03讲-弹性力学基本方程

2023/4/241王正华大学热能工程系Dept.ofThermalEngineeringTsinghuaUniversity第三章 弹性力学基本方程BasicEquationsofElasticityMechanics

弹性力学问题微分提法的基本思想弹性力学问题基本方程边界条件的提法弹性力学问题举例

几何方程（应变-位移关系）应变协调方程位移场的单值性条件

本构方程（应力-应变关系）广义胡克定律弹性关系（材料的应力-应变关系）2023/4/242王正/p>

典型平面问题分析平面应力和应变问题实例分析弹性力学基本方程BasicEquationsofElasticityMechanics2023/4/243王正变-位移关系：六个应变分量通过六个几何方程与三个位移分量相联系，在给定应变后，可由几何方程积分求位移。但存在一定问题，以三维为例，方程数目为6个，而位移分量有3个，方程数目多于未知函数的数目，因此任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位移，所以需要补充方程才能使原问题有解。只有当给定的应变分量满足某种可积条件，才能求得单值连续的位移场。这种可积条件称为应变协调关系，对应方程称为应变协调方程。应变协调方程CompatibilityEquationsofStrain2023/4/244王正应变张量的二阶偏导数为

把两个分量指标和两个导数指标双双对换可得同样经过指标对换可以得到根据偏导数与求导顺序无关，可得应变协调方程CompatibilityEquationsofStrain2023/4/245王正/p>

81个

27个

9个

6个

圣维南恒等式应变协调方程CompatibilityEquationsofStrain2023/4/246王正变协调方程CompatibilityEquationsofStrain2023/4/247王正体的变形可以用位移矢量场(三个位移分量)来描述，也可用应变张量场(六个应变分量)来描述。当用位移描述时，只要位移函数连续且存在三阶以上连续偏导数，协调方程就自动满足。当用应变描述时，六个应变分量必须首先满足协调方程。只有从协调的应变场才能积分几何方程，得到相应的位移场。为使变形后的微分单元体仍能重新组合成连续体，应变分量必须满足一定的关系，这一关系就是应变协调方程。二维平面应变问题只有一个协调方程应变协调方程CompatibilityEquationsofStrain2023/4/248王正域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而收缩成一个点，则这种域称为单连通域，否则为多连通域。对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中去，仅当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域。位移单值性条件

ConditionsofDisplacementMonodromy2023/4/249王正位移的单值连续性出发导出了应变协调方程，从而证明应变协调是保证位移单值连续的必要条件。下面将证明单连通域中应变协调方程是位移场函数单值的充分条件。对于单连通域中的任意闭合曲线L应当满足位移单值性条件

ConditionsofDisplacementMonodromy2023/4/2410王正于多连通域的情况，可先用n-1个切口将连通域化为单连通的基域,只要满足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，在切口处除了满足协调方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。位移单值性条件

ConditionsofDisplacementMonodromy2023/4/2411王正构关系是材料的变形与所受应力之间的关系，是材料本身所固有的性质。本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。下面讨论不考虑热效应的线弹性本构关系，即应力分量与应变分量之间存在线性关系，称之为广义胡克定律。在线弹性本构关系中含有两个假设：第一是弹性体的响应仅依赖于当前的状态；第二是弹性体当前状态可以用一个矩阵来表示。本构关系ConstitutiveRelation2023/4/2412王正材料力学中曾学过，单向应力情况下的胡克定律为

在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短和纵向相对伸长成正比，因缩短与伸长的符号相反，有剪应力与剪应变的关系为本构关系ConstitutiveRelation2023/4/2413王正虑在正应力作用下沿x轴的相对伸长，它由三部分组成由前面的讨论，可知得到本构关系ConstitutiveRelation2023/4/2414王正合结果为本构关系ConstitutiveRelation逆本构关系(弹性关系)为2023/4/2415王正于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和μ；用薄壁筒扭转试验来测定G;用静水压试验来测定体积模量K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)，所以若设，则主应力之和与体积变化率之比趋于零，称为不可压缩材料，相应的剪切模量为。对实际工程材料的测定值都在的范围内。本构关系ConstitutiveRelation2023/4/2416王正：1D拉压杆问题Example如图所示的1D杆结构，试建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。已知：解：2023/4/2417王正：1D拉压杆问题Example

2023/4/2418王正衡方程几何方程应变协调本构关系逆本构关系弹性力学基本方程BasicEquationsofElasticityMechanics第一组选择基本未知量为(6)、

(6)、

(3)，方程选择为平衡方程 (3)几何方程 (6)本构关系 (6)有15个未知量和15个方程，二者数目相同，可以进行求解。2023/4/2419王正性力学基本方程BasicEquationsofElasticityMechanics第二组选择基本未知量为(6)、(6)，方程选择为平衡方程 (3)协调方程

(6)本构关系

(6)有12个未知量和15个方程，但协调方程自身有重叠，可以由6个缩减为3个，这样二者数目相同，可以进行求解。2023/4/2420王正性力学基本方程BasicEquationsofElasticityMechanics为了求得前面列出的弹性力学偏微分方程的唯一解，还必须给出定解条件，即相应的边界条件。1、处处给定外部作用力的力边界条件。域内应力场的边界值应满足柯西公式2、处处给定位移约束的位移边界。域内位移场的边界值应等于给定边界值2023/4/2421王正界条件

BoundaryCondition在部分边界上给定外力，部分边界上给定位移的混合边界。这时要求首先在边界面上处处都应给定力或位移边界条件，不能有遗漏，其次在已经给定力(或位移)边界条件的地方不能再指定相应的(即作用点和分解方向相同的)位移(或力)边界条件，否则若两者相矛盾则无解，若两者不矛盾则有一个条件是多余的。2023/4/2422王正界条件

BoundaryCondition除了以上三种边界情况外，还存在边界同一位置，给定部分位移分量和部分面力分量，或者给定边界力与边界位移间弹性关系的弹性边界对于弹性动力学问题，还应给出初始条件，即t=0时刻的位移分量和速度分量。2023/4/2423王正界条件

BoundaryCondition2023/4/2424王正弹性力学中常利用对称性条件来消掉部分未知量。对称载荷作用时，在物体对称面上，所有对称场变量的一阶导数等于零，所有反对称场变量的值等于零；在反对称载荷作用时，在物体对称面上，所有反对称场变量的一阶导数等于零，所有对称场变量的值等于零。边界条件

BoundaryCondition水坝问题水坝夹于山体中受静水压与自重，水坝由于受到山体的限制不能移动，简化平面应变问题

z方向上位移为零

x=-a面正压力

y=b面位移为零

其余为自由面

体力为重力2023/4/2425王正性力学问题举例ExampleofElasticity无约束旋转柱体问题一个两端无约束的旋转柱体，可以忽略柱体轴向情况，仅考虑柱体一个切面上的变形与受力

柱体两端面自由

柱体周边为自由面

轴心处固定不动

离心力为体力2023/4/2426王正性力学问题举例ExampleofElasticity2023/4/2427王正性力学问题举例ExampleofElasticity注水圆桶问题一个静止不动的注水圆桶，圆桶只受到径向的水压，与圆周方向无关，为轴对称问题，可忽略转角。2023/4/2428王正型平面问题分析2-DimensionalProblem弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。2023/4/2429王正型平面问题分析-平面应力问题

Typicalplaneproblemanalysis-planestressproblem

厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：

另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：

于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即，所以