG是正方形，证明△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝4；（2）由（1）得AE＝CG＝3．过点E作EQ⊥AD于点Q，求AQ，利用勾股定理求出DQ，即可求得AD，即可得答案．解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD于点M，N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×2＝4；故答案为：4；（2）如图，过点E作EQ⊥AD于点Q，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴∠EAQ＝45°，∴AQ＝EQ，∴AE＝AQ＝3，∴AQ＝，∴DQ＝AD﹣AQ＝2﹣＝，在Rt△DQE中，根据勾股定理得：DQ2+EQ2＝DE2，∴+＝DE2，∴DE2＝5，∴正方形DEFG面积＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：．【分析】先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．解：原式＝+﹣4×＝+﹣＝3+﹣＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．16．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．解：设旗杆高度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，答：旗杆的高度为17m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点△ABC（△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），易知AB＝，BC＝，AC＝．（1）请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点△DEF，使得DE＝，EF＝2，DF＝；（2）判断△DEF的形状，说明理由．【分析】（1）根据勾股定理作图；（1）根据勾股定理的逆定理进行判断．解：（1）如图②，△DEF即为所求；（2）△DEF为直角三角形；理由：∵DE2+EF2＝DF2，∴△DEF为直角三角形．【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．18．如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是矩形．【分析】先证四边形BECF是平行四边形，再证∠BEC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣90°＝90°，∴平行四边形BECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝2；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，先列出关于a的等式，再求出a；（2）根据共轭二次根式的定义，先列出关于m的方程，求解即可．解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，∴＝4．∴a＝＝2；故答案为：2；（2））∵与是关于12的共轭二次根式，∴．∴18+6+3m+3m＝12．∴m（3+3）＝﹣6﹣6．∴m＝﹣2．【点评】本题主要考查了二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则，理解共轭二次根式的定义是解决本题的关键．20．如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DE⊥DF．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）连接EF，若AE＝a，AD＝b，DE＝c，请利用图2验证勾股定理．【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形的性质，可以得到AD＝CD，∠DAE＝∠DCF，∠ADE＝∠CDF，然后根据ASA可以证明△ADE≌△CDF；（2）根据等面积法，化简整理，即可证明勾股定理．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DCB＝90°，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠DCF＝90°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA）；（2）由图可知，S△ADE+S△EDF+S△EBF＝S正方形ABCD+S△DCF，∵AE＝a，AD＝b，DE＝c，△ADE≌△CDF，∴S△EDF+S△EBF＝S正方形ABCD，∴＝b2，化简，得：a2+b2＝c2．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．六、（本题满分12分）21．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．解：（1）着火点C受洒水影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，∴着火点C受洒水影响；（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飞机的速度为10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴着火点C能被扑灭，答：着火点C能被扑灭．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．七、（本题满分12分）22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，则△AOE的面积为．【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA，再证∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得BC＝AB＝，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝3，然后由菱形面积求出CE＝，进而由勾股定理得BE＝，则AE＝AB+BE＝，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AB＝D