四川省达州市万源中学2022-2023学年高二年级下册学期入学考试数学（理科）试题【含答案】

四川省万源中学2022-2023学年第二学期高二入学考试数学（理科）一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在中，“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也又非必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】在中，，所以“”是“”的充要条件.故选：C2.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数诱导公式即可求得的值.【详解】故选：C3.在中，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算的几何表示结合条件即得.【详解】∵，∴，又∴.故选：B.4.已知等比数列的前n项和为，若，则（）A.12 B.36 C.31 D.33【答案】C【解析】【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得.【详解】因为等比数列的前n项和为，且，所以不妨设则.由分段后性质可知：构成等比数列.由，即，解得：.所以.故选：C5.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】存在量词命题否定是全称量词命题，所以“，”的否定是“，”.故选：C6.在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】连接交于F，由题意可知与平面所成角与与平面所成角相等，由题意可证平面平面，过作于，由面面垂直的性质定理可得是与平面所成角，即与平面所成角为，在中，计算即可.【详解】解：连接交于F，设与平面所成角为，因为∥,所以与平面所成角为，如图：因为在长方体中，，，所以四边形是正方形，是中点，，，所以，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，因为面面，面面，，面，所以平面，所以，即，所以.故选：A.7.已知直线，若，则（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由两直线垂直，斜率的关系列方程直接解得.【详解】因为所以的斜率为.因为，所以的斜率必存在，且，所以.所以，解得：.故选：B8.某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.【详解】15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为.故选：B9.执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A.14 B.20 C.30 D.55【答案】C【解析】【分析】根据程序框图分析即可.【详解】开始：，，不成立，循环，，不成立，循环，，不成立，循环，，成立，终止程序，输出，故选：C.10.已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据不等式的解法求集合，根据题意可得A是B的真子集，结合真子集关系分析求解.【详解】由题意可得：，或，若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集，所以.故选：A.11.设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（）A.最大值，最小值 B.最大值，最小值1C.最大值2，最小值 D.最大值2，最小值1【答案】B【解析】【分析】由题设明确点到原点距离为，结合曲线方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.【详解】由题意知点到原点距离为，由于点是曲线上任意一点，可得，当且仅当时取等号，即曲线上的点到原点距离最小，最小值为1；又因为,所以，当且仅当时取等号，故，即，当且仅当时取等号，即点到原点距离的最大值为，故选：B12.如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（）A.线段长度最大值为，无最小值B.线段长度最小值为，无最大值C.线段长度最大值为，最小值为D.线段长度无最大值，无最小值【答案】C【解析】【分析】分别取的中点,根据面面平行的判定定理可得平面平面，故点的轨迹为线段.当与点或重合时，线段长度最大，当为线段的中点时，线段长度最小，求解即可.【详解】分别取的中点,因为，平面，平面，所以平面,同理可得平面.因为平面,所以平面平面.因为P是底面上一点．且∥平面，所以点的轨迹为线段.因为正方体的棱长为2，所以,,当与点或重合时，；当为线段的中点时，.所以线段长度最大值为，最小值为.故选:C.二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分．13.已知，且，则的最大值为___________．【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式得到，从而得到.【详解】因为，且，所以，即，当且仅当时等号成立，所以．故答案为：214.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为_______.【答案】2【解析】【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出a与c的关系即可.【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，对于圆，有，圆心为，半径，渐近线被圆截得的弦长为2，所以圆心到渐近线的距离为，由点到直线距离公式得：；故答案为：2.15.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.【答案】【解析】【分析】设抛物线方程为，求出双曲线的焦点，即抛物线的焦点，从而可得出答案.【详解】解：由已知可知双曲线的焦点为，设抛物线方程，则，所以，所以抛物线方程为.

故答案为：16.过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的方程,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得,即可求得的取值范围.【详解】因为双曲线方程为则设,因为点恰为线段的中点则则,两式相减并化简可得即直线的斜率为2所以直线的方程为,化简可得因为直线与双曲线有两个不同交点所以解得且所以的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系,中点弦问题,根据交点情况求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题：本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求A的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，可得，从而得解；

（2）结合（1）中结论，推出，再由得解．【小问1详解】因为，由正弦定理角化边得，即，又【小问2详解】由（1）知，，得，当且仅当时等号成立，面积，面积的最大值为.18.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；（2）用错位相减法求数列的和．【小问1详解】解：设的公差为，的公比为，，，联立，整理可得，解得，所以，.【小问2详解】解：由（1）知，则，①，②①-②，得.所以.19.命题.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论即可；（2）由题先求出为真时的取值范围，然后分真假或假真两种情况，分别解出即可.【小问1详解】因为为真命题，当时，恒成立，符合题意；当时，，解得，综上所述，；【小问2详解】若为真，当时，，，设，则在上单调递增，所以，所以，即，因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，当真假时，有，解得；当假真时，有，解得；综上所述，或.20.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组)，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:（1）求成绩落在）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）按分层抽样从成绩在，[80，90)两个分数段学生中选出11人，再从这11人中选2人参加培训，求选出的2人在同一分数段的概率.【答案】（1）0.3，补图见详解（2）0.75；71（3）【解析】【分析】（1）利用频率和为1计算得到答案，在频率分布直方图中高为频率除以组距，补齐即可.（2）直接根据频率分布直方图数据计算求解，把每一组的组中值乘以面积相加即可得到平均分.（3）按分层抽样确定两个分数段人数，列出所有情况，统计满足条件的的种数，计算得到答案.【小问1详解】由题意，，所以成绩落在）上的频率为0.3，在频率分布直方图中高为0.03，补齐如图【小问2详解】由频率分布直方图中数据知及格率为：，平均分：.【小问3详解】成绩是70~80分组有人，成绩在80~90分组有人，按分层抽样组抽6人记为，组抽5人记为1，2，3，4，5.从这11人中抽2人有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共55种选法.两人来自同一组有有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25种选法.所以两人来自同一组的概率为.21.如图，在长方体中，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据侧平面得出，再利用勾股定理即可证明，从而证明平面.（2）以点为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可解决.【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，而平面，所以，在中，，所以，所以，又，平面，因此平面．（2）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设是平面的法向量，则，设是平面的法向量，则，所以，因为二面角为钝角，所以二面角的大小为．22.已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．（1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；（2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率；（3）设的斜率为，，求双曲线的方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元