第七次复数项级数幂级数

第七次复数项级数幂级数演示文稿现在是1页\一共有36页\编辑于星期一（优选）第七次复数项级数幂级数现在是2页\一共有36页\编辑于星期一1.复数列的极限定义例如现在是3页\一共有36页\编辑于星期一2.复数项级数的概念（1）定义设有复数列：

例如：现在是4页\一共有36页\编辑于星期一（2）复数项级数收敛的等价条件：证明

由定理1，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。现在是5页\一共有36页\编辑于星期一（3）级数收敛的必要条件（4）定义例如：例如：现在是6页\一共有36页\编辑于星期一（5）绝对收敛级数的性质证明性质1.现在是7页\一共有36页\编辑于星期一

?性质2.证明性质3性质4现在是8页\一共有36页\编辑于星期一解例1现在是9页\一共有36页\编辑于星期一§3.2复变函数项级数1.复变函数项级数的概念

2.一致收敛的概念与性质现在是10页\一共有36页\编辑于星期一1.复变函数项级数的概念定义设有复变函数列：为复变函数项级数。复变函数项级数的前n项的和称为复变函数项级数的部分和。现在是11页\一共有36页\编辑于星期一现在是12页\一共有36页\编辑于星期一命题：现在是13页\一共有36页\编辑于星期一2.复变函数项级数一致收敛概念与性质

（1）定义：

（2）性质：性质（i）现在是14页\一共有36页\编辑于星期一性质（ii）（外尔斯特拉斯定理）：证明：见P81.现在是15页\一共有36页\编辑于星期一例2证明复变函数项级数在z平面上一致收敛。例3设复变函数项级数见P108题2现在是16页\一共有36页\编辑于星期一1.幂级数的概念

2.收敛定理

3.收敛圆与收敛半径

4.收敛半径的求法§3.3幂级数现在是17页\一共有36页\编辑于星期一1.幂级数的概念例如：现在是18页\一共有36页\编辑于星期一2.幂级数收敛定理定理(阿贝尔(Able)定理）.,,)(001级数必发散的则对满足发散在若幂级数⑵zazazzzazcnnn->-=-å¥=证明：见P82。现在是19页\一共有36页\编辑于星期一3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，则幂级数在复平面上处处收敛。(ii)除z=a外，对所有的正实数都是发散的，这时，幂级数在复平面上除z=a外处处发散。现在是20页\一共有36页\编辑于星期一显然，<.否则，幂级数将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故现在是21页\一共有36页\编辑于星期一

(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能有收敛点，也可能有发散点，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数的收敛范围是以a为中心，R为半径的圆域。现在是22页\一共有36页\编辑于星期一4.收敛半径的求法比值法（阿贝尔）

根值法（柯西）注：对于“缺项”幂级数，也有相应的比值法与根值法。现在是23页\一共有36页\编辑于星期一例4解

综上现在是24页\一共有36页\编辑于星期一例5求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)

综上该级数发散。该级数收敛，现在是25页\一共有36页\编辑于星期一故该级数在复平面上是处处收敛的.现在是26页\一共有36页\编辑于星期一例6答案：现在是27页\一共有36页\编辑于星期一例7求幂级数的收敛半径与收敛圆.答案：例8答案：现在是28页\一共有36页\编辑于星期一1.幂级数的和函数的解析性

2.解析函数展开成幂级数

3.展开式的唯一性§3.4解析函数与幂级数现在是29页\一共有36页\编辑于星期一1.幂级数和函数的解析性命题1

幂级数的和函数是解析函数.证明：（见教材P84~85

）现在是30页\一共有36页\编辑于星期一现在是31页\一共有36页\编辑于星期一证：例7现在是32页\一共有36页\编辑于星期一2.解析函数展开成幂级数（泰勒级数）（1）泰勒级数现在是33页\一共