概率论与数理统计公式解题方法

Amn(n1)...(nm1)CnC1nCmn0nnm!m(m1)...11、排列组合：性质CmnmnCn!nAn(n1)...(nm1)mAn!nn(nm)n2、事件运算律：①AB=BA②A∪B=B∪A③ABC=A(BC)④A∪B∪C=A∪(B∪C)⑤德摩根率：____________A∪B=A∩B____AB=A∪B________④A(B∪C)=(A∪B)(B∪C)=(BC)∪A⑥加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)⑦减法公式：P(A-B)=P(A___B)=P(A)-P(BA)⑧独立事件：P(AB)=P(A)*P(B)P(AB)=P(B)*P(AlB)=P(A)P(B)☆P(AlB)=P(A)↔A,B独立⑨三个事件两两独立：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个条件缺一不可，少了第四个就只有两两互相独立了P(AB)3、条件概率：P(BA)乘法公式：P(AB)P(A)P(BA)P(B)P(AB),P(A)>0P(A)P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB)4、全概率公式：P(A)nP(Bi)P(ABi)(B1,B2,......Bn，是完备事件组)i15、贝叶斯公式：P(BiA)P(Bi)P(ABi)P(ABi)P(A)nP(Bi)P(ABi)i1DX()PXE(X)(0)6、切比雪夫不等式：2PXE(X)1PXE(X)7、多项独立同分布，求总和怎样的概率。（中心极限定理）设共有n项，总和为Y，单项的期望为E(X),方差为D(X)bnE(X))(anE(X))nD(X)P(aYb)(nD(X)P(Ya)1(anE(X))nD(X)bnE(X)pYb()nD(X)解题方法1离散型分布函数求分布律：①先写分段点；②分段点处的概率减去上一个概率；2.g=g（x）的分布律：①计g(X)（根据题目的关系式）；②合并同类项。(p相同的)3.连续型随机变量的分布：已知X的概率密度，求Y=g（X）的概率密度函数g=g(x)单调可导①求出g(X)的值域。②x=h(y),lxl=lh’(y)l。③f(y)fh(y)h(y)YX4.求随机变量函数的分布函数：已知：随机变量X的取值范围，分布函数若F(y)PYyP(X)y①；②单Y(X)F(X),Y(X)Xx(a,b)y((a),(b))YPX；若(y)((y)F11X单调递减，则Y(X)调递增，则PX()yPXPX(y)1F((y))()y11X6已知二维离散型分布律，判断独立性，如果任意Xi，Yi，满足P(X=Xi，Y=Yi)=P(X=Xi)·P(Y=Yi)，那么X,Y相互独立。5求随机变量函数的概率密度函数：已知：随机变量X的取值范围x(a,b)，概率密度函数f(X)，Y(X),求Y的概率密度函数。①先求Y的分布函数（上题）②由Y(X)；若F(y)PYyP(X)y解得XY；③()1(X)单调递增，则YYPXPX()yF；(y)((y)11XdF(y)dF((y))d(y)-1d(y)-11Xd(y)1f(y)Yf(y)dyYdy1dyXPX(y)1F((y))()若Y(X)单调递减，则PXy11XdF(y)d(1F((y))d(y)d(y)1dy1Xd(y)1f(y)Yf((y))dyYdy1X1F(x,y)27已知F(X,Y),求f(x,y)8已知F(X,Y).求P。。（依次求偏导）f(x,y)xyP(XYFx,y)(xy)0000F(,)1,F(,)0,F(x,)0,F(,y)09求F(X,Y),f（X,Y）中含有的未知数。f(x,y)dxdy110求均匀分布的f(x,y)与P，f（x，y）=①1A当(x,y)∈D（A为D的面积）②0其他A1(A1为区域D1与D的重合面积）P(x,y)DA111求边缘分布函数:F(X)F(X,),F(Y)F(,Y)YX12求边缘密度函数：①将否（x，y）非零区域画在坐标系上，②表示出左右边界xg(y),xg(y)，上下边界yh(x),yh(x)，③f(x)g(x)h(y)f(x,y)d,yf(y)g(x)f(x,y)dx221212xyh(y)1113数学期望。离散型：E(X)n连续型：E(X)xf(x)dxXPiii1g(xi)Pi，连续型：g(x)f(x)dx14已知Y=g(x),求E(Y)；离散型E(Y)i1Xi-E(X)Pi。连续离散通用：D(X)E(X2)E2(X)15求方差D(X)：离散型：D(X)2i116假设检验：①设H0,H1②根据表格计算，判断。17求某最大似然估计量（大写）值（小写）：①离散型：挨个写出P{X=Xi}，连续型：挨个写f(x1),f(x2)...f(xn),②依次对①的结果取ln；③依次对②的结果求导；④令③中结果之和为0，求出估计的未知数，并不要忘了加^符号。18、求一参数的矩估计：①写出E(X)与待求未知数的关系（各种分布与他的关系）②用E(X)表示未知数。③根据给出的样本，算出实际E(X)；④带入关系式求出未知数。19、求两个未知参数的矩估计：①写出E(X)与E(X²)=D(X)+E²(X)同待求未知数的关系；②将①结果整理成未知数=？E(X)+?E(X²)的关系式；③根据给出的样本，算出实际的E(X)和E(X²)④求出未知数。连续型分布函数均匀分布U[a，b]分布律d-cP(cXd)ba11指数分布E（λ）P(cXd)eecddc正态分布N(μ，σ)P(cXd)()()XaX~N(,),~N(0,1),PXa2baPaxb求区间估计一般用的S²是修正的。^θ是θ的估计量，则满足时，是无偏估计量。^E()若E(X)D(X)Cov协方差Pxy相关系数E(C)=CD(C)=0COV(X,Y)COV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)D(X)D(Y)XYE(CX)=CE(X)D(CX)=C²D(X)COV(X,X)D(X)0XY(X,Y相互独立）D(XY)D(X)D(Y)2EXEXYEY()()D(X)COV(X,Y)XYE(XY)E(X)E(Y)D(Y)E(XY)E(X)E(Y)(xy相互独立时)D(XY)D(X)D(Y)COV(X,Y)0(X,Y相互独立）(X,Y相互独立）D(X)E(X2)E2(X)COV(aXb,cYd)acCO(VX,Y)()()(2)2EXYEXEY2(柯西·施瓦茨不等式)COV(XX,Y)D(XY)D(X)D(Y)2COV(X,Y)12COV(X,Y)COV(X,Y)12补充：一维随机变量。1连续型随机变量：①xf(x)dx；②bF(X)PXxPaX