2022-2023学年江西省余干县黄金埠中学高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省余干县黄金埠中学高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．若数列满足，则数列是（）A．公差为的等差数列 B．公比为的等比数列C．公差为的等差数列 D．不是等差数列【答案】C【分析】对等式进行变形，结合等差数列的定义即可得出结果.【详解】解：因为，所以，即，根据等差数列的定义可知：数列为以为公差的等差数列.故选：C2．已知等差数列满足，则其前项和等于（

）A．2300 B．2400 C．2600 D．2500【答案】D【解析】先由通项公式求出，再由等差数列求和公式即可求出.【详解】由，得，解得，所以．故选：D.3．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，则（）A．22 B．64C．70 D．65【答案】B【分析】由，可得；由，可得；故有，由即可得答案.【详解】解：因为数列为等差数列，设数列的公差为.所以，所以；又因为，所以；所以，又因为.故选：B.4．正项等比数列的前项和为，，，则等于（）A．90 B．50C．40 D．30【答案】B【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可.【详解】解：因为是正项等比数列的前项和，所以，所以，又因为，，所以，所以，解得或(舍).故选：B.5．设数列满足，（），若数列是常数列，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为数列是常数列，所以，即，解得，故选A.【解析】1.数列数的概念；2.数列的递推关系.6．数列，-，-，…的一个通项公式是（）A． B．-C．（-1）n D．（-1）n+1【答案】C【分析】直接将与代入各选项中，排除不符合的选项即可得到正确答案【详解】对于A选项，将代入得：，不符合题意，故A选项错误；对于B选项，将代入得：，不符合题意，故B选项错误；对于D选项，将代入得：，不符合题意，故D选项错误；综上所述，C选项符合题意.故选：C7．已知是数列的前n项和，，，，记且，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得数列为等差数列，又，进而得解.【详解】由，可知数列为等差数列，公差为，且，所以，所以，故选：B.8．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则由题意结合等差数列的性质可求得答案【详解】设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.故选：D.二、多选题9．记等差数列的前项和为.若，，则（

）A． B． C．的最大值为30 D．的最大值为15【答案】ACD【分析】根据已知求出首项和公差，即可依次判断.【详解】设等差数列的公差为，则由题可得，解得，，，，故A正确；，故B错误；当或4时，取得最大值为30，故C正确；由于，所以的最大值为，故D正确.故选：ACD.10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A． B．1C．的最大值为 D．的最大值为【答案】BD【分析】讨论与不成立可判断A；利用等比数列的下标和性质可判断B；根据单调递增可判断C；根据的取值可判断D.【详解】若，则，，所以，与矛盾；若，则因为，所以，，则，与矛盾，因此，所以A不正确．因为，所以，因此，故B正确．因为，所以单调递增，即的最大值不为，故C错误．因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确．故选：BD.11．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（

）A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列【答案】AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.12．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项.【详解】对A：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对B：当为奇数时，或，当为偶数时，，不符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对C：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；对D：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式；故选：ACD三、填空题13．在等差数列{an}中，已知为方程的两根，则____【答案】【分析】由韦达定理可得，再利用等差中项的性质求解.【详解】因为为方程的两根，所以，而，解得：.故答案为：.14．已知数列中，，则______.【答案】【分析】利用求解即可.【详解】由可得，所以，故答案为：15．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则=______.【答案】【分析】由等差数列的性质得到，在利用等差数列前n项和公式求解.【详解】解：因为数列{an}和{bn}都是等差数列且=，所以，故答案为：16．已知数列的各项都是正数，其前项和满足，，则数列的通项公式为_______．【答案】【分析】先由递推公式求出，再由时，整理，求出，进而可求出结果.【详解】因为数列的各项都是正数，其前项和满足，，所以当时，，；当时，，即，即，所以数列是等差数列，又，因此，，因此,又也满足，所以，.故答案为【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题型.四、解答题17．在等差数列中，(1)若，求；(2)已知，求.【答案】(1)9(2)16【分析】根据等差数列的性质：若，则求解.【详解】（1）在等差数列中,∴，∴，∴.（2）∵，∴.∴.18．已知数列满足且.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由，构造出，再求出，可得结论；（2）由（1）和等比数列的通项公式可得解.【详解】（1）证明：，又，是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知

.【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题.19．已知数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【详解】试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出.试题解析：（1）∵，∴，∴，当时，，又也满足，故.又，∴.（2）∵，∴.点睛：此题主要考查数列的通项公式和前项和公式，以及它们之间关系的应用，还有分组求各和法在求数列前项和中的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题.分组求和法就是将数列的项分成两项或三项等，而这两项或三项往往就是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和.20．已知等差数列中，，且前10项和．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】(1)an＝2n－1(2)Tn＝【分析】(1)本题首先可以对化简得到，再对化简得到，最后两式联立，解出的值，得出结果；(2)可通过裂项相消法化简求出结果．【详解】(1)由已知得，解得所以的通项公式为(2)，所以数列的前项和．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．21．已知数列满足，则，且，，，成等比数列.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：….【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.【详解】试卷分析：（Ⅰ）通过递推关系可得数列为等差数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出的关系式，对的关系式进行裂项处理即可得到证明;试卷解析：（Ⅰ）由及，，，成等比数列得，即，解得，，又，所以，，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以.（Ⅱ）因为.所以.22．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.【答案】(1)an＝3n－1(n∈N*),bn＝2n＋1(n∈N*)．(2)Tn＝n·3n.【详解】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项的递推关系式：an＋1＝3an，再根据等比数列定义以及通项公式求数列{an}的通项公式；利用待定系数法求等差数列{bn}中首项与公差，再根据等差数列通项公式得{bn}的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{an·bn}的前n项和Tn.利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以试题解析：解(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1(n∈N*)．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32