四川省绵阳博美实验有限公司2022-2023学年高一年级下册学期开学考试数学试卷

绵阳市博美实验高中2022级高一下开学考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3.考试结束后将答题卡收回。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．下列说法正确的是：（

）A．终边在轴上的角的集合为B．第三象限角的集合为C．第二象限角大于第一象限角D．角与角是终边相同角3．函数的定义域为（）A． B．C． D．4．若角的终边过点，则的值为（

）A． B． C．1 D．5．下列各组中两个值大小关系正确的是（

）A． B．C． D．6．函数的图像为（

）A．B．C．D．7．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以直接完成的无字证明为（

）A． B．C． D．8．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．下列判断正确的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）10．关于函数，下列说法正确的是（

）A．直线为其一条对称轴B．点为其一个对称中心C．在区间单调递减D．在区间单调递减11．若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．12．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（

）A．函数关于直线对称B．4是函数的周期C．D．方程恰有4不同的根三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数的零点是_________．14．若幂函数为减函数，则实数的值为______.15．若正实数、满足，则的最小值为______.16．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为__________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(10分)计算：(1)(2)．18．已知(1)化简.(2)已知，求的值.19．已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元.(1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式；(2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？21．已知函数．(1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；(2)试用函数单调性的定义证明：在（-1，＋∞）上是增函数；(3)求函数在区间［1，4］上的值域．22．已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设.（1）求，的值（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.参考答案：1．B【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：B.2．A【分析】根据终边相同角的表示可判断A，D；根据象限角的概念与表示可判断B，C．【详解】对于A，终边在轴上的角的集合为，即，即，故A正确；对于B，第三象限角的集合为，故B错误；对于C，是第二象限角，是第一象限角，，故C错误；对于D，，与终边不同，故D错误．故选：A．3．B【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】由已知得，解得且，所以函数的定义域为.故选：B4．D【分析】先由三角函数的定义得到，再代入计算即可.【详解】由三角函数的性质可得，故选：D.5．A【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.【详解】对于选项A、B：由正切函数的单调性可得，，则A正确，B错误；对于选项C：，则根据正弦函数的单调性可得，则C错误；对于选项D：根据余弦函数的单调性可得，则D错误；故选：A.6．D【分析】利用函数的奇偶性和时函数的单调性求解即可.【详解】因为，所以为奇函数，排除A，因为当时，因为在时单调递增，所以此时单调递增，排除BC，显然选项D符合题意，故选：D7．C【分析】由图形可知用a、b表示出OF、OC，在中由勾股定理可求CF，根据即可得出结论．【详解】由图形可知：，．在中，由勾股定理可得：．，．．故选：C．8．A【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.【详解】，，即，由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，由于函数为偶函数，则，即，故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.9．BCD【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.【详解】对于选项A，，A错误；对于选项B，因为，所以，B正确；对于选项C，，C正确；对于选项D，因为，，所以，D正确；故选：BCD.10．ABD【分析】四个选项都采用代入的方法，结合函数的性质和图象，即可判断选项.【详解】A.当时，，所以直线为其一条对称轴，故A正确；B.当时，，所以点为其一个对称中心，故B正确；C.当时，，当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故C错误；D.当时，，所以函数单调递减，故D正确.故选：ABD11．ABD【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：因为是偶函数，所以，即所以关于对称，故A正确.对于B：因为，所以，所以，即周期，故B正确对于C：所以，故C错误；对于D：因为，且关于直线对称，根据对称性可以作出上的图象，又，根据对称性，可作出上的图象，又的周期，作出图象与图象，如下图所示：所以与有4个交点，故D正确.故选：ABD12．CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图（1）所示，由已知得，；当时，的图象如图（2）所示，由已知可得，，结合可得无解．综上可知的取值范围为．故选：．13．1和3【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解【详解】依题意，令，解得：或，故答案为：1和3.14．【分析】先根据函数是幂函数求出的值，再代入验证即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，，满足在区间上是减函数，当时，，不满足在区间上是减函数，故答案为：15．3【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为正实数、满足，所以，当且仅当，则，即，时取等号，即的最小值为.故答案为：16．【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，由解得.画出的图象如下图所示，令，由图象可知与有两个公共点时，或；与有一个公共点时，；与有三个公共点时，.依题意，的零点个数为4，对于函数，由于，的两个零点，全都在区间或区间，或一个在区间一个在区间，所以或或，解得或或，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.17．(1)4(2)5【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；（2）根据对数的运算性质求解即可．【详解】（1）．（2）．18．(1)；(2).【分析】（1）根据诱导公式直接计算化简即可；（2）根据齐次式求解即可.【详解】（1）解：根据诱导公式得：（2）解：由（1）知，因为，所以19．(1)(2)【分析】（1）由交集，补集的概念求解，（2）转化为集合间关系后列式求解，【详解】（1）当时，，，则,，（2）由题意得是的真子集，而是非空集合，则且与不同时成立，解得，故a的取值范围是20．(1)(2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；（2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求.【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元，利润为，解得，则.（2）当，，，对称轴为，则函数在，上单调递增，故当时，，当，时，当且仅当，即时取等号，因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.21．(1)函数不具有奇偶性；理由见解析；(2)证明见解析；(3)［-，1］.【分析】（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；（2）任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2，通过计算f（x1）-f（x2）的正负来判断单调性；（3）通过函数在区间［1，4］上的单调性求得最值即可.【详解】（1）由已知，故函数定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性；（2）证明：==，任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2f（x1）-f（x2）＝（2-）-（2-）＝-=＝，又由-1＜x1＜x2，则x1-x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f(x)在（-1，＋∞）是增函数；（3）由（2）知，f(x)在［1，4］上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝-，f(x)max＝f（4）＝1，故f(x)在［1，4］上的值域是［-，1］．22．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）判断函数在上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得；（2）设，利用分离参数法，题中问题为在上有解，求出的最大值即可得．（3）把方程化简，并设，方程化为，结合图象，方程有两个实数解，则有，，或，，利用二次方程根的分布知识求得的范围．【详解】（1）由题意，又，∴在上单调递增，∴，解得．（2）由（1），，时，